2 Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ thông
2.2 Bài toán liên quan đến đồ thị có hướng
Trong thực tế chúng ta hay gặp những mối quan hệ giữa các đối tượng như A
thắng B, A giỏi hơn B, A nhanh hơn B... Những quan hệ này theo kiểu một chiều
nghĩa là A thắng B thì khơng thể suy ra B thắng A được. Vì vậy khi gặp những bài tốn có mối quan hệ một chiều như vậy ta nghĩ tới việc liệu có thể chuyển bài tốn đó về bài tốn đồ thị có hướng và từ đó sử dụng những tính chất của đồ thị có hướng mà ta đã biết hay khơng? Nếu được thì bài tốn sẽ trở nên dễ hiểu và việc giải quyết yêu cầu bài tốn sẽ dễ dàng hơn.
Bài 1.Có 5 đội bóng chuyền thi đấu với nhau để tranh giải cúp quốc gia. Biết rằng
hai đội chỉ đấu với nhau đúng một trận và mỗi đội phải đấu với cả 4 đội khác, đồng thời khơng có trận hịa. Chứng tỏ rằng căn cứ vào kết quả thi đấu có thể xếp đội trưởng các đội đúng theo một hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng ngay trước.
Nhận xét: Vì chỉ có hữu hạn khả năng xảy ra nên cách giải thông thường ở phổ thông là lập bảng trạng thái.
Nhưng khi số đối tượng lớn thì việc xét hết khả năng sẽ khó khăn nên phải đi tìm một phương pháp giải khác cho phù hợp. Phương pháp mới chính là áp dụng lý thuyết đồ thị để giải.
Ta sẽ chỉ ra hai yếu tố: Đối tượng: Các đội bóng. Quan hệ: Thắng thua.
Vì ở đây có quan hệ một chiều nên ta sử dụng đồ thị có hướng để biểu diễn. Coi mỗi đội bóng là một đỉnh của đồ thị, mũi tên nối hai đỉnh biểu thị mối quan hệ từ đội thắng sang đội thua, khi đó ta được một đồ thị có hướng. Do mỗi đội phải đấu với 4 đội khác và khơng có trận hịa nên được một đồ thị đầy đủ có hướng với 5 đỉnh. Như vậy việc "xếp đội trưởng các đội đứng theo một hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng ngay trước" tương đương với một đường Hamilton trong đồ thị xây dựng ở trên.
Bài toán đã cho trở thành bài toán đồ thị như sau: " Cho đồ thị đầy đủ có hướng với 5 đỉnh, chứng minh rằng trong đồ thị có thể tìm được đường đi qua tất cả các đỉnh và qua mỗi đỉnh đúng một lần".
Áp dụng định lý Re’dei của lý thuyết đồ thị: " Trong đồ thị có hướng đầy đủ ln ln có đường Hamilton", sẽ tìm được lời giải bài tốn (H25).
Giả sử ta có kết quả thi đấu như sau:
Từ đó ta có đồ thị hình (H25) mơ tả tồn bộ kết quả thi đấu giữa năm đối tượng
A, B, C, D, E.
Đồ thị (H25) có đường Hamilton xuất phát từ đỉnhA sang đỉnhE, rồi sang đỉnh C tiếp theo là đỉnh D và dừng lại tại đỉnh B hình (H26). Nên theo đường Hamil- ton này mà sắp xếp các đối tượng trên đứng theo hàng dọc: B đứng đầu, tiếp theo làD, rồi đếnC, sau đó E và cuối cùng làA, thì đội sau sẽ thắng đội đứng ngay trước.