Phép kéo theo QL

CHƢƠNG 2 : PHÉP KÉO THEO

2.4 Phép kéo theo QL

Cho U và U‟ là chuẩn hợp nhất dạng hội và chuẩn hợp nhất dạng tuyển với phần tử trung hòa lần lượt là e và e‟. Cho N là một phủ định mạnh. Ta sẽ kí hiệu IQ

tương ứng với tốn tử QL được cho bởi:

IQ(x,y) = U’(N(x),U(x,y)) với mọi x,y [0,1]. (2.5)

Ta nhận thấy rằng toán tử IQ thỏa mãn các điều kiện (b), (c), (d), (e) của định nghĩa phép kéo theo, còn điều kiện (a) là sự giảm trong biến thứ nhất chưa thể khẳng định có thỏa mãn hay khơng. Ta muốn nghiên cứu khi IQ như một hàm kéo theo thì ta chỉ cần kiểm tra IQ có giảm trong biến thứ nhất hay không. Ta bắt đầu với điều kiện cần thiết sau đây trong trường hợp tổng quát:

Bổ đề 2.4.1: Cho U và U‟ là các chuẩn hợp nhất dạng hội và dạng tuyển, N là

một phủ định mạnh sao cho tương ứng với toán tử QL IQ là một hàm kéo theo. Khi đó U‟ là một t-đối chuẩn thỏa mãn U‟(x,N(x)) = 1 với mọi x[0,1].

Chứng minh

Ta có IQ(x,e) = U‟(N(x),U(x,e)) = U‟(N(x),x) với mọi x [0,1]. Đặc biệt IQ(0,e) = 1= IQ(1,e)

Mặt khác, do IQ là giảm đối với biến thứ nhất, ta thu được: U‟(N(x),x) = IQ(x,e) =1 với mọi x[0,1].

Bây giờ, ta chỉ ra rằng U‟ phải là một t-đối chuẩn bằng việc cung cấp e‟ = 0. Từ U‟(x,N(x)) = 1 với mọi x[0,1], ta có trường hợp đặc biệt:

N(e‟) = U‟(e‟,N(e‟)) = 1 và do vậy e‟ = 0.

Chú ý : Xét tốn tử có dạng: IQ(x,y) = U’(N(x),U(x,y))

+ Theo Bổ đề trên nếu U‟ không là t-đối chuẩn hoặc U‟(x,N(x)) ≠ 1 thì IQ khơng là phép kéo theo.

+ Ngược lại U‟ là t-đối chuẩn và U‟(x,N(x)) = 1 thì vẫn chưa khẳng được IQ là phép kéo theo.

Ví dụ 2.4.1:

Nếu ta chọn : U‟(x,y) = x + y - xy, N(x) = 1-x thì khi đó với mọi U(x,y), điều kiện U‟(x,N(x)) = 1 trong mệnh đề trên không phải luôn được thỏa mãn.

Thật vậy, ta có : U‟(x, N(x)) = x + (1-x) - x(1-x) = x2-x+1 1 khi x 0. Do vậy, toán tử IQ(x,y) nói trên có dạng: IQ(x,y) = 1-x + U(x,y) - (1-x)U(x,y) sẽ khơng phải là một tốn tử kéo theo.

Ví dụ 2.4.2: Nếu ta chọn : U‟(x,y) = min(1, x+y), N(x) =1-x thì khi đó với mọi

U(x,y), điều kện U‟(x,N(x)) = 1 trong mệnh đề trên luôn được thỏa mãn. Thật vậy, ta có : U‟(x, N(x)) = min(1,x+1-x) = min(1,1) = 1.

Vậy U‟ là t-đối chuẩn và U‟(x,N(x)) = 1. Nhưng tốn tử IQ(x,y) nói trên có dạng: IQ(x,y) = min(1,1-x + U(x,y)) chưa khẳng định là một toán tử kéo theo.

Với IQ(x,y) = min(1,1-x +U(x,y)). Bây giờ ta xét với U‟ là hàm t-đối chuẩn liên tục, với một hàm chuyển  : [0,1]  [0,1] là một đẳng cấu tăng. Ký hiệu IQ(x,y) = -1(min(1-(x)+ (U(x,y))) với mọi x, y  [0,1]. Ta có kết quả sau đối với tốn tử IQ: 1 1 ( , ) (1 ( ) ( ( , ))) Q khi y e I x y x U x y khi y e            (2.6)

Ta ký hiệu toán tử QL trên là I,U.

Bổ đề 2.4.2: (M.Mas, M.Monzerrat and J.Torrens[3, Proposition 13]) Nếu U là một

chuẩn hợp nhất dạng hội liên lục với phần tử trung hòa e (0,1) và  là một đẳng cấu tăng sao cho I,U , được định nghĩa bởi công thức (2.4), là một phép kéo theo

thì U khơng liên tuc trên [0,1]2

.

Chứng minh

+ U(x,y) = h-1(h(x) + h(y)) là Chuẩn hợp nhất biểu diễn: Với mọi x(e,1] U(x,x)= h-1(2h(x)) < h-1(h(x)) = x.

+ Giả sử toán tử I,U là một phép kéo theo. Nếu U liên tục trên [0,1]2 theo

Định lý 1.2.4 thì U có cơng thức (1.6) hoặc (1.7).

Giả sử U có cơng thức (2.9) : lấy x sao cho u < x ≤1 suy ra e <

1 x u u   ≤ 1 suy ra: ( , ) (1 ) ( , ) (1 ) 1 1 1 R x u x u x u U x x u u U u u x u u u              . Vậy ta có I,U(x,x) = 1 1 (1 ( )x ( ( , )))U x x (1 ( )x ( )) 1x        . Nhưng vì I,U là một phép kéo theo ta có I,U là một hàm nghịch biến đối với đối số thứ nhất suy ra 1≥I,U(e,e) > I,U(1,e) = 1

(1 (1) ( (1, )))U e U(1, ) 1e

Giả sử U có cơng thức (2.10) : lấy x sao cho ev < x ≤v suy ra e < x v ≤1 suy ra: U x x( , ) vUR( , )x x vx x v v v    . Vậy ta có : I,U(x,x)= 1 1 (1 ( )x ( ( , )))U x x (1 ( )x ( )) 1x        . Nhưng vì I,U là một phép kéo theo ta có I,U là một hàm nghịch biến đối với đối số thứ nhất suy ra 1≥I,U(e, e) > I,U(1, e) = 1

(1 (1) ( (1, )))U e U(1, ) 1e

     . Vô lý. Vậy U không liên tục trên trên [0,1]2

.

Chú ý: U không liên tục trên trên [0,1]2 thì U khơng là chuẩn hợp nhất biểu diễn. Vậy I,U

là phéo kéo theo thì U khơng là chuẩn hợp nhất biểu diễn.

Bổ đề 2.4.3 (M.Mas, M.Monzerrat and J.Torrens[3, Proposition 14]): U là một

chuẩn hợp nhất lũy đẳng dạng hội với phần tử trung hòa e [0,1] và : [0,1] 

[0,1] là một đẳng cấu tăng. I,U

là một phép kéo theo nếu và chỉ nếu U được xác định bởi công thức : ax( , ) min( , ) ( , ) min( , ) ác m x y khi x y e U x y x y kh i      đ (2.7) Chứng minh

Gọi g là hàm liên kết của chuẩn hợp nhất lũy đẳng U. Giả sử I,U

là một phép kéo theo. Ta chứng minh U được xác định bởi công thức (2.6) như sau :

+ Đầu tiên ta chứng minh g(1) = e bằng phương pháp phản chứng : Giả sử g(1)≠e, vì g là hàm giảm vậy suy ra g(1) < g(e) = e. Lấy y sao cho g(1) < y < e suy ra U(1,y) = max(1,y) = 1, vây ta có : I,U

(1,y)= 1 (1 (1) ( (1, )))U y U(1, ) 1y      . Nhưng I,U (e,y) = 1 1 1 (1 ( )e ( ( , )))U e y (1 ( )e ( ))y (1 ( )e ( )) 1e           Vơ lý vì I,U

là hàm giảm với biến thứ nhất. Vậy g(1) = e.

+ Vì g là hàm giảm và g(e) = e suy ra g(x) = e với mọi x[e,1]. Theo Định lý

Như vậy nếu U là chuẩn hợp nhất lũy đẳng với hàm liên kết g, theo công thức

(1.5) của Định lý 1.2.2 và kết quả trên ta có cơng thức (2.7).

Ngược lại giả sử U là một chuẩn hợp nhất lũy đẳng dạng hội với phần tử trung hòa e [0,1] thỏa mãn cơng thức (2.7), vậy ta có:

, 1 1 e c ( , ) (1 ( ) ( )) khác U khi y hoă x y I x y x y i             đ (2.8)

Dễ dàng chứng minh được toán tử I,U xác định theo công thức trên là một phép kéo theo.

Định nghĩa 2.4.1: Một tốn tử hai ngơi F : [a,b]2

→ [a,b] gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu |F(x,y) - F(x‟,y‟)| ≤ |x-x‟| + |y-y‟| với mọi x, y, x‟, y‟[a,b].

Như vậy nếu một t-chuẩn T thỏa mãn điều kiên Lipschitz thì ta có: T(x,y) -T(x‟,y) < x-x‟ với mọi x‟ ≤ x

Ký hiệu pe : [0,e] →[0,1] là một đẳng cấu tăng xác định bởi p xe( ) x

e



Bổ đề 2.4.4(M.Mas, M.Monzerrat and J.Torrens[3, Proposition 16]): Cho U = (e,

T, S) là một chuẩn hợp nhất ở dạng min với phần tử trung hòa e [0,1] và : [0,1] →[0,1] là một đẳng cấu tăng. Ký hiệu e: [0,e]→[0, (e)] là sự hạn chế của hàm 

trên đoạn con [0,e]. I,U là một phép kéo theo khi và chi khi hàm chuyển ψ=peoφe-1

của T thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Trong trường hợp này phép kéo theo I,U

được e 1 0 e 1 1 (1 ( )x ( ))y    1 Hình 2.1: Phép kéo theo I,U xác định bởi công thức (2.8)

xác định như sau: , 1 1 (1 ( ) ( )) ( , ) , U khi y e I x y khi y e x A x y khi x y e                (2.9) Với A(x,y)= 1 (1 ( )x (eT( , )))x y e e    Chứng minh

Giả sử I,U làmột phép kéo theo. Với x, y ≤ e theo công thức (2.9) ta có I,U(x,y)=φ-1

(1-φ(x)+ φ (U(x,y))) và theo cơng thức và theo công thức (1.3) ta có

U(x,y)= eT( , )x y

e e , lấy y ≤ e và x‟ ≤ x ≤ e, vì I,U

giảm với biến thứ nhất vậy ta có: φ-1

(1-φ(x)+ φ (U(x,y))) ≤ φ-1( 1 - φ(x‟) + φ(U(x‟,y)) )

vậy do đó ta có φ(U(x,y)) - φ(U(x‟,y)) = (eT( , ))x y (eT(x', ))y ( )x ( ')x e e e e

   

Vì e là sự hạn chế của  trên đoạn con [0,e] nên ở bất đẳng thức ta có

thể thay hàm  bằng hàm e trên [0,e], đặt a=e(x), a‟=e(x‟), b=e(y) và ψ=peoφe-1 ta được :

ψ -1T(ψ(a), ψ(b)) - ψ-1T(ψ(a‟), ψ(b)) ≤ a - a‟ với mọi a, a‟, b [0,(e)] sao cho a‟ ≤ a. Như vậy với hàm Tψ : [0,(e)]→[0,(e)] thỏa mãn điều kiện Lipschitz.

Ngược lại : Giả sử Tψ : [0,(e)] →[0,(e)] thỏa mãn điều kiện Lipschitz với ψ=peoφe-1, ta chứng minh I,U làmột phép kéo theo. Để chứng minh I,U làmột phép kéo theo ta chỉ cần kiểm tra I,U

là hàm giảm với biến thứ nhất : - với y≥e : I,U(x,y) = 1

- với y < e ta chia làm các trường hợp sau :

+ TH1: Khi x‟ ≤ x ≤ e : vì Tψ thỏa điều kiện Lipschitz, vậy theo kết quả trên ta có: I,U(x‟,y) ≥ I,U

(x,y).

+ TH2: khi e ≤ x‟ ≤ x, vì U ở dạng min ta có U(x‟,y) = U(x,y) = y vậy suy ra: I,U(x‟,y) = φ-1(1- φ(x‟)+ φ(y))≥ φ-1(1- φ(x)+ φ(y)) =I,U(x,y)

+ TH3: Khi x‟ ≤ e ≤ x. Theo TH1 ta có I,U(x‟,y) ≥ I,U

(e,y) = φ-1(1- φ(e)+ φ(y)) ≥ φ-1(1- φ(x)+ φ(y)) = I,U(x,y).

Vậy I,U là phép kéo theo.