2 CÔNG THỨC VẬN TỐC SÓNG
2.3 Sự tồn tại và duy nhất của sóng Rayleigh
Định lý 3:Sóng Rayleigh ln tồn tại và duy nhất với điều kiện trở kháng chỉ ảnh hưởng đến ứng suất tiếp.
Chứng minh:
• Sự tồn tại.
- Theo mệnh đề 7, phương trình Fa(z) = 0có hai nghiệmz1, z2. Vì z1 =
−1(tương ứng vớixar = 0) khơng dẫn đến sự tồn tại của sóng Rayleigh
nên: Điều kiện cần và đủ để sóng Rayleigh tồn tại là: z2 ∈/ [−1, 1] (⇔ 0 <
xar <1).
- Theo(f5)(mệnh đề 1),Fa(z)gián đoạn trên khoảng(−1, 1)nên phương trình Fa(z) = 0 khơng có nghiệm trên khoảng (−1, 1), suy ra z2 ∈/
(−1, 1). Mặt khác, do F(1) = 4 6=0nênz2 6= 1. Như vậyz2 ∈/ (−1, 1].
- Ta sẽ chứng minh z2 6= −1. Thật vây, nếu z2 = −1, từ mệnh đề
6, (2.18) và (γ3) (mệnh đề 2) ta có: lim
z→−1
Fa(z)
(z+1)2 = m, trong đó m là một số hữu hạn. Suy ra: lim
x→0 fa(x)
x2 = n, trong đó n là một số hữu hạn. Nhưng điều này khơng đúng, vì từ (2.1) dễ ràng chứng minh được rằng:
lim
x→0 fa(x)
x2 = ∞. Vậyz2 ∈/ (−1, 1]vàz2 6= −1nênz2 ∈/ [−1, 1]. Suy ra sóng Rayleigh (ln) tồn tại.
- Giả sử tồn tại hai sóng Rayleigh tương ứng với các vận tốc x(1), x(2)
x(1) 6= x(2). Khi đó x(1), x(2) là hai nghiệm khác nhau của (1.17) và theo (1.18): 0 < x(1),x(2) < 1. Suy ra phương trình Fa(z) = 0 có hai nghiệm khác nhau (do ánh xạ (2.2) là ánh xạ 1-1 ): z1 = 1
2x(1)−1 và z2 = 1
2x(2)−1 và thỏa mãn điều kiện: |zk| > 1. Do vậy, từ (f1) suy ra phương trìnhFa(z) = 0có ba nghiệm phân biệt.
- Theo mệnh đề 6 phương trình Pa2(z) = 0 có ba nghiệm khác nhau. Điều này là vơ lý vì Pa2(z) là một đa thức bậc hai nên có tối đa là hai nghiệm khác nhau.
KẾT LUẬN
Luận văn khảo sát sự truyền sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén được chịu điều kiện biên trở kháng. Áp dụng phương pháp hàm biến phức, cơng thức giải tích chính xác của vận tốc sóng Rayleigh đã được tìm ra với hai trường hợp sóng Rayleigh chịu điều kiện biên trở kháng chỉ ảnh hưởng đến ứng suất tiếp hoặc pháp. Sự tồn tại và duy nhất của sóng Rayleigh với điều kiện trở kháng chỉ ảnh hướng đến ứng suất tiếp đã được chứng minh. Chứng minh này đơn giản hơn nhiều so với chứng minh của Godoy và cộng sự [7].
Hướng nghiên cứu tiếp theo:
1. Mở rộng cho trường hợp điều kiện trở kháng ảnh hưởng cho ứng suất pháp và tiếp.
2. Tìm cơng thức vận tốc sóng trong môi trường đàn hồi trực hướng chịu điều kiện biên trở kháng.
Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận văn
[1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Quỳnh Xn (2015)Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng: cơng thức vận tốc sóng, sự tồn tại duy nhất. Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015.
[2] Vinh, P. C. , Xuan, N. Q (2016). Rayleigh waves with impedance bound- ary condition: Formula for the velocity, existence and uniqueness, European Journal of Mechanics-A/Solids,61,180–185(SCI).
Tài liệu tham khảo
[1] Achenbach, J. D. and Keshava, S. P. (1967), "Free waves in a plate sup- ported by a semi-infinite continuum", Journal of Applied Mechanics, 34, pp. 397-404.
[2] Achenbach, J. D. (1973), "Wave propagation in Elastic Solids", North- Holland, Amsterdam.
[3] Asghar, S., Zahid, G. H. (1986), "Field in an open-ended waveguide sat- isfying impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 37, pp. 194-205.
[4] Antipov, Y. A. (2002), "Diffraction of a plane wave by a circular cone with an impednance boundary condition",SIAM Journal on Applied Mathemat- ics,62, pp. 1122-1152.
[5] Bovik, P. (1996), "A comparison between the Tiersten model and O(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers",
Journal of Applied Mechanics,63, pp. 162-167.
[6] Castro, L. P., Kapanadze, D. (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip",J. Math. Anal. Appl,337, pp. 1031-1040. [7] Godoy, E., Durán, M., Nédélec, J-C. (2012), "On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions",
Wave Motion,49, pp. 585-594.
[8] Hiptmair, R., Lopez-Fernandez, M., Paganini, A. (2014), "Fast convolution quadrature based impedance boundary conditions", Journal of Computa- tional and Applied Mathematics,263, pp.500-517.
[9] Makarov, S., Chilla, E. and Frohlich,E. J. (1995), "Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of diRerent sur- face acoustic wave modes",Journal of Applied Physics,78, pp. 5028-5034. [10] Malischewsky, P. G. (1987), "Surface Waves and Discontinuities",Elsevier,
Amsterdam.
[11] Mathews, I. C., Jeans, R. A. (2007), "An acoustic boundary integral for- mulation for open shells allowing different impedance conditions, top and bottom surfaces",Journal of Sound and Vibration,300, pp. 580-588. [12] Muskhelishvili, N. I. (1963), "Some Basic problems of mathematical the-
ory of elasticity",Noordhoff, Netherland.
[13] N. I. Muskhelishvili, N. I. (1953). "Singular intergral equation",Noordhoff- Groningen.
[14] Niklasson, A. J., Datta, S. K. and Dunn,M. L. (2000), "On approximating guided waves in plates with thin anisotropic coatings by means of effec- tive boundary conditions",J. Acout. Soc. Am,108, pp. 924-933.
[15] Nkemzi, D. (1997), "A new formula for the velocity of Rayleigh waves",
Wave motion, 26, pp. 199-205
[16] Qin, H-H., Colton, D. (2012), "The inverse scattering problem for cavities with impedance boundary condition" , Adv. Comput. Math, 36, pp. 157- 174.
[17] Senior, T. B. A. (1960), "Impedance boundary conditions for imperfectly conducting surfaces",Applied Scientific Research, Section B8, pp. 418-436.
[18] Steigmann, D. J., Ogden, R. W. (2007), "Surface waves supported by thin- film/substrate interactions",IMA Journal Applied Mathematics, 72, pp.730-
747.
[19] Stupfel, B., Poget, D. (2011), "Sufficient uniqueness conditions for the so- lution of the time harmonic Maxwell’s equations associated with surface impedance boundary conditions", Journal of Computational Physics, 230, pp. 4571-4587.
[20] Tiersten, H.F. (1969), "Elastic surface waves guided by thin films" ,Journal
of Applied Physics,46, pp. 770-789.
[21] Vinh, P. C. (2013), "Scholte-wave velocity formulae",Wave Motion, 50, pp.
180-190.
[22] Vinh, P. C., Anh, V. T. N. (2014), "Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer with smooth contact",
Internatinal Journal of Engineering Science,75, pp. 154-164.
[23] Vinh, P. C., Anh, V. T. N. (2014), "An approximate secular equation of Rayleigh waves in an isotropic elastic half-space coated with a thin isotropic elastic layer",Acta Mechanica, In press, DOI 10.1007/s00707-014-
1090-8.
[24] Vinh, P. C., Anh, V. T. N., Thanh, V. P. (2014), "Rayleigh waves in an isotropic elastic half-space coated by a thin isotropic elastic layer with smooth contact",Wave Motion, 51, pp. 496-504.
[25] Vinh, P. C., Khanh Linh, N. T. (2012), "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer",Wave Motion,49, pp. 681-689.
[26] Vinh, P. C., Khanh Linh, N. T. (2013), "An approximate secular equa- tion of generalized Rayleigh waves in pre-stressed com-pressible elastic solids",International Journal of Non-Linear Mechanics,50, pp. 91-96.
[27] Yla-Oijala, P., Jarvenppa, S. (2006), "Iterative solution of high-order boundary element method for castro, L. P., Kapanadze, D. (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip", J. Math. Anal. Appl,337, pp. 1031-1040.
[28] Zakharov, D. D. (2006), "Surface and internal waves in a stratified layer of liquid and an analysis of the impedance boundary conditions",Journal of Applied Mathematics and Mechanics,70, pp. 573-581.