3 Sự hội tụ yếu trong không gia nC và ứng dụng
3.4 Bất đẳng thức cực đại
3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát hơn
Nếu chúng ta tổng quát hóa Định lý 3.4.1, chứng minh sẽ trở lên đơn giản hơn. Lấy T là một tập con Borel của [0,1] và giả sử γ = {γt : t ∈ T} là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian chạy qua T. Chúng ta giả sử rằng quỹ đạo của quá trình là liên tục phải theo nghĩa là nếu những điểm s của T hội tụ từ bên phải tới một điểm t của T thì γs(ω)→γt(ω) tại tất cả những điểm ω
(nếu T là hữu hạn, bắt buộc này không hạn chế). Cho
mrst =|γs −γr| ∧ |γt−γs| (3.91) và xác định L(γ) = sup r≤s≤t r,s,t∈T mrst. (3.92)
Định lý 3.4.3. Giả sử rằng α > 12 và β ≥ 0 và µ là một độ đo hữu hạn trên
T sao cho P{mrst ≥ λ} ≤ 1 λ4βµ2α(T ∩(r, t]), r ≤s ≤ t, (3.93) với λ > 0 và r, s, t∈T.Khi đó P{L(γ)≥ λ} ≤ K λ4βµ2α(T), (3.94) với λ > 0, ở đó K = Kα,β chỉ phụ thuộc α, β.
Để suy ra Định lý 3.4.1 từ Định lý 3.4.3 chúng ta chỉ cần lấyT = {i/n: 0≤ i≤ n} và γ(i/n) =Si,0 ≤i ≤n và lấy µ có khối lượng ui tại i/n,1≤ i≤n.
Chứng minh. Ta viết m(r, s, t)thay chomr,s,t. Lập luận theo các trường hợp.
Trường hợp 1:
Đầu tiên, giả sử T = [0,1] và µ là độ đo Lebesgue. Cho Dk là tập các số hữu tỷ nhị phân i/2k,0≤i ≤2k.
Lấy Bk = maxm(t1, t2, t3) đối với bộ ba trong Dk thỏa mãn t1 ≤ t2 ≤ t3. Lấy Ak là giá trị lớn nhất tương tự Bk nhưng thêm ràng buộc là t1, t2, t3 liền
kề: t2−t1 =t3 −t2 = 2−k.
Với t ∈Dk, ta xác định điểm t0 trong Dk−1 bởi
t0 = t nếu t∈ Dk−1 t−2−k nếu t /∈ Dk−1và|γ(t)−γ(t−2−k)| ≤ |γ(t)−γ(t+ 2−k)|, t+ 2−k nếu t /∈ Dk−1và|γ(t)−γ(t−2−k)| > |γ(t)−γ(t+ 2−k)|.
Khi đó |γ(t)−γ(t0)| ≤ Ak với t ∈Dk và do đó với t1, t2, t3 ∈ Dk,
|γ(t2)−γ(t1)| ≤ |γ(t2)−γ(t02)|+|γ(t02)−γ(t01)|+|γ(t01)−γ(t1)|
≤ |γ(t02)−γ(t01)|+ 2Ak.
và
|γ(t2)−γ(t3)| ≤ |γ(t2)−γ(t02)|+|γ(t02)−γ(t03)|+|γ(t03)−γ(t3)|
≤ |γ(t02)−γ(t03)|+ 2Ak.
Nếu t1 < t2 < t3 thì t01 < t02 < t03 và do t01, t02, t03 nằm trong Dk−1 nên suy ra
m(t1, t2, t3)≤ Bk−1 + 2Ak, cho nên Bk ≤ Bk−1+ 2Ak.
Vì A0 =B0 = 0 nên bằng quy nạp ta chứng minh đượcBk ≤ 2(A1+. . .+Ak)
với k ≥ 1.
Do tính liên tục phải của quỹ đạo nên L(γ)≤ 2P∞k=1Ak. Ta cần kiểm tra P
kAk.
Giả sử 0 < θ <1 và chọn C sao cho CP∞k=1θk = 12. Khi đó
P{L(γ)≥ λ} ≤ P2 ∞ X k=1 Ak ≥ λ ≤ ∞ X k=1 PAk ≥ Cλθk ≤ ∞ X k=1 2k−1 X i=1 P m i−1 2k , i 2k, i+ 1 2k ≥ Cλθk .
Vì µ là độ đo Lebesgue nên (3.93) kéo theo
P{L(γ)≥λ} ≤ ∞ X k=1 2k 1 (Cλθk)4β 2 2k 2α = 2 2α C4βλ4β ∞ X k=1 1 θ4β22α−1 k .
Vì 4β ≥ 0 và 2α−1> 0 nên tồn tại một số θ ∈ (0,1) sao cho chuỗi bên trên là hội tụ. Điều này chỉ ra cách để xác định K và ta đã xong trường hợp 1.
Trường hợp 2:
Giả sử rằng T = [0,1] và µ khơng có các ngun tử, sao cho F(t) = µ[0, t]
liên tục. Nếu F tăng thực sự và F(1) = c, lấy a = c−α/2β để được a4βc2α = 1
và xác định một quá trình mới ζ bởi
ζ(t) =aγ(F−1(ct)).
Thì ζ cũng thuộc vào trường hợp 1 và định lý đúng với η vì L(η) = aL(ζ).
Nếu F liên tục nhưng không tăng thực sự, đầu tiên ta coi độ đo có hàm phân phối F(t) +t và sau đó cho dần tới 0.
Trường hợp 3:
Giả sử T hữu hạn.
Nếu 0∈/ T, cho γ(0) =γ(t1), trong đó t1 là điểm đầu của T và lấy µ{0} = 0.
Nếu 1 ∈/ T, lấy γ(1) = γ(tv−1), trong đó tv−1 là điểm cuối của T và lấy
µ{1}= 0. Khi đó q trình mới γ và độ đo µ thỏa mãn giả thiết, cho nên ta có thể giả định rằng T bao gồm các điểm
0 = t0 < t1 < . . . < tv = 1. Ta xác định quá trình γ0 bởi γ0(t) = γ(ti) nếu ti ≤ t≤ ti+1, 0 ≤i < v, γ(1) nếu t = 1.
Nếu m0rst trong (3.91) ký hiệu cho quá trình γ0 thì m0rst biến mất trừ khi
r, s, t đều nằm trong các khoảng con khác nhau [ti, ti+1). Giả sử rằng
r ∈ [ti, ti+1), s ∈[tj, tj+1), t ∈[tk, tk+1), i < j < k. (3.95) Thì m0rst = m(ti, tj, tk) và đo đó theo giả thiết của định lý cho q trình γ
ta có
P{m0rst ≥ λ} ≤ 1
Bây giờ, ta cho ν là độ đo tương ứng với một phân phối đều của khối
µ{tl−1}+µ{tl} trên đoạn [tl−1, tl], với 1≤ l ≤v. Khi đó µ((ti, tk]∩T)≤ν[ti+1, tk]≤ ν(r, t],
và từ (3.96) suy ra
P{m0rst ≥ λ} ≤ 1
λ4βν2α(r, t]. (3.97)
Mặc dù trong (3.95) yêu cầu t < 1, nhưng bằng một thay đổi nhỏ thì từ
(3.97) suy ra t = 1 cũng thỏa mãn.
Do đó (3.97) đúng với 0≤ r ≤ s ≤ t ≤ 1 và áp dụng trường hợp hai cho quá trình γ0:
P{L(γ0)≥ λ} ≤ K
λ4βµ2α(0,1] ≤ K
λ4β(2µ(T))2α.
Vì L(γ0) = L(γ) nên nếu ta thay thế K trong trường hợp 1 và 2 bởi 22αK
thì ta được K mới đúng cho cả ba trường hợp 1, 2 và 3.
Trường hợp 4:
Với T và µ tổng quát, xét các tập hữu hạn
Tn : 0≤tn0 < tn1 < . . . < tnvn ≤ 1
sao cho Tn ⊂ Tn+1 và S
Tn trù mật trong T.
Cho µn có khối lượng µ((tn,i−1, tn,i]∩T) tại điểm tni. Nếu γ(n) là quá trình
γ với thời gian-thiết lập cắt giảm đến Tn thì L(γ(n))↑ L(γ) do tính liên tục phải của quỹ đạo. Do mỗi γ(n) cũng nằm trong trường hợp 3 nên ta có
P{L(γ)≥ λ} ≤ P(lim inf
n {L(γ(n))≥ λ−})≤ K
(λ−)4βµ2α(T).
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách chi tiết về sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng theo ba chương.
Nội dung của chương một là trình bày một số kiến thức bổ trợ như khái niệm, tính chất tính chất cơ bản như tính khả ly, tính đầy đủ, tính compact, tính đo được, tích các khơng gian metric.
Nội dung của chương hai là trình bày về định nghĩa và tính chất của hội tụ yếu trong khơng gian metric−Định lý 2.2.1 về năm điều kiện tương đương. Chương hai cịn nói tới sự hội tụ theo xác suất, hội tụ theo phân phối, hội tụ hầu chắc chắn và mối quan hệ giữa các loại hội tụ−Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.4 và Định lý 2.3.5. Đặc biệt, trong chương này ta trình bày Định lý Prohorov về mối tương quan giữa tính chặt và compact tương đối của một họ các độ đo xác suất.
Nội dung của chương cuối cùng là về sự hội tụ yếu trong không gian C
và ứng dụng của nó, trong đó trình bày về độ đo Wiener, Định lý Donsker và các ứng dụng của nó.
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia
Hà Nội.
[2] Ilya Molchanov and Sergei Zuyev (2001),Advanced course in probability: weak convergence and asymptotics, Springer, New York.
[3] Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve (1988), Brownian motion and stochastic calculas, Spinger, New York.
[4] James Davidson (1994),Stochastic limit theory, Oxford University Press,
New York.
[5] Patrick Billingsley (1995), Probability and measure, Wiley, New York.
[6] Patrick Billingsley (1971), Weak convergence of measures: applications in probability, Wiley, New York.
[7] Patrick Billingsley (1999), Convergence of probability measures, John
Wiley and Sons, Inc, Canada.
[8] Serik Sagitov (2013), Weak convergence of probability measures,
Chalmers University of technology and Gothenburg University.
[9] William Feller (1968), An introduction to probability theory and it’s ap- plicayions, New York, Wiley.