3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BA-
3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát
Giả sử (X,|| · ||) là một không gian Banach. Xét phương trình vi phân trong khơng gian Banach
dx
dt(t) =f(t, x(t)), a≤t≤b, (3.1) với điều kiện ban đầu
x(a) =x0. (3.2)
Trong đó d
dt là tốn tử vi phân, f : [a, b]×X → X là một hàm cho trước và
x: [a, b]→X là hàm ẩn cần tìm.
Định nghĩa 3.1. (i) Nghiệm của phương trình (3.1) là hàm x(t) xác định, liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] và thỏa mãn phương trình đó hầu khắp nơi.
(ii) Bài tốn Cauchy là bài tốn tìm nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.2).
Định lý 3.1 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử rằng hàm f(t, x) liên tục theo t, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là
||f(t, x)−f(t, y)|| ≤L(t)||x−y||, ∀t∈[a, b], ∀x, y ∈X, (3.3)
và hệ số L(t) là một hàm khả tích địa phương theo t. Khi đó, phương trình (3.1)
với điều kiện ban đầu (3.2) ln có nghiệm duy nhất. Hơn nữa, nghiệm này phụ thuộc liên tục vào x0.
Chứng minh. Áp dụng Định lý cơ bản thứ I và thứ II của Giải tích, ta khẳng định phương trình vi phân (3.1) với điều kiện ban đầu (3.2) tương đương với
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACHphương trình tích phân phương trình tích phân x(t) =x0+ Z t a f(s, x(s))ds. (3.4) Đây chính là một trường hợp riêng của phương trình tích phân Volterra (2.3)
trong Định lý Bielecki.
Nhận xét 3.1. (i) Đối với hàm f(t, x)trong Định lý 3.1, ta không cần giả thiết liên tục theo t. Mà chỉ cần giả thiết rằng, đối với mỗi x cố định, nó là hàm đo được mạnh và khả tích địa phương theo t.
(ii) Các kết quả của Định lý 3.1 vẫn đúng khi chúng ta xét trên nửa khoảng vô hạn [a,+∞). Nhưng với giả thiết thêm vào là f(t,0) = 0.
(iii) Sử dụng phương pháp cổ điển chuyển phương trình bậc cao về hệ phương trình bậc một, chúng ta có thể chỉ ra rằng phương trình
dnx
dtn =f(t, x, x0, . . . , x(n−1)), a≤t <+∞, (3.5) với điều kiện ban đầu
x(i)(a) = xi, i= 0,1, . . . , n−1, (3.6) có nghiệm duy nhất x(t) phụ thuộc liên tục vào x0, x1, . . . , xn−1, miễn rằng
f(t, y1, y2, . . . , yn) là đo được mạnh, khả tích địa phương theo t, f(t,0) = 0 và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y1, y2, . . . , yn, tức là
||f(t, y1, y2, . . . , yn)−f(t, z1, z2, . . . , zn)|| ≤L(t) max
1≤i≤n||yi−zi|| (3.7) ở đây L(t) là một hàm khả tích địa phương theo t.