2.2 .Phương trình tốn tử ngẫu nhiên
2.2.2. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu
Trong phần này, ta xét phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu dạng
T(ω, x) +k(ω)x = η(ω)
trong đó k(ω) là biến số ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương. Ta nói ánh xạ f trên không gian Hilbert X được gọi là compăc nếu f là liên tục và nó ánh xạ mỗi tập con bị chặn của X thành tập con tiền compăc mạnh của X. Ánh xạ ngẫu nhiên T được gọi là compăc nếu với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ x → T(ω, x) là compăc.
Định lí 2.2.5. Cho X là không gian Hilbert tách được, T là ánh xạ ngẫu nhiên compăc trên X, k(ω) là biến số ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương và r = r(ω, t) là hàm từ Ω× R → R sao cho
r(ω,·) là liên tục và limt→+∞r(ω, t) = +∞. Giả sử với mỗi x ∈ X
ta có
hT(ω, x), xi ≥ r(ω,k x k) k x k −k(ω) k x k2 (8)
Khi đó, phương trình tốn tử ngẫu nhiên T(ω, x) +k(ω)x = η(ω)
Chứng minh. • η = 0
Gọi G là ánh xạ ngẫu nhiên trên X xác định bởi
G(ω, x) = T(ω, x) +k(ω)x
Ta sẽ chứng minh phương trình ngẫu nhiên G(ω, x) = 0 có nghiệm
Thật vậy, Gọi S là ánh xạ ngẫu nhiên X×X vào X xác định bởi
S(ω, x, y) = k(ω)x ∀x, y ∈ X,∀ω ∈ Ω
Lúc đó G(ω, x) = T(ω, x) +S(ω, x, x) ∀x ∈ X,∀ω ∈ Ω
Cố định ω ∈ Ω, từ (8) ta có hG(ω,x),xikxk ≥ r(ω,k x k) → +∞
khi k x k→ +∞. Vì k(ω) > 0 với mỗi y ∈ X cố định,
S(ω, x, y) = k(ω)x là liên tục và đơn điệu đối với x. Cố định
x ∈ X, S(ω, x, y) = k(ω)x là ánh xạ hằng nên nó là đầy đủ
và liên tục đối với y. Từ tính compăc của T suy ra ánh xạ
x → T(ω, x) là compăc. Nếu hS(ω, xn, xn)−S(ω, x, xn), xn−
xi = k(ω) k xn − x k2→ 0 thì xn hội tụ mạnh đến x điều này kéo theo T(ω, xn) hội tụ đến T(ω, x) suy ra ánh xạ
x → G(ω, x)là toàn ánh trên X nên ∃x(ω) ∈ X sao cho
G(ω, x(ω)) = 0 suy ra tồn tại biến ngẫu nhiên X - giá trị
ξ sao cho G(ω, ξ(ω)) = 0. Vậy phương trình ngẫu nhiên
G(ω, x) = 0 có nghiệm.
• η bất kỳ
Đặt T0(ω, x) = T(ω, x)−η(ω)
hT0(ω, x), xi = hT(ω, x), xi − hη(ω), xi
≥ [r(ω,k x k)− k η(ω) k] k x k −k(ω) k x k2
= r0(ω,k x k) k x k −k(ω) k x k2
Với r0(ω, t) = r(ω, t)− k η(ω) k
Do đó T0 có tính chất giống T suy ra tồn tại biến ngẫu nhiên X - giá trị ξ sao cho
T0(ω, ξ(ω))+k(ω)ξ(ω) = 0 ⇔ T(ω, ξ(ω))+k(ω)ξ(ω) = η(ω).
Hệ quả 2.2.6. Cho X là không gian Hilbert tách được, L(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương và T là ánh xạ ngẫu nhiên compăc trên X sao cho với mỗi x ∈ X
k T(ω, x) k≤ L(ω) k x k
Nếu L(ω) < k(ω) thì phương trình tốn tử ngẫu nhiên T(ω, x) +
k(ω)x = η(ω) có nghiệm với bất kỳ η ∈ LX0 (Ω).
Chứng minh. Đặt (ω) = k(ω)− L(ω) > 0 với mỗi x ∈ X
hT(ω, x), xi ≥ − k T(ω, x) kk x k≥ (ω) k x k2 −k(ω) k x k2
Lấy r(ω, t) = (ω)t thì bất đẳng thức (8) trong Định lý 2.2.5 thỏa
mãn ⇒ đpcm
Định lí 2.2.7. Cho X là không gian Banach tách được và T là ánh xạ ngẫu nhiên trên X sao cho với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ x 7−→
T(ω, x) là tốn tử tuyến tính liên tục định nghĩa bởi k T k ω.
Nếu k T k (ω) < k(ω) thì với bất kỳ η ∈ LX0 (Ω), phương trình
Chứng minh. Cố định ω ∈ Ω, Vì k T k ω < k(ω) nên tốn tử tuyến tính liên tục x 7−→ A(ω, x) = T(ω, x)+k(ω)x có nghịch đảo liên tục xác định bởi x 7−→ A−1(ω, x). Đặt ξ(ω) = A−1(ω, η(ω))
thì ξ đo được và ta có T(ω, ξ(ω)) + k(ω)ξ(ω) = η(ω) với mỗi
ω ∈ Ω cố định.
Định lí 2.2.8. Cho T là ánh xạ ngẫu nhiên liên tục trên không gian Hilbert tách được X và thỏa mãn tính chất đơn điệu,∀x1, x2 ∈
X
hT(ω, x1)−T(ω, x2), x1 −x2i ≥ 0
Khi đó, với bất kỳ η ∈ LX0 (Ω), phương trình tốn tử ngẫu nhiên
T(ω, x) + k(ω)x = η(ω) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Xét phương trình ngẫu nhiên S(ω, x) = η(ω), trong
đó S là ánh xạ ngẫu nhiên được cho bởi
S(ω, x) = T(ω, x) + k(ω)x
Khi đó S là liên tục và ∀x1, x2 ∈ X ta có
hS(ω, x1)− S(ω, x2), x1 −x2i
= hT(ω, x1)−T(ω, x2), x1 −x2i+k(ω) k x1 − x2 k2
≥ k(ω) k x1 −x2 k2
Do đó, với bất kỳ η ∈ LX0 (Ω), phương trình tốn tử ngẫu nhiên
T(ω, x) + k(ω)x = η(ω) có nghiệm duy nhất
Định lí 2.2.9. Cho T là ánh xạ ngẫu nhiên liên tục trên không gian Hilbert tách được X và thỏa mãn tính chất Lipschitz, tồn tại biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm L(ω)sao cho ∀x1, x2 ∈ X
Nếu L(ω) < k(ω) thì với bất kỳ η ∈ LX0 (Ω), phương trình
T(ω, x) +k(ω)x = η(ω) có nghiệm duy nhất
Chứng minh. Xét phương trình ngẫu nhiên S(ω, x) = η(ω), trong
đó S là ánh xạ ngẫu nhiên được cho bởi
S(ω, x) = T(ω, x) + k(ω)x Từ tính chất Lipschitz của T, ta có ∀x1, x2 ∈ X hS(ω, x1)− S(ω, x2), x1 −x2i = hT(ω, x1)−T(ω, x2), x1 −x2i+k(ω) k x1 − x2 k2 ≥ k(ω) k x1 −x2 k2 − k T(ω, x1)− T(ω, x2) kk x1 − x2 k ≥ [k(ω)−L(ω)] k x1 −x2 k2= m(ω) k x1 − x2 k2 với m(ω) = k(ω) − L(ω) > 0. Do đó với bất kỳ η ∈ LX0 (Ω),
phương trình ngẫu nhiên T(ω, x) +k(ω)x = η(ω) có nghiệm duy nhất.
Bây giờ ta xét một vài ví dụ về phương trình tích phân ngẫu nhiên
Ví dụ 2.2.10. Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên
K(ω, t)R0tK(ω, s)x(s)ds+h(ω, t)x(t) = η(ω, t)(∗)
với K(ω, t), h(ω, t) là các hàm ngẫu nhiên liên tục và η(ω, t) là
hàm ngẫu nhiên sao cho R01 η2(ω, t)dt < +∞.
Đặt L(ω) = mint∈[0,1]h(ω, t);U(ω) = maxt∈[0,1]K(ω, t). Chứng
minh rằng nếu L(ω) > U√2(ω)
2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x(ω, t) mà R01x2(ω, t)dt < +∞.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ ngẫu nhiên T trên X =
T(ω, x)(t) = K(ω, t)R0tK(ω, s)x(s)ds+h(ω, t)x(t)
Dễ thấy T là toán tử ngẫu nhiên liên tục và T(ω, x1)−T(ω, x2) =
T(ω, x1 − x2). Ta có hT(ω, x), xi = R01K(ω, t)x(t)[R0tK(ω, s)x(s)ds]dt+R01 h(ω, t)x2(t)dt và [R01K(ω, t)x(t)(R0tK(ω, s)x(s)ds)dt]2 ≤ R1 0 K2(ω, t)x2(t)dt.R01(R0tK2(ω, s)x2(s)ds.R0tds)dt ≤ R1 0 K2(ω, t)x2(t)dt.R01 K2(ω, s)x2(s)ds.R01tdt = 12(R01K2(ω, t)x2(t)dt)2 Do đó hT(ω, x), xi ≥ R1 0 h(ω, t)x2(t)dt− R1 0 1 √ 2K2(ω, t)x2(t)dt = R01(h(ω, t)− √1 2K2(ω, t))x2(t)dt ≥ m(ω) k x k2 với m(ω) = L(ω)−U√2(ω)
2 là biến số ngẫu nhiên giá trị thực dương. Do đó
hT(ω, x1)− T(ω, x2), x1 − x2i =
= hT(ω, x1 −x2), x1 −x2i ≥ m(ω) k x1 −x2 k2
Khi đó phương trình tích phân ngẫu nhiên (*) có thể viết dưới dạng
T(ω, x) = η(ω)
Ví dụ 2.2.11. Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên
R1
0 K(ω, t, s)x(s)ds+h(ω)x(t) = η(ω, t)(∗∗)
với K(ω, t, s), η(ω, t) là các hàm ngẫu nhiên liên tục xác định
trên [0,1] × [0,1] và [0,1] còn h(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương Đặt M(ω) = max∈[0,1]×[0,1] | K(ω, t, s) |. Chứng
minh rằng nến M(ω) < h(ω) thì phương trình (**) có nghiệm duy nhất x(ω, t) là hàm ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1].
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ ngẫu nhiên T trên X =
C[0,1]như sau: vớix = x(t) ∈ X, T(ω, x)(t) = R01 K(ω, t, s)x(s)ds.
Dễ thấy với mỗi ω ∈ Ω, x → T(ω, x) là tốn tử tuyến tính liên tục. Ta có k T(ω, x)(t) k= max∈[0,1] | R1 0 K(ω, t, s)x(s)ds | ≤ R1 0 M(ω) max[0,1] | x(ω) | ds = M(ω) k x k ∀x = x(t) ∈ C[0,1] ⇒k T k (ω) ≤ M(ω) < h(ω) Vậy phương
trình tích phân ngẫu nhiên (**) có thể viết dưới dạng
Chương 3
Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động và giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên
3.1. Quy trình lặp ngẫu nhiên
Chúng tơi trình bày hai sơ đồ tổng qt để giải phương trình tốn tử, đó là sơ đồ lặp Ishikawa và sơ đồ lặp Mann.
Định nghĩa 3.1.1. [Quy trình lặp Mann] Cho T : Ω× F → F
là toán tử ngẫu nhiên với F là tập con khác ∅, lồi của khơng gian
Banach tách được. Quy trình lặp Mann là dãy các ánh xạ {ξn}
ξn(ω) = (1 −αn)ξn(ω) + αnT(ω, ξn(ω))
với ∀ω ∈ Ω, n ∈ N,0 ≤ αn ≤ 1 và ξ0 là biến ngẫu nhiên F - giá trị.
Rõ ràng, {ξn} là biến ngẫu nhiên F - giá trị.
Chú ý 3.1.2. Cho F là tập con khác ∅, đóng, lồi của khơng gian
Banach tách được X và dãy ánh xạ {ξn} như Định nghĩa 3.1.1 là hội tụ từng điểm: ξn(ω) → q := ξ(ω) khi n → ∞ với mỗi ω ∈ Ω.
Từ tính đóng của F kéo theo ξ là ánh xạ từ Ω → F.
Vì F là tập con của khơng gian Banach tách được X và nếu T là tốn tử ngẫu nhiên liên tục thì ánh xạ: ω → T(ω, f(ω)) là hàm đo được với f : Ω → F là hàm đo được bất kì. Hơn nữa,
{ξn} là dãy các biến ngẫu nhiên F - giá trị và ξ0 : Ω → F là giới hạn của dãy biến ngẫu nhiên F - giá trị nên cũng là biến ngẫu nhiên F - giá trị.
Định nghĩa 3.1.3. [Quy trình lặp Ishikawa] Cho T : Ω×F → F
là tốn tử ngẫu nhiên với F là tập con khác ∅, lồi đóng của khơng
gian Banach tách được X. Quy trình lặp ngẫu nhiên Ishikawa là dãy các ánh xạ {ξn} và {ηn} được định nghĩa bởi
ξn+1(ω) = (1− αn)ξn(ω) +αnT(ω, ηn(ω)
ηn(ω) = (1− βn)ξn(ω) +βnT(ω, ξn(ω)
∀ω ∈ Ω, n ∈ N,0 ≤ αn, βn ≤ 1 và ξ0 là biến ngẫu nhiên F - giá trị bất kỳ.
Rõ ràng, {ξn} và {ηn} là biến ngẫu nhiên F - giá trị.
là toán tử ngẫu nhiên với F là tập con khác ∅, lồi đóng của khơng
gian Banach tách được X. Cho ξ0 là biến ngẫu nhiên F - giá trị. Định nghĩa dãy các ánh xạ {ζn},{ξn},{ηn} như sau
ζn(ω) = γnTn(ω, ξn(ω)) + (1−γn)ξn(ω)
ηn(ω) = βnTn(ω, ζn(ω)) + (1− βn)ξn(ω)
ξn+1(ω) = αnTn(ω, ηn(ω)) + (1− αn)ξn(ω),
với mỗi ω ∈ Ω, n = 0,1,2, ...,{αn},{βn},{γn} là các số thực trên đoạn [0, 1].
Rõ ràng, {ζn},{ξn},{ηn} là biến ngẫu nhiên F - giá trị.
Chú ý 3.1.5. Nếu ta lấy γn = 0 trong Định nghĩa 3.1.4, ta thu
được
ηn(ω) = βnTn(ω, ξn(ω)) + (1− βn)ξn(ω)
ξn+1(ω) = αnTn(ω, ηn(ω)) + (1− αn)ξn(ω),
với mỗi ω ∈ Ω, n = 0,1,2, ...,{αn},{βn},{γn} là các số thực trên đoạn [0, 1].
Đó là quy trình lặp Ishikawa. Tương tự, nếu ta lấy βn = γn = 0
trong Định nghĩa 3.1.4, ta thu được quy trình lặp Mann.
3.2. Sự hội tụ của thuật toán lặp
Định nghĩa 3.2.1. Cho F là tập con khác ∅ trên khơng gian Banach tách được X. Tốn tử ngẫu nhiên T : Ω× F → F được gọi là toán tử ngẫu nhiên Ψ - co yếu nếu ∀x, y ∈ F, với mỗi ω ∈ Ω
k T(ω, x)−T(ω, y) k≤k x− y k −Ψ(ω,k x−y k)
mỗi ω ∈ Ω thì Ψ(ω, .) là liên tục, khơng giảm và Ψ(ω,0) = 0; limt→∞Ψ(ω, t) = ∞.
Nếu Ψ(ω, t) = (1 − k(ω))t với k : Ω → (0,1) là ánh xạ đo được cố định bất kì thì ánh xạ Ψ - co yếu trở thành một toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co và nó có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất như trong Định lý 1.2.10.
Bổ đề 3.2.2. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng và bị chặn trên
khơng gian Hilbert tách được X và T : Ω × F → F là tốn tử ngẫu nhiên khơng giãn. Nếu với biến ngẫu nhiên F - giá trị ξ0 cố định bất kì, quy trình lặp ngẫu nhiên Ishikawa hội tụ thì nó hội tụ đến điểm bất động của T.
Chứng minh. Vì khơng gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial nên RF(T) 6= ∅. Gọi ξ∗ : Ω → F là điểm bất động của T và {ξn}
là dãy ánh xạ đo được lập nên quy trình lặp ngẫu nhiên Ishikawa suy ra {k ξn(ω) − ξ∗(ω) k} là dãy tăng với mỗi ω ∈ Ω. Lại có,
với mỗi ω ∈ Ω, dãy con {k T(ω, ξnj(ω)) − ξnj(ω) k} của dãy
{k T(ω, ξn(ω))−ξn(ω) k} thỏa mãn k T(ω, ξnj(ω))−ξnj(ω) k→ 0
khi nj → ∞ . Giả sử ξn(ω) → ξ(ω) với mỗi ω ∈ Ω thì ξ : Ω → X
là giới hạn của dãy các ánh xạ đo được nên cũng đo được. Lại có với mỗi ω ∈ Ω
k T(ω, ξ(ω))− ξ(ω) k
≤k T(ω, ξ(ω)) −T(ω, ξnj(ω)) k + k T(ω, ξnj(ω))− ξnj(ω) k
+ k ξnj(ω)− ξ(ω) k
cho j → ∞ suy ra ξ là điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Định lí 3.2.3. Cho F là tập con khác ∅, bị chặn và lồi đóng trên
khơng gian Hilbert tách được X và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên liên tục đủ và khơng giãn. Khi đó, với biến ngẫu nhiên F - giá trị ξ0 cố định bất kì, quy trình lặp ngẫu nhiên Ishikawa hội tụ đến điểm bất động của T.
Chứng minh. Vì khơng gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial nên RF(T) 6= ∅. Gọi ξ∗ : Ω → F là điểm bất động của T và {ξn}
là dãy ánh xạ đo được lập nên quy trình lặp ngẫu nhiên Ishikawa. Lại có, với mỗi ω ∈ Ω, dãy con {k T(ω, ξnj(ω)) − ξnj(ω) k} của dãy {k T(ω, ξn(ω))− ξn(ω) k} thỏa mãn
k T(ω, ξnj(ω))−ξnj(ω) k→ 0 khi n → ∞ (9) Mà ξn(ω) bị chặn và T(ω, .) là liên tục, đầy đủ với mỗi ω ∈ Ω nên
{T(ω, ξnj(ω))} hội tụ, giả sử T(ω, ξnj(ω)) → ξ(ω) với mỗi ω ∈ Ω,
trong đó ξ : Ω → Xlà giới hạn của dãy các ánh xạ đo được nên cũng đo được. Kết hợp với (9) ta có
ξnj(ω) → ξ(ω) với mỗi ω ∈ Ω (10)
Áp dụng Bổ đề 3.2.2 ta có ξ là điểm bất động của T. Lại có,
{k ξn(ω) − ξ(ω) k} là dãy giảm các số thực nên từ (10) ta có
k ξn(ω)− ξ(ω) k→ 0 với mỗi ω ∈ Ω khi n → ∞ suy ra ξn(ω) →
ξ(ω) khi n → 0.
Định lí 3.2.4. Cho F là tập con và lồi trên không gian mêtric đầy đủ, tách được X và T : Ω×F → F là tốn tử ngẫu nhiên Ψ
ξn+1(ω) = T(ω, ξn(ω))
với mỗi ω ∈ Ω, n = 0,1, ... và ξ0 là biến ngẫu nhiên F - giá trị bất kì. Khi đó, dãy {ξn} hội tụ đến điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Chứng minh. Theo giả thiết với mỗi ω ∈ Ω, n = 0,1, ...
ξn+1(ω) = T(ω, ξn(ω))
Do đó d(ξn+1(ω), ξn+2(ω)) = d(T(ω, ξn(ω)), T(ω, ξn+1(ω)))
≤ d(ξn(ω), ξn+1(ω))− Ψ(ω, d(ξn(ω), ξn+1(ω)))
VìΨ(ω, .)là dương trên(0,∞)với mỗiω ∈ Ωnên{d(ξn(ω), ξn+1(ω))}
là dãy không âm và khơng tăng trên tập số thực dương ⇒ nó hội tụ đến Lω (phụ thuộc ω) sao cho Lω ≥ 0. Chứng minh Lω = 0.
Thật vậy, Giả sử ngược lại Lω > 0 với mỗi ω ∈ Ω, ta có Ψ(ω, d(ξn(ω), ξn+1(ω))) ≥ Ψ(ω, Lω) > 0
⇒ d(ξn+1(ω), ξn+2(ω)) = d(T(ω, ξn(ω)), T(ω, ξn+1(ω)))
≤ d(ξn(ω), ξn+1(ω)) −Ψ(ω, Lω)
Tiếp tục quá trình này ta thu được
d(ξm+N(ω), ξm+N+1(ω)) = d(T(ω, ξm+N−1(ω)), T(ω, ξm+N(ω)))
≤ d(ξm(ω), ξm+1(ω))−NΨ(ω, Lω)
Từ đó d(ξm+N(ω), ξm+N+1(ω)) +NΨ(ω, Lω) ≤ d(ξm(ω), ξm+1(ω))
Điều này mâu thuẫn với N đủ lớn. Vậy Lω = 0 với mỗi ω ∈ Ω.
Lấy > 0, chọn N sao cho: d(ξN(ω), ξN+1(ω)) ≤ min{
2,Ψ(ω, 2)}.
Ta sẽ chứng minh với mỗi ω ∈ Ω
T(ω,·)(B(T(ω, ξN−1(ω)), )) ⊆ B(T(ω, ξN−1(ω)), )) . Thật vậy:
d(T(ω, xω), ξN(ω))
≤ d(T(ω, xω), T(ω, ξN(ω))) +d(T(ω, ξN(ω)), ξN(ω))
≤ d(xω, ξN(ω))−Ψ(ω, d(xω, ξN(ω)))+d(T(ω, ξN(ω)), ξN(ω))
< 2 + 2 = với mỗi ω ∈ Ω.
* Nếu 2 < d(xω, ξN(ω)) ≤ với mỗi ω ∈ Ω thì
d(T(ω, xω), ξN(ω))
≤ d(T(ω, xω), ξN+1(ω)) +d(ξN+1(ω), ξN(ω))
≤ d(xω, ξN(ω))−Ψ(ω, d(xω, ξN(ω))) +d(ξN+1(ω), ξN(ω))
≤ d(xω, ξN(ω))−Ψ(ω, 2) + Ψ(ω, 2) ≤
Do đó T(ω, xω) ∈ B(ξN(ω), ) với mỗi ω ∈ Ω. Vì tùy ý nên
{ξn(ω)} là một dãy Cauchy với mỗi ω ∈ Ω mà T(ω, ξn−1(ω)) ∈
B(ξN(ω), ) với mỗi ω ∈ Ω và n > N suy ra ξn(ω) → ξ(ω) (với
ξ : Ω → F là giới hạn của dãy ánh xạ đo được nên cũng đo được) Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Định lí 3.2.5. Cho F là tập con và lồi trên không gian Banach tách được X và T : Ω×F → F là tốn tử ngẫu nhiên Ψ - co yếu. Xét một dãy các ánh xạ {ξn} từ Ω vào F như sau
ξn+1(ω) = (1 −αn)ξn(ω) +αnT(ω, ξn(ω))
với mỗi ω ∈ Ω, n = 0,1, ... khi 0 ≤ αn ≤ 1 với Σαn = ∞ và ξ0 là biến ngẫu nhiên F - giá trị bất kì. Khi đó, dãy {ξn} hội tụ đến điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Chứng minh. Gọi ξ : Ω → F là điểm bất động ngẫu nhiên của T. Chú ý rằng với mỗi ω ∈ Ω
k ξn+1(ω)− ξ(ω) k=k (1− αn)ξn(ω) +αnT(ω, ξn(ω))− ξ(ω) k ≤ (1− αn) k ξn(ω) −ξ(ω) k +αn k T(ω, ξn(ω))− ξ(ω) k ≤ (1−αn) k ξn(ω)−ξ(ω) k +αn k T(ω, ξn(ω))−T(ω, ξ(ω)) k ≤ (1− αn) k ξn(ω) −ξ(ω) k +αn[k ξn(ω)−ξ(ω) k −Ψ(ω,k ξn(ω)− ξ(ω) k)] ≤k ξn(ω)−ξ(ω) k
Hơn nữa, dãy {k ξn(ω)−ξ(ω) k} là một dãy không âm và không tăng hội tụ đến giới hạn Lω (phụ thuộc ω) sao cho Lω ≥ 0. Chứng
minh Lω = 0.
Thật vậy, Giả sử ngược lại Lω > 0 với mỗi ω ∈ Ω với bất kì số nguyên cố định N, ta có
Σ∞n=NαnΨ(ω, Lω) ≤ Σn=N∞ αnΨ(ω,k ξn(ω)−ξ(ω) k) ≤ Σ∞n=N[k ξn(ω)− ξ(ω) k − k ξn+1(ω)− ξ(ω) k] ≤k ξN(ω)− ξ(ω) k
Điều này mâu thuẫn với Σαn = ∞. Do đó Lω = 0 với mỗi ω ∈
Ω.Vậy ξn(ω) → ξ(ω) khi n → ∞ với mỗi ω ∈ Ω
Định lí 3.2.6. Cho T : Ω×F → F là tốn tử ngẫu nhiên Ψ - co yếu với F là tập con khác ∅ và lồi đóng trên khơng gian Banach tách được X . Dãy các ánh xạ {ξn} và {ηn} được định nghĩa như sau
ξn+1(ω) = (1 −αn)ξn(ω) +αnT(ω, ηn(ω))
ηn(ω) = (1 −βn)ξn(ω) + βnT(ω, ξn(ω))
ξ0 là biến ngẫu nhiên F - giá trị bất kì.
Khi đó, dãy lặp ngẫu nhiên {ξn} hội tụ đến điểm bất động của T.
Chứng minh. Gọi ξ : Ω → F là điểm bất động ngẫu nhiên của T. Với mỗi ω ∈ Ω k ξn+1(ω)− ξ(ω) k=k (1− αn)ξn(ω) +αnT(ω, ηn(ω))− ξ(ω) k ≤ (1 −αn) k ξn(ω)− ξ(ω) k +αn k T(ω, ηn(ω))−ξ(ω) k = (1 −αn) k ξn(ω)−ξ(ω) k +αn k T(ω, ηn(ω)) −T(ω, ξ(ω)) k ≤ (1 −αn) k ξn(ω)− ξ(ω) k +αn[k ηn(ω)−ξ(ω) k −Ψ(ω,k ηn(ω)− ξ(ω) k)] = (1−αn) k ξn(ω)−ξ(ω) k +αn[k (1−βn)ξn(ω) +βnT(ω, ξn(ω)) −ξn(ω) k −Ψ(ω,k ηn(ω) −ξ(ω) k)] ≤ (1 −αn) k ξn(ω)− ξ(ω) k +αnβn k ξn(ω) −ξ(ω) k +βnαn[k ξn(ω)− ξ(ω) k −Ψ(ω,k ξn(ω)− ξ(ω) k)] −αnΨ(ω,k ηn(ω)− ξ(ω) k)] ≤ (1 −αn) k ξn(ω)− ξ(ω) k +αn[(1− βn) k ξn(ω)− ξ(ω) k +βn k T(ω, ξn(ω))−ξ(ω) k] −αnΨ(ω,k ηn(ω)− ξ(ω) k) +βnαn[k ξn(ω)− ξ(ω) k −Ψ(ω,k ηn(ω) −ξ(ω) k) −αnΨ(ω,k ηn(ω)− ξ(ω) k)] ≤k ξn(ω)− ξ(ω) k −βnαnΨ(ω,k ξn(ω)−ξ(ω) k) −αnΨ(ω,k ηn(ω)− ξ(ω) k) ≤k ξn(ω)− ξ(ω) k
Hơn nữa, dãy {k ξn(ω)−ξ(ω) k} là một dãy không âm và không tăng hội tụ đến giới hạn Lω (phụ thuộc ω) sao cho Lω ≥ 0. Chứng
minh Lω = 0.
Thật vậy, Giả sử ngược lại Lω > 0 với mỗi ω ∈ Ω, thì với bất kỳ
N nguyên cố định
Σ∞n=NαnβnΨ(ω, Lω) ≤ Σn=N∞ αnβnΨ(ω,k ξn(ω)− ξ(ω) k) ≤ Σ∞n=N[k ξn(ω)− ξ(ω) k − k ξn+1(ω)− ξ(ω) k] ≤k ξN(ω) −ξ(ω) k
Điều này mâu thuẫn với Σαnβn = ∞. Do đó Lω = 0 với mỗi
ω ∈ Ω. Vậy ξn(ω) → ξ(ω) khi n → ∞ với mỗi ω ∈ Ω
Định lí 3.2.7. Cho T : Ω×F → F là tốn tử ngẫu nhiên Ψ - co yếu với F là tập con và lồi trên không gian Banach X .Dãy các ánh xạ {ξn} xác định bởi
ξn(ω) = Sn(ω, ξ0(ω)
với mỗi ω ∈ Ω, n = 0,1,· · · , ξ0 : Ω → F là ánh xạ đo được cố định bất kì và tốn tử ngẫu nhiên S : Ω × F → F được định nghĩa: S(ω, x) = Σki=0αiTi(ω, x) với mỗi αi ≥ 0,Σki=0αi = 1 và
α1 6= 0. Khi đó, dãy ngẫu nhiên {ξn} hội tụ đến điểm bất động của T.
Chứng minh. Ta chứng minh với mỗi i, 1 ≤ i ≤ k, Ti(ω, .) là toán tử ngẫu nhiên Ψ - co yếu.
Thật vậy
* i = 1: điều này là đúng * Giả sử nó đúng với i = j
Với x, y ∈ X, ta có k Tj+1(ω, x)−Tj+1(ω, y) k ≤k Tj(ω, x)− Tj(ω, y) k −Ψ(x,k Tj(ω, x)−Tj(ω, y)) ≤k Tj(ω, x)− Tj(ω, y) ≤k x −y k −Ψ(ω,k x− y k) Lại có k S(ω, x)−S(ω, y) k =k Σki=0αi(Ti(ω, x)−Ti(ω, y)) k ≤ Σki=0αi k Ti(ω, x)− Ti(ω, y) k = α0 k x− y k + k Σki=1αi(Ti(ω, x)−Ti(ω, y)) k ≤ α0 k x −y k +Σki=1αi[k x −y k −Ψ(ω,k x− y k)] =k x− y k −Σk i=1αiΨ(ω,k x −y k)
Do đó S là tốn tử ngẫu nhiên Ψ - co yếu với Φ(ω, .) = Σki=1αiΨ(ω, .). Sự hội tụ của quá trình lặp được suy ra từ
Định lý 3.2.4.
3.3. Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm
bất động và giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên