nghiệm : Fx =A Fy =B Fz =−(Ax0+By0) F = 0. Dùng phương pháp thế ta được: ( x0Fx+y0Fy+Fz = 0 F = 0.
Đặt Fe là đường cong có phương trình x0Fx+y0Fy+Fz = 0. Dễ thấy rằng Fe
đi qua những điểm kì dị của F. Từ mỗi giao điểm của Fe và F ta sẽ tìm được một phương trình tiếp tuyến kẻ từ P tới F, nếu điểm đó khơng phải là điểm kì dị của F.
Giả sử Q(0 : 0 : 1) là một điểm node thường của F và f(x, y) = F(x, y,1) = =xy+ax3+by3+. . ., với a, b đều khác0. Khi đó fe(x, y) =Fe(x, y,1) =x0x+y0y+ 3ax0x2+ 3by0y2+. . .. Từ đó ta thấy nếu x0 vày0 đều khác0 thìIQ(F,Fe) = 2, nếu
x0= 0 (hoặc y0 = 0 ) thì IQ(F,Fe) = 3, nhưng từ P lại kẻ được một tiếp tuyến là
x= 0 (hoặc y = 0) tiếp xúc với F tại Q.
Giả sử Q(0 : 0 : 1) là một điểm cusp thường của F và f(x, y) = F(x, y,1) =
y2+ax3+. . ., trong đóa6= 0. Khi đó f(x, y) =e Fe(x, y,1) = 2y0y+ 3ax0x2+. . .. Nếu y0= 0thìf vàfekhơng có tiếp tuyến chung tạiQnênIQ(f,f) =e mQ(f)mQ(f) = 4,e
nhưng khi đó ta lại kẻ được một tiếp tuyếny= 0 từ P tiếp xúc vớiF tại Q. Cịn
nếu y0 6= 0 thì IQ(f,f) =e IQ(f , fe − 2y0y f) = 3.e
Mặt khác theo định lý Bezout thì số giao điểm (tính cả bội) của F và Fe
bằng deg(F)deg(Fe) = n(n−1). Vậy từ những điều trên suy ra qua P kẻ được
n(n−1)−2α−3γ tiếp tuyến tới F hay n′ =n(n−1)−2α−3γ.
Cịn cơng thức γ′ = 3n(n−2)−6α−8γ được suy ra từ mệnh đề 2.1.1, vì γ′
chính là số các điểm uốn của F và bằng deg(F)deg(HF)−6α−8γ.
Các cơng thức cịn lại được chứng minh tương tự khi ta gán F :=F∗.
Mở rộng thêm, ta sẽ tìm cơng thức tương tự khi giả thiết F là một đường cong trơn bậc4 bất kỳ. Khi đó, α vàβ đếu bằng0, ngoài ra xuất hiện thêm một
bất biến mới là số điểm uốn bậc 2 của F, ta đặt là β. Theo [5] thì đối ngẫu với
tiếp tuyến tại điểm uốn bậc 2 là một điểm kỳ dị bội 3 có dạng y3 = x4, trên đường cong đối ngẫu. Do vậy, β cũng chính là số điểm bội 3 (như trên) của F∗. Bây giờ ta sẽ xem lại từng công thức trong định lý trên, liệu chúng có cịn đúng hoặc có thay đổi gì khơng?
Với cơng thức thứ nhất ta chỉ việc thay α = γ = 0, n = 4 và tính được bậc của đường cong đối ngẫun′= 12. Bởi vì trong phần chứng minh định lý trên, ta
thấy rằng việc xuất hiện điểm uốn bậc 2 không ảnh hưởng n′.
(thường), γ′ là số cusp (thường) vàβ là số các điểm bội 3 (như trên) và đó cũng là tất cả các điểm kỳ dị của F∗. Để tìm lớp của F∗ tức là bậc của F, ta cũng bắt đầu từ hệ phương trình: ( x0F∗ x +y0F∗ y +F∗ z = 0 F∗= 0.
Đặt Ff∗ là đường cong có phương trình x0F∗
x +y0F∗
y +F∗
z = 0. Tại các điểm
node và cusp trong chứng minh định lý trên đã trình bày, bây giờ ta tính số giao củaFf∗ vàF∗ tại một điểm bội 3 củaF∗. Giả sửP(0 : 0 : 1) là một điểm bội 3và
f∗ =F∗(x, y,1) =y3+ax4+· · ·, a6= 0. Khi đó, qua một vài thao tác ta dễ dàng
tính được IP(F∗,Ff∗) = 8.
Vậy công thức thứ 2 trong trường hợp này là:
n=n′(n′−1)−2α′−3γ′−8β.
Cịn cơng thức thứ 3 là:
γ′= 3n(n−2)−2β.
Đây là một hệ quả trực tiếp từ mệnh đề 2.1.1.
Trong công thức thứ 4, γ (bằng 0) chính là số điểm uốn của F∗, nên để xét lại cơng thức này, ta sẽ đi tìm số giao củaF∗ và HF∗ tại điểm bội 3 củaF∗. Giả sử P(0 : 0 : 1) là một điểm bội 3củaF∗ vàf∗=F∗(x, y,1) =y3+ax4+· · ·, a6= 0.
Khi đó,g = (fx∗)2fyy∗ + (fy∗)2fxx∗ −2fx∗fy∗fxy∗ = 108ax2y4+ 96ax6y+· · ·, ta sẽ đi tính
IP(f∗, g) =IP(f∗, g−108ax2yf∗) = IP(f∗,−12a2x6y+· · ·).
Trước hết ta có: IP(f∗, y2(−12a2x6y + · · ·)) = IP(f∗, y2(−12a2x6y + · · ·) + 12a2x6f∗) = IP(f∗,12a3x10+· · ·) = IP(y3+x4+· · · ,12a3x10+· · ·) = 3×10 = 30
(theo tính chất 5 của số giao).
Mặt khác, IP(f∗, y2) = IP(f∗−y.y2, y2) = IP(ax4, y2) = 8. Theo tính chất (6)
của số giao ta có:IP(f∗, y2(−12a2x6y+· · ·)) =IP(f∗, y2) +IP(f∗,−12a2x6y+· · ·).
Vậy IP(F∗, HF∗) = 22 và công thức thứ 4 ca Plăucker trong trng hp F là một đường cong trơn bậc 4 là:
γ = 0 = 3n′(n′−2)−6α′−8γ′−22β.
Tóm lại, với F là một đường cong trơn bậc 4 ta có các kết quả sau: 1’) n′= 12.
2’) n = 4 =n′(n′−1)−2α′−3γ′−8β.
3’) γ′ = 3n(n−2)−2β.
4’) γ = 0 = 3n′(n′−2)−6α′−8γ′−22β.
Từ các công thức trên ta đưa ra một vài nhận xét như sau:
a) Công thức (4’) là trùng với công thức (2’), nhưng nó đem lại thêm cho ta thơng tin về số giao của đường cong đối ngẫuF∗ và đường cong Hessian của nó tại các điểm kỳ dị của F∗.
b) Thay (1’) và (3’) vào (2’) ta có α′ = 28−β. Mặt khác, ta có đánh giá về số
điểm uốn bội2củaF như sau:0≤β ≤ deg(F) deg(HF)
2 = 12. Chính xác hơn theo
[8] thìβ có thể nhận lần lượt các giá trị từ 0tới 12, ngoại trừ hai giá trị10và11.
Từ đó ta thấy rằng, số các song tiếp tuyến của F là α′ ∈ {16; 19; 20; 21;. . .; 28}. Ví dụ về trường hợp α′ = 16 là đường cong Fermat x4+y4+z4 = 0, trường hợp
α′ = 28 là đường cong Klein x3y+y3z+z3x = 0, tính tốn cụ thể về song tiếp
tuyến của hai đường cong này chúng tơi có trình bày trong chương 3.
Chương 3