Xác suất của biến cố

3 Xác suất và một số ứng dụng

3.2 Xác suất của biến cố

Trở lại với ví dụ 3.1.1 ta xét biến cố A là "kết quả bốn lần tung có ít nhất ba lần xuất hiện mặt ngửa". Khi đó số kết quả của Ω làm A xuất hiện là: NNNN, NSNN, NNSN, NNNS, SNNN. Khi đó năm kết quả này được gọi là kết quả có lợi cho biến cố A, khả năng xảy ra biến cố A là 5

16.

Định nghĩa 3.2.1. Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện một phép thử.

3.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Định nghĩa 3.2.2. Xét phép thử T với không gian mẫu Ω là hữu hạn. Biến cố

A⊂Ω, khi đó tỉ số

P (A) = |A| |Ω|

được gọi là xác suất của biến cố A.

Nói một cách khác P là một hàm số xác định trên tập tất cả các tập con của Ω, mà tập giá trị của P là [0,1] vì |A| ≤ |Ω| với mọi A ⊂ Ω. Ta có một số tính chất của xác suất như sau

1) 0≤P(A)≤1, ∀A⊂Ω.

2) P(Ω) = 1.

3) P(∅) = 0.

Ví dụ 3.2.1. Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối đồng chất tìm xác suất để có biến cố:

A: " Xuất hiện hai mặt sấp". B: "Một mặt sấp, một mặt ngửa". C: "Ít nhất một mặt sấp".

Lời giải.

Ω = {SS, N N, N S, N N}, |Ω|= 4 A={SS},|A|= 1; B ={SN, N S},|B|= 2; C ={SS, SN, N S},|C|= 3. nên P(A) = 1 4 = 0,25;P(B) = 2 4 = 0,5;P(C) = 3 4 = 0,75.

Ví dụ 3.2.2. Một hộp có a quả cầu trắng, b quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu. Tìm xác suất để biến cố sau xảy ra

a) A : "Quả cầu thứ nhất là trắng".

b) B : " Quả cầu thứ hai là trắng biết quả cầu thứ nhất là trắng".

Lời giải. a) Ta có

Số cách lấy lần lượt hai quả bóng là(a+b)(a+b−1)nên|Ω|= (a+b)(a+b−1). Số cách lấy quả bóng đầu tiên là trắng, quả thứ hai là tùy ý là a.(a+b−1) nên |A|=a(a+b−1).

Vậy P(A) = a(a+b−1) (a+b)(a+b−1) =

a a+b.

b) Sau khi lần đầu lấy quả trắng, số cách để lần thứ hai lấy được quả trắng là

a−1 nên |B|=a−1.

Số cách để lấy được một quả từ a+b−1quả là a+b−1, tức |Ω|=a+b−1 nên P(B) = a−1

a+b−1.

Ví dụ 3.2.3. Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ bộ tú lơ khơ 52 con. Tìm xác suất của biến cố sau

A: "Lấy được 5 con màu đỏ".

B : "Lấy được một con cơ, hai con rơ, ba con bích".

C : "Lấy được một con át, hai con J, ba con 9, hai con 2".

D: "Lấy được ba con cùng một chất đã chọn trước".

Lời giải.

Để lấy 8 con từ 52 con tú có C528 (cách) nên |Ω|=C528 .

Ta cần lấy 5 con đỏ, 3 con đen, nên

Ta cần lấy 1 con cơ, 2 con rơ, 3 con bích, 2 con tép, nên |B|=C135 .C263 .C133 .C132 = 22620312.

Ta cần lấy 1 con át, hai con J, ba con 9, hai con 2, nên |C|=C41.C42.C43.C42 = 576.

Ta cần lấy ba con cùng một chất và năm con thuộc ba chất khác nên |D|=C133 .C395 = 286575757. Ta có: P(A) = 171028000 752538150 = 0,227268; P(B) = 22620312 752538150 = 0,03006; P(C) = 576 752538150 = 0,0000007654; P(D) = 286575757 752538150 = 0,2188148.

Ví dụ 3.2.4. Có n người khách ra khỏi nhà mà khơng lấy mũ của mình. Chủ nhà khơng biết rõ chủ của các chiếc mũ là ai nên gửi trả họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để

a) Cả n người khơng nhận đúng mũ của mình.

b) Cả n người được trả đúng mũ.

c) Có k người 1≤k≤n−1 người được trả đúng mũ.

Lời giải.

Ta có: |Ω|=n!

a) Gọi biến cố A: "Cả n người khơng nhận đúng mũ" Khi đó: |A|=Dn, nên P(A) = Dn

n! .

b) Gọi biến cố B: "Cả n người được trả đúng mũ" Khi đó: |B|= 1, nên P(B) = 1

n!.

Để có k người được trả đúng mũ thì có đúng n−k người khơng được trả đúng mũ, nên |C|= n−1 X k=1 CnkDn−k; P(C) = n−1 P k=1 CnkDn−k n! .

3.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa 3.2.3. Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện.

Ta ký hiệu số phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k. Tần suất xuất

hiện biến cố A là f(A) thì:

f(A) = k

n.

Định nghĩa 3.2.4. Xác suất xuất hiện biến cốA trong một phép thử là một số

p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động xung quanh p, khi số phép thử của n tăng lên vơ hạn thì P(A)≈f(A) .

Ví dụ 3.2.5. Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu khi theo dõi 88200 trẻ sơ sinh ở một vùng có 45000 con trai.

Lời giải.

Ta có P(A)≈f(A) = 4500

88200 = 0,51.

Tức xác suất sinh con trai xấp xỉ 0,51. Hay tỉ lệ sinh con trai và con gái xấp xỉ là 51 nam, 50 nữ.

3.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất

Định nghĩa hình học về xác suất có thể sử dụng khi tìm xác suất để một điểm ngẫu nhiên rơi vào một phần nào đó của một miền cho trước tỉ lệ với độ đo của miền đó (độ đo ở đây là độ dài, diện tích, thể tích).

Nếu độ đo hình học của tồn bộ một miền cho trước làS, độ đo hình học của

một miền A nào đó là SA, thì xác suất để một điểm ngẫu nhiên rơi vào điểm A

là P = SA

S .

Định nghĩa hình học của xác suất là một mở rộng của định nghĩa cổ điển của xác suất.

Ví dụ 3.2.6. Trên mặt phẳng, cho đường trịn bán kính R cố định và đường thẳng d. Kẻ ngẫu nhiên các đường thẳng cắt đường tròn song song với d. Tìm

xác suất để đường thẳng đó cắt đường trịn theo dây cung có độ dài nhỏ hơn R.

Lời giải.

Qua tâmO của đường trịn kẻ đường thẳng vng góc vớid, nhận được đường

kính CD.

Gọi ∆ // d, ∆ cắt CD tại H và ∆⊥d

Vậy miền S là đoạn CD. Dựng tam giác đều OF E khi đó EF =R.

Khi đó miền A là đoạn HD.

Vậy xác suất cần tìm là 2(R−R √ 3 2 ) 2R = 1− √ 3 2 .

Ví dụ 3.2.7. Bài tốn hai người gặp nhau.

Giả sử hai người hẹn gặp nhau tại một điểm xác định vào khoảng từ 19h tới 20h

theo quy tắc. Mỗi người đến địa điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lập, chờ 20 phút trong phạm vi khơng q 20h, khơng thấy người kia thì bỏ

đi. Tìm xác suất để hai người gặp nhau.

Lời giải.

Gọi X, Y là thời điểm đến hẹn của mỗi người, tức là X, Y ∈ [19,20], miền S

|X−Y| ≤ 1

3. Nên miền A là:

{(X, Y) :|X−Y| ≤ 1 3}. Diên tích miền S là 1, diện tích miền A là

1−2(1 2. 2 3. 2 3) = 5 9. Nên P(A) = 5 9 = 0,555. 3.3 Định lý cộng xác suất

Theo định nghĩa của biến cố thì biến cố là tập con của khơng gian mẫu Ω nên trên các biến cố cũng có các phép tốn tập hợp, trên cơ sở đó ta cũng xây dựng một số cơng thức tính xác suất khác.

Định nghĩa 3.3.1. Biến cố C là tổng của hai biễn cốA và B, kí hiệu là A+B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.

Nói cách khác, ta viết C =A+B ⇔C =A∪B. Mở rộng

C =A1+A2+...+An ⇔C= ∪n i=1Ai.

Định nghĩa 3.3.2. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.

Định nghĩa 3.3.3. Nhóm n biến cố A1, A2, ..., An được gọi là xung khắc từng đơi một nếu bất kì hai biến cố này cùng xung khắc nhau. Tức là

Ai∩Aj =∅,∀i6=j, i, j = 1, n.

Định lý 3.3.1. (Định lý cộng xác suất) Cho A và B là hai biến cố xung khắc, khi đó

P(A+B) =P(A) +P(B). (3.1)

Chứng minh. Ta có A+B = A∪B, giả sử |A| = m1,|B| = m2, tất cả các kết quả của không gian mẫu là n.

Do|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|, mà|A∩B|= 0nên|A∪B|=|A|+|B|=m1+m2.

Suy ra: P(A∪B) = m1+m2 n ; P(A) +P(B) = m1 n + m2 n = m1+m2 n . Vậy ta có P(A+B) =P(A) +P(B). Hệ quả 3.3.1. Cho A1, A2, ..., An là nhóm các biến cố đơi một xung khắc, ta có

P(A1+A2+...+An) =P(A1) +P(A2) +...+P(An). (3.2)

Ví dụ 3.3.1. Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia điểm 10 là 0,1; trúng bia điểm 9 là 0,2; trúng bia điểm 8 là 0,25 và ít hơn điểm 8 là 0,45. Xạ thủ ấy bắn một viên đạn. Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm.

Lời giải.

Gọi A1 là biến cố "Xạ thủ bắn trúng điểm 10". Gọi A2 là biến cố "Xạ thủ bắn trúng điểm 9".

Gọi A là biến cố "Xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm". Vậy A=A1+A2.

Vì A1, A2 xung khắc nên ta có

P(A1+A2) =P(A1) +P(A2) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Định nghĩa 3.3.4. Nhóm biến cố A1, A2, ..., An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu

Hệ quả 3.3.2. Nếu A1, A2, ..., An tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố thì P( n X i=1 (Ai)) = n X i=1 P(Ai) = 1. (3.3)

Định nghĩa 3.3.5. Hai biến cốA và B được gọi là đối lập nếu chúng tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, tức là A∪B = Ω và A∩B =∅. Khi đó ta kí hiệu biến cố đối (đối lập) của biến cố A là A.

Hệ quả 3.3.3. Nếu A và A là hai biến cố đối lập, thì ta có

P(A) = 1−P(A). (3.4)

Ví dụ 3.3.2. Trong hịm có n sản phẩm trong đó có m chính phẩm (m ≤ n).

Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm, tìm xác suất để trong k sản phẩm có ít nhất một chính phẩm (k≤n).

Lời giải.

Gọi A là biến cố "k sản phẩm lấy ít nhất một chính phẩm", thì biến cố đối của A là "k sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm".

Do đó P(A) = 1−P(A). Mà |A|=Cn−mk , k ≤n−m, nên P(A) = 1−C k n−m Ck n .

Ví dụ 3.3.3. Trong hịm có 10 chi tiết trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất khi lấy ra ngẫu nhiên 6 chi tiết thì khơng có q một chi tiết hỏng.

Lời giải.

Gọi A0 là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có chi tiết hỏng". Gọi A1 là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra có một chi tiết hỏng".

Gọi A0 là biến cố "Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có q một chi tiết hỏng". Khi đó A=A0+A1, A0, A1 là hai biễn cố xung khắc.

P(A) = P(A0+A1) =P(A0) +P(A1). Mà P(A0) = C 6 8 C106 = 2 15; P(A1) = C 1 2C85 C106 = 8 15. Nên P(A) = 2 15+ 8 15 = 2 3.

3.4 Định lý nhân xác suất

Bây giờ ta xét trường hợp một biến cố C là giao của hai biến cố A, B.

Định nghĩa 3.4.1. Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, nếu C

xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. Về mặt tập hợp: C =A.B ⇔C=A∩B

Định nghĩa 3.4.2. Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2, ..., An nếu

A xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố A1, A2, ..., An xảy ra. Kí hiệu: A=

n

Q

i=1

Ai.

Định nghĩa 3.4.3. Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra biến cố kia và ngược lại. Hai biến cố A, B khơng độc lập thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.

Ví dụ 3.4.1. Trong bình có 3 quả cẩu trắng, 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Gọi A là biến cố "Lấy được quả cầu trắng" thì P(A) = 3

5.

Quả cầu được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy ra một quả cầu. Gọi B là biến cố "Lần thứ hai lấy được quả cầu trắng" thì P(B) = 3

5, P(B) không phụ thuộc vào A nên A, B độc lập. Tuy nhiên nếu ta lấy quả cầu trắng và không bỏ lại vào bình thì P(B) = 1

2. Khi đó A, B là phụ thuộc nhau

Chú ý:Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B, A và B, A và B cũng độc lập với nhau.

Định nghĩa 3.4.4. Các biến cố A1, A2, ..., An gọi là độc lập từng đôi nếu Ai, Aj

độc lập, i6=j, i, j = 1, n.

Định nghĩa 3.4.5. Các biến cố A1, A2, ..., An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp bất kì của các biến cố cịn lại.

Định lý 3.4.1. (Định lý nhân xác suất) Cho A, B là hai biến cố độc lập thì

P(A.B) =P(A).P(B). (3.5)

Nhận xét 3.4.1. P(A.B) =P(A).P(B)⇔ A và B độc lập.

Hệ quả 3.4.1. Nếu A, B độc lập thì

P(A) = P(A.B)

Hệ quả 3.4.2. Nếu A1, A2, ..., An độc lập tồn phần thì P( n Y i=1 Ai) = n Y i=1 P(Ai). (3.7)

Ví dụ 3.4.2. Trong một cuộc thi đấu có A và B tham gia. Khả năng lọt vào chung kết của A là 90%, của B là 70%. A, B không cùng một bảng đấu. Tìm xác suất của các biến cố

D: "Cả hai lọt vào chung kết".

E: "Có ít nhất một người lọt vào chung kết". F: "Chỉ có A lọt vào chung kết".

Lời giải.

Gọi A là biến cố "Người A lọt vào chung kết". Gọi B là biến cố "Người B lọt vào chung kết". Khi đó, dễ thấy A, B là hai biến cố độc lập, và

D=A.B;

E =A.B+A.B+AB; F =A.B.

Theo bài P(A)=90%=0,9, P(B)=70%=0.7 nên

P(D) = P(A.B) =P(A)P(B) = 0,9.0,7 = 0,63;

P(E) = P(A.B) +P(A.B) +P(A.B) = 0,7.0,9 + 0,7.0,1 + 0,9.0,3 = 0,97;

P(F) = P(A.B) =P(A).P(B.

Bây giờ ta xét trương hợp hai biến cố A và B phụ thuộc nhau. Trước hết ta xét khái niệm xác suất có điều kiện.

Định nghĩa 3.4.6. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra, gọi là xác suất có điều kiện của A và kí hiệu là P(A/B)

Định lý 3.4.2. (Về xác suất có điều kiện) Cho A, B là hai biến cố phụ thuộc, khi đó

P(A.B) = P(A).P(A/B) =P(B).P(B/A). (3.8)

Chứng minh. Giả sử A, B là hai biến cố của cùng khơng gian mẫu Ω và |Ω|=n,|A|=m1.|B|=m2,|A.B|=k. Khi đó

P(A.B) = k

n, P(B/A) = k

m1, P(A/B) = k

Vậy P(A.B) = k n = k m1. m1 n =P(A)P(B/A). P(A.B) = k n = k m2. m2 n =P(B)P(A/B). Hệ quả 3.4.3. Nếu P(B) > 0 thì P(A/B) = P(AB) P(B) . (3.9)

Hệ quả 3.4.4. Nếu A1, A2, ..., An là n biến cố phụ thuộc nhau thì

P(A1A2...An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1A2...An−1). (3.10)

Hệ quả 3.4.5. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

P(A/B) =P(A), P(B/A) =P(B). (3.11)

Ví dụ 3.4.3. Một cơ quan có ba chiếc xe ơ tơ, khả năng xảy ra sự cố tương ứng với mỗi xe là 5%, 20%, 10%. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau

- Cả ba ơ tơ bị sự cố.

- Có ít nhất một xe hoạt động tốt. - Có đúng một xe hoạt động tốt. - Cả ba xe hoạt động tốt.

- Có khơng q hai xe hoạt động tốt.

Lời giải.

Gọi Ai là biến cố "Xe thứ i bị sự cố", i=1,2,3.

Ba biến cố này không xung khắc nhưng độc lập. A là biến cố "Cả ba ô tô cùng bị sự cố".