1.5 Bài toán bước nhảy
1.5.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất
Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Bậc của hàm số giải tích Φ(z) tại điểm z0 là lũy thừa thấp nhất trong khai triển của Φ(z) thành chuỗi lũy thừa của (z−z0).
Từ định nghĩa này suy ra khi Φ(z) có khơng điểm bậc m tại điểm z0 thì m
là bậc của hàm số. Nếu z0 là cực điểm bậc m của Φ(z) thì bậc của Φ(z) tại
z0 là (−m). Nếu một hàm giải tích tại z0, z0 khơng là khơng điểm thì bậc của Φ(z) tại z0 là 0.
Chú ý rằng tại vơ cùng, ta có khai triển hàm theo 1
z nên bậc của hàm số tại
vô cùng được hiểu là lũy thừa của bậc thấp nhất theo 1
z trong khai triển của
hàm số.
Như vậy, bậc của một hàm tại vơ cùng là số dương nếu nó là khơng điểm của hàm và là số âm nếu nó là cực điểm của hàm.
Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Tổng bậc của một hàm là tổng đại số của tất cả các bậc trong miền.
Dễ thấy, tổng bậc của một hàm bằng hiệu số giữa số các không điểm và số các cực điểm của hàm. Như vậy, nếu chúng ta thừa nhận nghiệm của bài tốn biên Riemann khơng có những cực điểm thì từ (1.34) suy ra bậc của nghiệm bài toán biên Riemann thuần nhất bằng chỉ số của bài tốn.
Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Hàm chính tắc của bài tốn Riemann thuần nhất là hàm số giải tích từng khúc thỏa mãn điều kiện biên (1.26), có bậc 0 mọi
nơi trong hữu hạn phần của mặt phẳng và tại điểm z = ∞ bậc của nó bằng κ
Khi κ ≥ 0, thì hàm chính tắc khơng có cực điểm và là nghiệm của bài tốn
bờ. Ta vẫn gọi nó là nghiệm chính tắc của bài tốn tương ứng.
Khi κ < 0, hàm chính tắc có cực điểm tại vơ cùng và, ngược lại, ta thấy nó
khơng là nghiệm của bài tốn bờ thuần nhất.
Tuy nhiên, hàm chính tắc sẽ đóng vai trò là hàm số bổ trợ trong việc giải bài tốn khơng thuần nhất tương ứng.
Nếu ta viết lại điều kiện biên của bài tốn bờ Riemann dưới dạng
Φ+(t) =tκ[t−κG(t)]Φ−(t)
thì ta dễ dàng thấy rằng với κ tùy ý, hàm chính tắc của bài tốn X(z) được cho bởi cơng thức
X+(z) = eΓ+(z), X−(z) = zκeΓ−(z), (1.42) trong đó Γ(z) được cho bởi công thức (1.37)
Khi κ ≥ 0, nghiệm tổng quát của bài tốn thuần nhất được biểu diễn qua
hàm chính tắc như sau
Φ(z) =X(z)Pκ(z). (1.43)