2 Nghiệm hiển
3.6 Phương pháp đơn điệu cho bài toán biên
Trong phần này chúng ta vẫn xét bài toán biên dạng
Dvij +f(i, j, vij) = 0, (i, j)∈Ω, (3.37) điều kiện Dirichlet
vij = 0, (i, j)∈ ∂Ω, (3.38) ở đâyD là toán tử Laplace, Ω là miền hữu hạn, khác rỗng trong Z2 và f(i, j, vij) là hàm thực xác định với (i, j)∈Ω, vij ∈R.
Dãy thực ω = {ωij}(i,j)∈Ω+∂Ω gọi là nghiệm trên của (3.37)-(3.38) nếu
Dωij +f(i, j, ωij)≤ 0, (i, j)∈Ω,
ωij ≥ 0, (i, j)∈ ∂Ω.
Dãy thực u ={uij}(i,j)∈Ω+∂Ω gọi là nghiệm dưới của (3.37)-(3.38) nếu
Duij +f(i, j, uij)≥ 0, (i, j)∈ Ω,
uij ≤0, (i, j)∈ ∂Ω.
Nhận xét: Một nghiệm vừa là nghiệm trên vừa là nghiệm dưới, ngược lại chưa chắc đúng.
Chương 3. Sự tồn tại nghiệm
Sau đây là một số tính chất liên quan đến nghiệm trên và nghiệm dưới của bài tốn (3.37)-(3.38).
+ Tính chất 1. Chou ={uij}là một nghiệm dưới và ω ={ωij}là một nghiệm trên của (3.37)-(3.38). Giả sử f(i, j, v) không tăng theo v với mỗi (i, j) ∈ Ω. Ta ln có uij ≤ωij,(i, j)∈Ω.
Thật vậy, chú ý rằng
D(uij −ωij) +f(i, j, uij)−f(i, j, ωij)≥ 0,(i, j)∈Ω,
uij −ωij ≤ 0, (i, j)∈ ∂Ω,
do f(i, j, v) không tăng theo v nên f(i, j, uij)−f(i, j, ωij)≤ 0 nếu uij −ωij ≥ 0. Theo Hệ quả 1.6.2 thì uij −ωij ≤ 0,(i, j)∈ Ω +∂Ω.
Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát không phải lúc nào nghiệm dưới cũng nhỏ hơn hoặc bằng nghiệm trên. Sau đây là điều kiện để ln có điều này.
+ Tính chất 2. Cho ω = {ωij} là một nghiệm trên của (3.37)-(3.38) sao cho có một dãy dương z ={zij} thỏa mãn
D(λzij)< f(i, j, ωij)−f(i, j, ω+λzij), (i, j)∈ Ω,
vớiλ >0.Khi đóu ≤ ωvớiu ={uij}là một nghiệm dưới bất kỳ của (3.37)-(3.38). Thực vậy, giả sử u là một nghiệm dưới của (3.37)-(3.38) sao cho
uαβ−ωαβ = max
(i,j)∈Ω{uij −ωij}> 0, khi đó uαβ =ωαβ +λ∗zαβ, với λ∗ > 0. Hơn nữa,
0≥ D(uαβ−ωαβ −λ∗zαβ) = Duαβ −Dωαβ −D(λ∗zαβ)
>−f(α, β, uαβ) +f(α, β, ωαβ)−f(α, β, ωαβ) +f(α, β, λzαβ) = 0.
Vậy u ≤ω, với u là nghiệm dưới bất kỳ của (3.37)-(3.38).
+ Tính chất 3. Định lý so sánh khác giữa nghiệm trên và nghiệm dưới.
Định lý 3.6.1. [2, Định lý 117] Giả sử rằng f1(i, j, v)≤ f(i, j, v)≤ f2(i, j, v) với (i, j)∈ Ω. Khi đó một nghiệm trên của
Dωij +f2(i, j, ωij) = 0, (i, j)∈Ω (3.39)
ωij = 0, (i, j)∈ ∂Ω,
cũng là một nghiệm trên của (3.37)-(3.38), và một nghiệm dưới của
uij = 0, (i, j)∈ ∂Ω
cũng là một nghiệm dưới của (3.37)-(3.38).
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nghiệm trên, trường hợp còn lại tương tự. Giả sử ω ={ωij} là nghiệm trên của (3.39), khi đó
Dωij +f2(i, j, ωij)≤ 0, (i, j)∈ Ω,
ωij ≥ 0, (i, j)∈ ∂Ω.
Do f(i, j, v)≤ f2(i, j, v) nên
Dωij +f(i, j, ωij)≤ Dωij +f2(i, j, ωij)≤0, (i, j)∈Ω,
ωij ≥ 0, (i, j)∈ ∂Ω.
Vậy ω = {ωij} cũng chính là nghiệm trên của (3.37)-(3.38).
+ Tính chất 4. Sự tồn tại nghiệm trên và nghiệm dưới của (3.37)-(3.38). Định lý 3.6.2. [2, Định lý 118] Nếu f(i, j, v) ≥ L (hoặc f(i, j, v) ≤ L) với
(i, j)∈ Ω thì (3.37)-(3.38) có một nghiệm dưới (tương ứng một nghiệm trên). Chứng minh. Xét hệ tuyến tính thuần nhất
Dvij +L= 0, (i, j)∈ Ω,
vij = 0, (i, j)∈ ∂Ω.
Theo Hệ quả 1.6.4 hệ này có duy nhất nghiệm{uij}. Theo Định lý 3.6.1 thì {uij} chính là một nghiệm dưới của (3.37)-(3.38).
Bây giờ là định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán biên (3.37)-(3.38).
Định lý 3.6.3. [2, Định lý 121] Giả sử |f(i, j, v)| ≤ M với (i, j)∈ Ω và v ∈ R. Hơn nữa, giả sử f(i, j, u) liên tục theo u với mỗi (i, j)∈ Ω. Khi đó bài tốn biên (3.37)-(3.38) có nghiệm.
Chứng minh. Theo Định lý 2.7.1 nghiệm của (3.37)-(3.38) có dạng
xij = X (u,v)∈Ω
G(u,v)ij f(u, v, xuv), (i, j)∈ Ω.
Xét ánh xạ T : R−→ R xác định bởi, (T x)ij = X
(u,v)∈Ω
Chương 3. Sự tồn tại nghiệm Đặt K := max (i,j)∈Ω X (u,v)∈Ω |G(u,v)ij |, S := {x ={xij}: ||x||∞ ≤ KM},
với||x||∞ = max(i,j)∈Ω|xij|. Dễ thấy S là tập con bị chặn, lồi, đóng trongRΩ. Hơn nữa,
||T x|| = max
(i,j)∈Ω|(T x)ij| ≤ K.|f(u, v, xuv)| ≤ KM.
Do vậy T là ánh xạ từ S vào S và liên tục do với mỗi(i, j)∈Ωvì f liên tục theo biến thứ ba. Vậy theo định lý điểm bất động Browner tồn tại duy nhất x∗ ∈ S
sao cho x∗ =T x∗ hay {x∗ij} là nghiệm của (3.37)-(3.38).
Định lý 3.6.4. [2, Định lý 122] Giả sử f(i, j, u) liên tục theo biến u với mỗi (i, j)∈ Ω. Khi đó với bất kỳ nghiệm dưới u= {uij} và nghiệm trênω = {ωij} của (3.37)-(3.38) thỏa mãn u≤ ω thì có một nghiệm v = {vij} của (3.37)-(3.38) thỏa mãn u≤ v ≤ ω.
Chứng minh. Xét bài toán biên
Dxij + Φ(i, j, xij) = 0, (i, j)∈ Ω, (3.40) xij = 0, (i, j)∈∂Ω, (3.41) ở đây Φ(i, j, x) =
f(i, j, ωij) + (ωij −x)/(1 +x2), x > ωij
f(i, j, x), uij ≤ x≤ ωij, f(i, j, uij + (uij −x)/(1 +x2), x < uij
(3.42)
với (i, j) ∈ Ω. Rõ ràng, hàm Φ bị chặn với mỗi (i, j) ∈ Ω và x ∈ R, và liên tục theo biến x. Theo Định lý 3.6.3 tồn tại mơt nghiệm v = {vij} của bài tốn biên (3.40)-(3.41).
Tiếp theo, chứng minh v ≤ ω. Giả sử ngược lại vαβ −ωαβ = max(i,j)∈Ω{vij −
ωij} >0. Khi đó
0 ≥D(vαβ−ωαβ)≥ f(α, β, ωαβ)−Φ(α, β, vαβ) = vαβ−ωαβ
1 +v2
αβ
> 0,
điều này mâu thuẫn nên v ≤ ω. Tương tự, ta cũng có u≤ v.
Vậy u ≤ v ≤ ω, từ (3.42) khi đó Φ(i, j, x) ≡ f(i, j, x) suy ra v = {vij} cũng chính là nghiệm của bài tốn (3.37)-(3.38)
Ví dụ 3.3. Xét bài tốn (3.37)-(3.38) với hàm f(i, j, v) thỏa mãn 0≤f(i, j, v)≤4nsin2 2 4m+ 2 + sin 2 π 4n+ 2 o v, 1≤ i≤ m,1≤ j ≤ n.
Khi đó, dãy {0} là một nghiệm dưới của (3.37)-(3.38) và dãy ω = {ωij} xác định bởi
ωij = sin πi 2m+ 1sin
πj
2n+ 1, 0 ≤i≤ m+ 1,0≤ j ≤ n+ 1, là một nghiệm trên của (3.37)-(3.38) vì nó thỏa mãn
Dωij + 4nsin2 π 4m+ 2 + sin 2 π 4n+ 2 o ωij = 0, 1≤ i≤ m,1≤ j ≤n, và ωi0 =ωi,n+1 = 0, 0≤ i≤ m+ 1, ω0j = ωm+1,j = 0, 0≤ j ≤n+ 1.
Theo Định lí 3.6.4 thì (3.37)-(3.38) có một nghiệm v = {vij} thỏa mãn 0≤ vij ≤ sin πi
2m+ 1sin
πj
Kết luận
Như vậy, trong bản luận văn chúng tôi đã giải quyết được mục tiêu nghiên cứu ban đầu. Hai vấn đề chính của luận văn bao gồm.
Thứ nhất là trình bày một số phương pháp để tìm cơng thức nghiệm hiển của một vài lớp phương trình sai phân riêng cơ bản như là lớp phương trình nhiệt, phương trình Poisson, phương trình Laplace rời rạc, ...
Thứ hai là xây dựng được tiêu chuẩn tồn tại nghiệm với một số đặc tính cơ bản như: nghiệm dạng truyền sóng với phương trình nhiệt; nghiệm dương và bị chặn với phương trình nhiệt tổng quát, nghiệm bị chặn với phương trình Laplace rời rạc; bài toán biên Dirichlet.
[1] V. Afraimovich and Y. Pesin, Travelling waves in latice models of multi- dimentional and multi-component media: I. General hyperbolic properties, Nonlinearity, 6(1993), 429-455.
[2] S. S. Cheng, Partial Difference Equations, Taylor and Francis, London and New York, 2003.
[3] S. S. Cheng, L. Y. Hsieh and Z. T. Chao, Discrete Lyapunov inequality conditions for partial difference equations, Hokkaido Math.J., 19(1990), 229- 239.
[4] S. S. Cheng and R. Medina, Bounded and Positive Solutions of Discrete Steady State Equations, Tamkang Journal of Math, 31(2000).
[5] S. S. Cheng and R. Medina, Positive and Bounded solutions of Discrete Reaction - Diffusion Equations, Appl Math E-Note, 2(2002), 110-116.
[6] S. S. Cheng and S. S. Lin, Existence and Uniqueness Theorems for Nonlinear Difference Equations, Utilitas Math., 39(1991), 9-24.
[7] S. S. Cheng and G. H. Lin, Green’s function and Stability of a Linear Partial Difference Scheme, Comput. Math. Appl., 35(5)(1998), 27-41.
[8] J. A. Jeske, Linear Recurence Relations- Part III, San Jose State College, San Jose, Canifornia, Octorber (1964).
[9] S. T. Liu and Y. Liu, Existence of Monotone Positive Solution of Neutral Partial Difference Equations, Journal of Mathematical Analysis and Appli- cations, 247(2000), 384-396.
[10] W. Zhang , Y. Cheng and S. S. Cheng, Monotone Methods for a Discrete Boundary Value Problem, Comput. Math. Appl., 32(12)(1996), 41-49.