Lớn của nghiệm suy rộng trên toàn miền

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn (Trang 34)

2 Nghiệm suy rộng của phương trình ellipti cá tuyến tính cấp ha

2.7 lớn của nghiệm suy rộng trên toàn miền

Chúng ta đã chứng tỏ rằng các nghiệm suy rộng bị chặn của phương trình (2.1) có các tính chất cơ bản của các nghiệm cổ điển của phương trình elliptic, đặc biệt, chúng duy nhất trong khoảng nhỏ, và các tính chất khả vi để làm tăng tính trơn của các hàm ai(x, u, p) và a(x, u, p), nó là cần và đủ để đặt ra các hạn chế kiểu (2.2),(2.3) về bậc tăng trưởng của ai(x, u, p) và a(x, u, p), tương ứng

với |p| và |p| → ∞.

Nếu chúng ta xét các lớp nghiệm rộng hơn, chẳng hạn, các nghiệm trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω), với q ≥ n−mmn , m ≤ n, khi đó điều kiện nghiệm duy nhất trong khoảng nhỏ địi hỏi phải có thêm các hạn chế chặt chẽ về bậc tăng trưởng củaai và a theo |p|. Với các nghiệm u(x) trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω), các hạn chế này như sau.

Giả sử rằng ai và a thỏa các bất đẳng thức

ai(x, u, p)pi ≥ ν1(|u|)|p|m−(1 +|u|)α1)ϕ1(x), (2.32)

sign(u)·a(x, u, p)≤ (1 +|u|)α2)ϕ2(x) + (1 +|u|)α3)ϕ3(x)|p|m−ε. (2.33) Đơn giản hóa, chúng ta có thể giả sử rằng ν1 là một hằng số dương. Khi đó, các đại lượng α1, ϕi và ε phải thỏa mãn các điều kiện

• (1) n+qn ≤ε ≤m; • (2) ϕi ∈ Lri(Ω), i = 1,2,3, r1, r2 > mn;r3 >      n ε với ε≥ 1, nq qε+n(ε−1) với ε <1; • (3) 0≤α1 < mn+qn − r1q, 0≤ α2 < mn+qn −1− r2q , 0≤ α1 < εn+qn −1− rq 3.

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các giả thuyết này là đủ để các nghiệm suy rộng trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω) là bị chặn và do đó để tất cả các định lý trong các phần

2.1-2.6 có thể áp dụng được cho các nghiệm như thế. Chứng minh của định lí sau đây cơ bản dựa trên Định lý 2.5.1.

Định lý 2.7.1. Giả sử u(x) là các nghiệm suy rộng trong

Wm1(Ω)∩Lq(Ω), n ≥m >1, q ≥q∗ = nm

n−m,

của phương trình (2.1) và giả sử rằng

ess.max

S |u|= M0 <∞.

Giả sử các điều kiện (2.32),(2.33) được thỏa cho các ai(x, u, p) và a(x, u, p), và rằng trong các bất đẳng thức đó, các tham số ε và αi(i = 1,2,3) và các hàm

ϕi(i = 1,2,3) thỏa các điều kiện (1)-(3). Khi đó, ess.maxΩ|u| bị chặn bởi một biểu thức theo kukLq(Ω), M0, ν1, ε, αi,kϕkL

ri(Ω), i = 1,2,3, mesΩ.

Như đã đề cập, Định lý 2.7.1 cho phép chúng ta áp dụng tất cả các định lý trong các phần 2.1-2.6 cho một nghiệm suy rộng tùy ý trong Wm1(Ω)∩Lq(Ω).

Đặc biệt, nếu các giả thiết của Định lý 2.7.1 được thỏa mãn và nếu ai và a thỏa mãn các bất đẳng thức (2.13) và (2.14), khi đó định lý về tính duy nhất trong khoảng nhỏ cũng đúng cho các nghiệm của phương trình (2.1) trong lớp Wm1(Ω)∩Lq(Ω). Chúng ta đi tới kết quả sau:

Định lý 2.7.2. Giả sử các hàm u(x), ai và a thỏa mãn các điều kiện trong Định lí 2.7.1, khi đó u(x) liên tục theo nghĩa Holder với mũ α > 0 trong miền Ω, số

mũ này được xác định theo các đại lượng giống như ess.max

Ω |u| trong Định lý

2.7.1.

Với miền túy ý Ω0 ⊂⊂ Ω chuẩn |u|α,Ω0 bị chặn theo các đại lượng tương tự và khoảng cách từ Ω0 đến S. Nếu thêm vào đó, S thỏa mãn điều kiện (A) và u|S

thuộc lớp Cβ, thì |u|α,Ω, với α ≤ β, là bị chặn theo các hằng số trong các điều kiện của Định lý 2.7.1, các hằng số a0 và θ0 , β,mesΩ và các chuẩn |u|β,S và

kukLq(Ω).

Giá trị của khẳng định này được trực tiếp suy ra từ các Định lý 2.7.1và 2.1.1

trong trường hợp các hàm ϕi, i = 1,2,3, (trong các điều kiện của Định lý 2.7.1)

là bị chặn. Trong trường hợp tổng quát, chúng ra mới chỉ chứng minh rằngu có ess.maxΩ|u| bị chặn. Tuy nhiên, bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 2.1.1, chúng ta có thể dễ dàng chứng tỏ rằng u thuộc lớp

Bm(Ω, M, γ, δ,q11) với

q1 = min{mr1, mr2, εr3}> n.

Trên cơ sở của các Định lý 2.6.1 và 2.7.1, điều này chứng minh giá trị của các khẳng định trong Định lý 2.7.2.

2.8 Tính giải được của bài tốn Dirichlet

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu vấn đề về tính giải được của bài tốn Dirichlet đối với các phương trình dạng

Lu≡ d

dxi(ai(x, u, ux)) +a(x, u, ux) = 0 (2.34) trong một miền túy ý Ω.

Các nghiệm của phương trình (2.34) mà chúng ta đang tìm phải thỏa trên biên S của miền Ω điều kiện sau

Xét bài toán L0u≡ n X i=1 ∂ ∂xi |∂u ∂xi|m−2 ∂u ∂xi = 0 (2.35) u|S = 0 hệ số,˚ai =|∂u ∂xi|m−2∂u ∂xi, ˚a = 0

Bài tốn (2.35) được chỉ ra là ln tồn tại hữu hạn nghiệm. Xét phương trình

Lτu≡ (1−τ)L0u+τ Lu, τ ∈[0,1]

Ở đây,

ai(x, u, ux, τ) = (1−τ)˚ai+τ ai a(x, u, ux, τ) =τ a

Tương ứng bài toán Dirichlet

Lτ(u) = 0 (2.36)

u|S =τ ϕ|S, τ ∈[0,1]

Ta sẽ chứng minh bài tốn (2.36) có nghiệm với mọi τ ∈[0,1].

Việc chỉ ra điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (2.36) dựa vào nguyên lý Leray-Schauder.

Trong Leray-Schauder, trước hết ta đi xây dựng ánh xạ Φ(v, τ).

Xét bài tốn tuyến tính ∂ai(x, v, vx, τ)

với A(x, v, vx, τ) =a(x, v, vx, τ) + ∂ai(x, v, vx, τ)

∂v vxj + ∂ai(x, v, vx, τ)

∂xj , Tìm ánh xạ Φ(v, τ) bằng cách từ một hàm v(x) đã biết ta đi tìm w(x) là nghiệm của phương trình (2.37).

Tìm w(x) bằng cách giải bài tốn Dirichlet cho phương trình (2.37).

Bài tốn tuyến tính (2.37) đã được chỉ ra là có tồn tại nghiệm. ( Theo chương 3 của [1] )

Nó xác định một tốn tử phi tuyến

Φ(v, τ) =w(x),

Các điểm bất động tương ứng với ánh xạ Φ(v, τ) là các nghiệm của bài toán (2.36). Bài toán (2.36)tương đương với việc xác định nghiệm của phương trình

u= Φ(v, τ). (2.38)

Các Định lý 2.4.1 và 2.6.1 chứng tỏ rằng, đối với các chặn tiên nghiệm như vậy cho u(x, τ), chúng ta cần yêu cầu rằng các hàm ai(x, u, p, τ) và a(x, u, p, τ)

thỏa các bất đẳng thức sau cho x∈Ω,¯ |u| ≤M, τ ∈[0,1] và p tùy ý:

ν(1 +|p|2)m−22 n X i=1 ξi2 ≤ ∂ai(x, v, p, τ) ∂pj ξiξj ≤ µ(1 +|p|2)m−22 n X i=1 ξi2, |a(x, v, p, τ)|+ |∂ai ∂u|+|ai| (1 +|p|2)12 +|∂ai ∂xj| ≤ µ(1 +|p|2)m2 (2.39) ở đây µ và ν là các hằng số dương và m > 1. Khi các điều kiện này được thỏa mãn, theo các Định lý 2.4.1 và 2.6.1 chúng ta có

max Ω |∇u(x, τ)| ≤M1, n X i=1 |uxi|β,Ω ≤M2, (2.40) ở đây các hằng số M1, M2 và β chỉ được xác định bởi các đại lượng n, M, m, ν và µ trong (2.39).

Định lý 2.8.1. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(a) Với x ∈ Ω,¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0,1] và p tùy ý, các hàm ai(x, u, p, τ) và

a(x, u, p, τ) đo được và các hàm ai(x, u, p, τ) là khả vi theo x, u, p và chúng thỏa các bất đẳng thức (2.39).

(b) Với x ∈ Ω,¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0,1] và |p| ≤ M1 (với M1 là hằng số trong

(2.40)), được xác định bởi Định lý 2.4.1), các hàm ai, ∂ai ∂pj, ∂ai ∂u, ∂ai ∂xj, và a

là liên tục theo x, u, p và τ, đồng thời thỏa mãn điều kiện Holder theo x, u, p với mũ α > 0 đều theo τ ∈[0,1]. (c) Các hàm ai(x, u, p, τ), a(x, u, p, τ) và ∂ai ∂pj, ∂ai ∂u, ∂ai ∂xj

với tư cách là các hàm của C0,α{x ∈ Ω,¯ |u| ≤ M,|p| ≤ M1} là liên tục đều theo tham số τ ∈[0,1].

(d) S ∈C2,α( ¯Ω) và ϕ ∈C2,α( ¯Ω).

Các điều kiện này đảm bảo cho các đánh giá tiên nghiệm bên trên áp dụng được.

Nguyên lý Leray- Shauder

Chọn không gian Banach H =C1,β( ¯Ω)

Chọn M ⊂ H

Ánh xạ Φτ :M −→ M

v ∈ M 7−→w = Φ(v, τ) ∈M w(x) = Φ(v, τ)∈ C2,α( ¯Ω)

Khi đó,

(1) (2) Φ(v, τ) là hoàn toàn liên tục, là liên tục đều trên M¯1 (3) Ta mở rộngmax Ω |v(x)| ≤M+ε, max Ω |∇u(x, τ)| ≤M1+ε, n P i=1 |uxi|β,Ω ≤ M2+ε

với ε >0, khi đó biên của M khơng chứa nghiệm của phương trình (2.38). (4) Với τ = 0 bài tốn (2.35) ln có hữu hạn nghiệm

Ánh xạ Φ(v, τ) thỏa mãn các điều kiện của định lý Ledray - Shauder.

Do đó, Theo Ngun lý Leray- Shauder Bài tốn (2.36) có ít nhất một nghiệm u(x, τ) ∈C2,α( ¯Ω) với mọi τ ∈[0,1].

Kết luận

Luận văn đã trình bày các nghiên cứu về phương trình elliptic cấp hai, đặc biệt là lớp các phương trình á tuyến tính dạng bảo tồn.

Chương 1, chuẩn bị các kiến thức cơ bản về các không gian Banach, cụ thể là, không gian Sobolev , không gian Holder, không gian Bm(Ω, M, γ, δ,1q), Định lý

Leray-Schauder và các kết quả cần thiết để làm cơ sở cho việc phát triển trong chương 2.

Chương 2, trình bày các kết quả về tính giải được (địa phương) của phương trình elliptic á tuyến tính dạng bảo tồn. Các kết quả được lần lượt trình bầy ở mục 2.1 đến 2.7, với các định lý về tính duy nhất nghiệm trong miền đủ nhỏ, các đánh giá về độ biến thiên của nghiệm bên trong miền và trên biên của miền

Ω. Bên cạnh đó, luận văn cũng đưa ra các đánh giá đối với đạo hàm cấp cao

hơn của nghiệm, từ đó dẫn đến tính giải được của bài tốn.

Luận văn đã trình bày những lí thuyết và kết quả quan trọng nhất về phương trình á tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn. Tuy nhiên, có một số kết quả vẫn chưa được đề cập hết trong luận văn. Điều này, một phần vì lượng tri thức về phương trình á tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn là khá lớn, mà khả năng của em thì có hạn. Phần nữa, để đảm bảo tính ngắn gọn, súc tích của luận văn, em chỉ chọn lựa trình bày những vấn đề quan trọng và các kết quả nổi bật nhất. Mặc dù đã cố gắng hết sức, luận văn vẫn có thể cịn nhiều sai sót. Em rất mong

Tài liệu tham khảo

[1] Ladyzhenskaya, Olga A. and Ural’tseva, Nina N, (1968) Linear and quasilinear elliptic equations. Academic Press, New York and London. [2] Leray J. and Schauder J. Topologie et equations fonctionnelles. Ann. Ec.

N. Sup., 51, 45-78 (1934).

[3] Ladyzhenskaya, O. A. and N. N. Ural’tseva. The variational problems and quasilinear elliptic equations with several independent variables. Doklady Akad. Nauk, USSR, 135, No.6, 1330-1334 (1960).

[4] Ladyzhenskaya, O. A. and N. N. Ural’tseva. Quasilinear elliptic equations variational problems with several independent variables. Upekhi matematicheskikh nauk, XVI, No.1 (97), 19-90 (1961).

[5] Ural’tseva, N. N. The regularity of solutions of many-dimensional elliptic equations and variational problems. Doklady Akad. Nauk, USSR, 130, No.6, 1206-1209 (1960).

[6] Sobolev, S. L. Applications of functional analysis in mathematical physics. Providence, Rhore Island, American Mathematical Society (1963).

[7] Smirnov, V. I. A course of higher mathematics. Vol 5, Reading, Mass., Addison and Wesley (1964).

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn (Trang 34)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(45 trang)