3 Phương pháp suy luận trực tiếp
3.2 Các ví dụ về vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp
cận đầu tiên đến logic tốn học. Nó rèn luyện tư duy logic, khả năng phản xạ, trí thơng minh, là hình thức thể thao trí tuệ phục vụ cho đơng đảo người đọc đặc biệt là lứa tuổi học sinh ở nhiều cấp học khác nhau.
Điều cơ bản của phương pháp này là thơng qua việc phân tích các điều kiện của bài tốn, cần tìm ra mối quan hệ logic giữa các mệnh đề.
3.2 Các ví dụ về vận dụng phương pháp suy luậntrực tiếp trực tiếp
Ví dụ 3.2.1. Có ba em chơi trị đội mũ. Em chủ trì giơ ba mũ đỏ, hai mũ xanh, rồi yêu cầu ba em ngồi theo hàng dọc và khơng nhìn về phía sau, rồi từ phía sau chụp lên đầu mỗi em một cái mũ cịn hai cái cất đi. Chứng minh rằng trong mọi cách đội đều có một em nhận ra màu mũ của mình.
Lời giải: Giả sử em A ngồi sau emB, em B ngồi sau em C, rõ ràng em A quan sát được mũ của em B và C còn em B quan sát được mũ của em C.
- Trước hết do chỉ có hai mũ xanh nên nếu B và C đội mũ xanh thì A đốn được ngay mũ của mình là mũ đỏ.
- Nếu A im lặng, chứng tỏ trong B và C có một em đội mũ xanh, một em đội mũ đỏ hoặc cả hai em đội mũ đỏ. Khi đó B sẽ phải suy nghĩ và quan sát C.
Nếu C đội mũ xanh thì B đốn ngay mình đội mũ đỏ. NếuB thấy C đội mũ đỏ thì B đành im lặng và C sẽ nhận biết ngay mình đội mũ đỏ.
Lời giải của bài tốn trên có thể tóm tắt theo sơ đồ sau A Đ im B X C X X Đ Hình 3.1
Như vậy, trong mọi trường hợp, đều có ít nhất một em đội mũ đỏ. Dấu hiệu để các em dự đốn được mũ của mình là số mũ xanh mà mình hoặc bạn mình quan sát được. Em đốn đúng màu mũ của mình sẽ ln là em đội mũ đỏ.
Chương 3. Phương pháp suy luận trực tiếp
Ví dụ 3.2.2. (Vị sứ giả thơng minh)
Một viên quan nước Lỗ đi sang xứ Tề, bị vua Tề tuyên phạt tử hình và bị hành quyết hoặc chém đầu hoặc treo cổ. Trước khi hành quyết nhà vua cho sứ giả được nói một câu, nếu nói đúng thì bị chém đầu, nếu nói sai thì bị treo cổ. Sứ giả mỉm cười nói một câu, nhờ đó đã thốt chết. Bạn hãy cho biết câu nói của sứ giả đó như thế nào?
Lời giải: Vị sứ giả đã nói rằng "Tôi sẽ bị treo cổ". Như vậy, nếu nhà vua đem treo cổ sứ giả thì sứ giả đó nói đúng. Mà theo điều lệnh sử phạt của nhà vua thì phải đưa sứ giả đi chém đầu (vì ơng ta nói đúng). Nếu nhà vua chém đầu thì ơng ta đã nói sai. Theo điều lệnh sử phạt của nhà vua thì phải đem sứ giả đi treo cổ.
Thành thử nhà vua không thể hành quyết sứ giả bằng chém đầu cũng như treo cổ, nên sứ giả đã thốt chết.
Ví dụ 3.2.3. Người bản sứ và tên thực dân
Trước vành móng ngựa là ba người đàn ơng, họ là người bản sứ hoặc tên thực dân. Quan tòa biết khi được hỏi người bản sứ bao giờ cũng nói thật, cịn tên thực dân bao giờ cũng nói dối, nhưng quan tịa khơng biết ai là người bản sứ, ai là tên thực dân. Quan tòa hỏi người thứ nhất: "Anh là ai?". Nhưng anh ta nói ngọng nên quan tịa khơng hiểu câu trả lời. Hãy xác định câu trả lời của người thứ nhất?
Lời giải: Nếu người được hỏi thứ nhất là tên thực dân thì theo bản chất của thực dân, anh ta sẽ trả lời "Tơi là người bản sứ". Nếu người đó là dân bản sứ thì theo bản chất của người dân bản sứ anh ta cũng trả lời "Tôi là người bản sứ".
Như vậy câu trả lời của người thứ nhất chỉ có thể là: "Tơi là người bản sứ".
Ví dụ 3.2.4. a. Trong một căn phịng có 10 người, biết rằng giữa ba người bất kỳ có hai người quen nhau. Chứng minh rằng, có thể tìm được bốn người mà hai người bất kỳ trong số đó đều quen nhau.
b. Khẳng định trên có cịn đúng nữa khơng nếu ở câu a số người trong phòng là
9.
Lời giải: a. Giả sử bốn người bất kỳ có hai người khơng quen nhau. Khi đó
A khơng thể có q ba người khơng quen. Nếu A có bốn người khơng quen thì theo giả thiết giữa bốn người này có hai người khơng quen và họ cùng với
Chương 3. Phương pháp suy luận trực tiếp
A hợp thành bộ ba đơi một khơng quen nhau. Vậy A có khơng nhiều hơn ba người khơng quen, nghĩa là A có khơng ít hơn sáu người quen. Giả sử A quen với B1, B2,· · · , B6. Khi đó giữa B1, B2,· · · , B6 khơng có bộ ba nào đơi một quen nhau (Nếu khác thì bộ ba này hợp thành với A thành bộ bốn đôi một quen nhau- trái với giả thiết). Hơn nữa có bộ ba mà hai người khơng quen nhau trong số sáu người B1, B2,· · · , B6. Chẳng hạn, nếu B1 không quen với B2, B3, B4 thì
B2, B3, B4 đơi một quen nhau. Vì thế B1 phải có ít nhất ba người quen trong số B2, B3,· · · , B6. Khi đó trong số ba người này khơng tìm được hai người quen
nhau, ngược lại họ tạo vớiA vàB1 thành bộ bốn người đôi một quen nhau. Trái với giả thiết, suy ra tồn tại bộ bốn mà hai người bất kỳ quen nhau.
b. Ta chứng minh cho khẳng định trên vẫn đúng.
Nếu người nào đó quen với tất cả sáu người thì chứng minh sẽ tương tự phần a. Nếu mỗi người quen có đúng năm người thì tổng số các cặp quen nhau sẽ là 9.5/2 không là số nguyên- điều này không thể xảy ra.
Cuối cùng nếu tìm được một người nào đó khơng quen với ít nhất bốn người thì bốn người này phải đơi một quen nhau (nếu khác ta sẽ tìm được bộ ba đơi một khơng quen nhau) có nghĩa là tạo thành bộ bốn cần tìm- đó là điều phải
chứng minh.
Ví dụ 3.2.5. Mỗi bạn đạt giải mấy trong kỳ thi vơ địch tồn quốc?
Ba bạn Qn, Hùng, Mạnh vừa đạt giải nhất, nhì, ba trong kì thi học sinh giỏi tồn quốc. Biết rằng:
1. Khơng có học sinh trường chun nào đạt giải cao hơn Quân.
2. Nếu Quân đạt giải thấp hơn một bạn nào đó thì Qn khơng phải là học sinh trường chuyên.
3. Chỉ có duy nhất một bạn khơng học trường chuyên.
4. Nếu Hùng hoặc Mạnh đạt giải nhì, thì Mạnh đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải Phòng.
Hãy cho biết: Mỗi bạn đã đạt được giải nào? Bạn nào không học trường chuyên và bạn nào quê ở Hải Phòng?
Lời giải: Ta nhận xét rằng: Nếu Quân đạt giải nhì hoặc ba, thì theo (2) Qn khơng học trường chuyên. Ta suy ra, theo(3)Hùng và Mạnh học trường chuyên, thành thử theo (1) Quân đạt giải nhất. Điều này vô lý. Vậy Quân phải đạt giải nhất. Trong hai bạn Hùng và Mạnh một người đạt giải nhì và một người đạt giải ba. Mạnh khơng thể đạt giải ba (vì theo(4) Mạnh còn đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải Phòng).
Chương 3. Phương pháp suy luận trực tiếp
Vậy Mạnh phải đạt giải nhì, Hùng đạt giải ba. Đồng thời ta cũng suy ra Quân không học trường chuyên và Hùng quê ở Hải Phịng.
Ví dụ 3.2.6. Ai đã nói đùa?
Nhà trường cử thầy Nghiêm dẫn bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả ba em đạt giải nhất, nhì, ba và một em khơng đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả lời như sau:
Lê: Mình đạt giải nhì hoặc ba. Huy: Mình đã đạt giải.
Hồng: Mình được giải nhất. Tiến: Mình khơng được giải.
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói: "Chỉ có ba bạn nói thật cịn một bạn đã nói đùa "
Hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa và ai đạt giải nhất, ai khơng đạt giải?
Lời giải:
1) Nếu Lê nói đùa thì ba bạn Huy, Hồng, Tiến nói thật. Như vậy Lê và Hồng cùng đạt giải nhất. Điều này vơ lý. Vậy Lê phải nói thật.
2) Nếu Huy nói đùa thì Huy khơng được giải và cả ba bạn cịn lại đều nói thật. Như vậy cả Huy, Tiến đều khơng đạt giải. Điều này trái với giả thiết của đầu bài. Vậy Huy phải nói thật.
3) Nếu Tiến nói đùa thì Tiến đạt giải và cả ba bạn còn lại đều đạt giải. Như vậy cả bốn bạn đều đạt giải. Điều này trái với giả thiết. Như vậy Tiến nói thật. Vậy Hồng đã nói đùa. Có nghĩa là Hồng đã đạt giải nhì hoặc ba cho nên Huy đạt giải nhất. Cịn Tiến khơng đạt giải.
Kết luận: Huy đạt giải nhất, Tiến khơng đạt giải và Hồng nói đùa.
Ví dụ 3.2.7. Điều mâu thuẫn ở đâu?
Trong một tịa nhà chỉ có những cặp vợ chồng và những con nhỏ chưa lập gia đình. Ban điều tra dân số yêu cầu báo cáo về số người sống trong tòa nhà, đại diện là một anh thợ thích đùa báo cáo như sau:
Sống trong tịa nhà bố mẹ nhiều hơn con cái. Mỗi con trai đều có một chị hay em gái. Số con trai nhiều hơn số con gái. Mỗi cặp vợ chồng đều có con.
Người ta khơng thể chấp nhận được báo cáo đó (dù là đùa vui) vì trong đó có mâu thuẫn. Hãy chỉ ra điều mâu thuẫn trong báo cáo trên?
Lời giải: Vì mỗi gia đình đều có con, mỗi con trai đều có một chị gái hay em gái, nên tất cả các gia đình đều có con gái. Suy ra số con gái ít nhất bằng số gia đình.
Chương 3. Phương pháp suy luận trực tiếp
Mặt khác, số con trai nhiều hơn số con gái, nên tổng số con nhiều hơn hai lần số gia đình, hay nhiều hơn số bố mẹ, điều này cho ta thấy mâu thuẫn trong báo cáo của anh thợ thích đùa ở câu đầu tiên "bố mẹ nhiều hơn con cái" với các câu tiếp theo.
Ví dụ 3.2.8. Khi tổ chức múa hát tập thể một giáo viên đã xếp 20 nữ sinh và một số nam sinh thành vòng tròn sao cho đối diện với một nữ sinh qua tâm vòng tròn là một nam sinh. Hỏi trên vịng trịn này có hai nam sinh nào đứng kề nhau hay khơng?
Lời giải: Giả sử khơng có hai nam sinh nào đứng kề nhau, vì vậy cũng khơng có hai nữ sinh nào đứng kề nhau. Do đó các bạn nam sinh và nữ sinh được xếp xen kẽ nhau trên vịng trịn, suy ra có tất cả là 20 nam sinh.
Lấy hai bạn nam và nữ đứng ở vị trí đối xứng nhau qua tâm vòng tròn. Bắt đầu từ nữ sinh này ta đánh số các bạn đứng trên một nửa vòng tròn cho đến nam sinh đối diện. Rõ ràng bạn nữ này được đánh số 1 và bạn nam đối diện đánh số 21. Khi đó các bạn nữ lần lượt được đánh số 1,3,5,· · · ,19, còn các bạn nam được đánh số 2,4,6,· · ·,20. Do đó có hai bạn nam sinh được đánh số 20và 21 đứng kề nhau. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Vậy phải ln ln có hai nam sinh đứng kề nhau.
Ví dụ 3.2.9. Trong tám viên bi có bề ngồi hồn tồn giống nhau có một viên bi nặng hơn. Bằng hai lần cân trên đĩa (không được dùng quả cân). Hãy xác định viên bi nặng đó?
Lời giải: Đầu tiên chia tám viên bi thành ba đống theo số lượng 3,3,2. Trong lần cân thứ nhất ta bỏ mỗi bên đĩa cân một đống gồm ba viên bi. Có hai khả năng xảy ra:
a) Nếu cân thăng bằng. Thì viên bi nặng nằm trong đống hai viên bi.
Khi đó, ta tiến hành cân hai viên bi ở đống gồm hai viên. Mỗi bên đĩa bỏ một viên bi ở đống hai viên bi. Viên bên chìm chính là viên bi nặng hơn.
b) Nếu cân khơng thăng bằng, thì bên chìm chứa viên bi nặng hơn.
Khi đó ta tiến hành cân lần thứ hai. Bỏ mỗi đĩa một viên bi trong ba viên bên chìm.
Nếu cân thăng bằng, thì viên bi nặng hơn chính là viên bi cịn lại nằm trên đĩa chìm.
Nếu cân khơng thăng bằng, thì viên bi nặng hơn chính là viên bi bên chìm. Vậy chỉ bằng hai lần cân ta đã xác định được viên bi nặng hơn.
Chương 3. Phương pháp suy luận trực tiếp
Ví dụ 3.2.10. Học sinh lớp 11 và 12 tổ chức thi đấu cờ với nhau. Số học sinh lớp 11 tham gia gấp 10 lần số học sinh lớp 12 tham gia thi đấu xong điểm học sinh lớp 11 gấp 4,5 lần số điểm học sinh lớp 12.
Hãy tính xem có bao nhiêu học sinh tham gia đấu cờ. (Nội quy thi đấu là mỗi người thi đấu một lần với tất cả những người còn lại, người thắng ghi 1 điểm người thua ghi 0 điểm). Biết rằng tất cả các trận đấu khơng có trận nào hòa.
Lời giải: Gọi số học sinh lớp 12 tham gia đấu cờ là x. Khi đó số học sinh lớp
11 tham gia đấu cờ là 10x và có tất cả là 11x em tham gia đấu cờ. Số trận đấu có tất cả là 11x(11x−1)
2 trận và cũng có chừng ấy điểm thắng. Số điểm thắng của học sinh lớp 11 đạt được là
4,5
5,5× 11x(11x2 −1) = 4,5x(11x−1) Các em học sinh lớp 11sẽ thi đấu với nhau 10x(10−1)
2 trận và sẽ có số điểm là 5x(10x−1)
Hiển nhiên ta phải có
4,5x(11x−1)≥5x(10x−1) 99x2−9x≥100x2−10x
x≥x2.
Chương 4
Phương pháp đồ thị
Rất nhiều bài tốn có thể giải bằng cách đưa về bài toán trên đồ thị rồi suy ra đáp án.
4.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết đồ thị
Trên mặt phẳng hay trong khơng gian lấy n điểm. Giữa một số cặp điểm được nối bằng những đoạn thẳng hay đoạn cong được định hướng hoặc khơng. Người ta gọi hình nhận được là dạng biểu diễn hình học của đồ thị hay một đồ thị. Các điểm đã chọn được gọi là đỉnh của đồ thị. Các đoạn thẳng hay đoạn cong đã nối được gọi là cạnh của đồ thị.
Nếu cạnh a nối giữa hai điểm A, B thì A, B được gọi là các đỉnh của cạnh a.
Cặp đỉnh x, y được gọi là hai đỉnh kề nhau, nếu chúng khác nhau và là hai đầu của cùng một cạnh.
Dãy α các đỉnh
x1, x2,· · · , xi, xi+1,· · · , xm−1, xm
được gọi là một đường, nếu với mọi chỉ số i(1≤i ≤m−1) đều có xi và xi+1 là hai đỉnh kề nhau. Các đỉnh x1, xm được gọi là các đỉnh đầu của đường α. Người
ta cịn nói rằng đường α nối giữa đỉnh x1 và đỉnh xm.
Chu trình là một đường có hai đầu trùng nhau.
Chu trình mà nó đi qua mỗi đỉnh khơng q một lần được gọi là chu trình sơ cấp.
Chu trình (α) được gọi là chu trình Hamilton, nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị và qua mỗi đỉnh đúng một lần.