2 Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân
2.2 Các định lý cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương
punov đối với phương trình vi phân hàm
2.2.1 Các khái niệm về ổn định
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm thơng thường chúng ta thường áp dụng phương pháp hàm Lyapunov. Sau đây, tơi xin trình
bày các khái niệm về sự ổn định của nghiệm của phương trình vi phân hàm. Xét phương trình:
˙
x(t) =f(t, xt) (2.3) với điều kiện ban đầu x(t) =ϕ(t), t ∈[t0−h, t0]. Nghiệm (2.3) thỏa mãn phương
trình sau
(
x(t) =ϕ(0) +Rt0t f(s, xs)ds, t≥t0, x(t) =ϕ(t), t∈[t0−h, t0]
Giả sử trong miền Ω⊂R×C phương trình (2.3) thỏa mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và:
f(t,0) = 0, ∀t∈R.
Khi đó, phương trình (2.3) có nghiệm tầm thường x ≡ 0. Ta định nghĩa sự ổn
định của nghiệm tầm thường đó.
Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm tầm thường x(t)≡0 của phương trình vi phân (2.3) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t →+∞ nếu
∀ε >0, t0 ∈R; ∃δ=δ(t0, ε)>0 :∀ϕ∈C,||ϕ||< δ ⇒ ||xt(t0, ϕ)||< ε; ∀t≥t0. Định nghĩa 2.2.2. Nghiệm tầm thường x(t)≡0 của phương trình vi phân (2.3) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (2.2.1) có thể chọn không phụ thuộc vào t0.
Định nghĩa 2.2.3. Nghiệm tầm thường x(t)≡0 của phương trình vi phân (2.3) được gọi là ổn định tiệm cận khi t→ ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t)≡0 là ổn định.
(ii) Tồn tại 4=4(t0)>0 sao cho với mọi ϕ∈C và ||ϕ||<4 thì
lim
t→+∞|x(t0, ϕ)(t)|= 0.
Định nghĩa 2.2.4. Nghiệm tầm thường x(t)≡0 của phương trình vi phân (2.3) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t)≡0 là ổn định đều.
(ii) Với ∀ε >0,∃4>0(4 không phụ thuộc vào t0), ¯t= ¯t(ε) :∀ϕ∈C,||ϕ||<4 ⇒ ||xt(t0, ϕ)||< ε; ∀t≥t0+.¯t
2.2.2 Các định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm
Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn định của nghiệm tầm thường x≡0của phương trình (2.3). Đây là kết quả mở rộng của phương pháp thứ hai Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm.
Định nghĩa 2.2.5. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V :R+×CH →R là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.
Giả sử x=xt(t0, ϕ)là nghiệm (2.3) khi đó đạo hàm phải trên của V dọc theo quỹ đạo nghiệm của (2.3), kí hiệu là V. (t, x) được xác định bởi
˙ V(t, x) = lim h→0+ 1 h[V(t+h, xt+h(t, ϕ))−V(t, xt(t, ϕ))]. (2.4) Chúng ta cũng có thể viết dưới dạng ˙ V(t, ϕ) = lim h→0+ 1 h[V(t+h, xt+h(t, ϕ)−V(t, ϕ)]. (2.5) Để thấy rõ vai trị của phương trình trong đạo hàm đó người ta ký hiệuV˙(2.3)(t, ϕ).
Dựa và phiếm hàm trên ta có một số định lý về sự ổn định sau: Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng phiến hàm Lyapunov V = V(t, ϕ) xác định trên miền
Ω =R+×C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phân hàm (2.3), ta luôn giả thiết f(t, ϕ) là hàm thoả mãn các điều kiện đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm và f(t,0) = 0.
CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương trên R+
CH ={ϕ∈C:||ϕ|| ≤H, H >0}
Định lý 2.2.1. (Định lý ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ ×CH → R+ và hàm a(.)∈CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) V(t,0) = 0;
(ii) a(||ϕ||)≤V(t, ϕ);
(iii) V. (t, ϕ)≤0.
Khi đó, nghiệm tầm thường x≡0 của (2.3) là ổn định.
Chứng minh. Giả sử có hàm V(t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x≡0 của (2.3) là ổn định.
Cho ε >0 đủ bé, ta xác định mặt cầu
Sε ={ϕ: ϕ∈CH,||ϕ||=ε}.
Từ (ii) ta suy ra
0< a(ε)≤V(t, x), t∈R+, x∈Sε.
Vì V(t,0) = 0, mà V(t, x) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số δ=δ(t0, ε)>0 sao cho nếu ||ϕ||< δ thì V(t0, ϕ)< a(ε).
Lấy x(t) =xt(t0, ϕ) là nghiệm của (2.3) sao cho ||ϕ||< δ, ta sẽ chứng minh ||xt(t0, ϕ)||< ε, ∀t ≥t0.
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x(t) = xt(t0, ϕ) với
||ϕ||< δ thỏa mãn
kxt1(t0, ϕ)k=ε.
Từ điều kiện (iii) ta suy ra
từ đó ta suy ra
a(ε)≤V(t1, x(t1))≤V(t0, ϕ)< a(ε).
Mâu thuẫn trên chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Như vậy nếu ||ϕ||< δ thì
||xt(t0, ϕ)||< ε, ∀t≥t0,
tức là nghiệm tầm thường x≡0 ổn định.
Định lý 2.2.2. (Định lý ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V :R+×CH →R+ và các hàma(.), b(.)∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) a(||ϕ||)≤V(t, ϕ)≤b(||ϕ||). (ii) V. (t, ϕ)≤0.
Khi đó nghiệm tầm thường x≡0 của (2.3) ổn định đều. Chứng minh. Xét mặt cầu
Sε ={ϕ: ϕ∈CH,||ϕ||=ε,0< ε < H}.
Từ điều kiện (i) ta có a(||ϕ||)≤V(t, ϕ) suy ra a(ε)≤V(t, ϕ), với mọi ϕ∈Sε. Đồng thời, do
V(t, ϕ)≤b(||ϕ||) và b(||ϕ||)∈CIP
nên với a(ε) >0 ta chọn được số δ =δ(ε) >0 sao cho nếu ||ϕ|| < δ thì b(||ϕ||)< a(ε), do đó b(δ)< a(ε).
Lấy một nghiệm tùy ý x(t) =xt(t0, ϕ)của (2.3) với ||ϕ||< δ thì với t0 cố định bất kỳ và từ giả thiết V. (t, ϕ)≤0, ta có
a(||xt(t0, ε)||)≤V(t, xt(t0, ε))≤V(t0, ϕ)≤b(||ϕ||)≤b(δ)< a(ε), t ≥t0
Như vậy với ||ϕ||< δ(ε) thì
||xt(t, t0, ε)||< ε, ∀t≥t0.
Định lý 2.2.3. (Định lý ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V :R+×CH →R+ thỏa mãn điều kiện sau:
1. a(kϕk)6V(t, ϕ)6b(kϕk), a(r), b(r)∈CIP,
2. V˙(t, ϕ)6−c(kϕk), c(r) liên tục và c(r)>0 khi r >0.
khi đó nghiệm tầm thường x≡0 của hệ (2.3) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Từ định lý trên ta có thể suy ra nghiệm x≡0 là ổn định đều. Ta sẽ chứng minh x≡0của phương trình (2.3) là ổn định tiệm cận đều. Do nghiệm
x≡0 là ổn định đều nên tồn tại δ0=δ0(H)>0 sao cho với t0∈R+ và kϕk< δ0, ta có:
kxt(t0, ϕ)k< H;∀t>t0
Mặt khác ∀ε >0,∃δ=δ(ε)>0 sao cho ∀t0 ∈R+, ta có:
kϕk< δ ⇒ kxt(t0, ϕ)k< ε,∀t>t0
Giả sử đẳng thức limt→+∞kxt(t0, ϕ)k = 0 không đúng với x(t) = xt(t0, ϕ),(t0 ∈
R+,kϕk< δ0) khi đó tồn tại dãy tk có tính chất:
tk >t0, tk → ∞(k→ ∞)
sao cho
δ6 kxtk(t0, ϕ)k< H
Do đó:
V(tk, xtk(t0, ϕ)>a(δ)
Theo điều kiện 2) ta suy ra:
˙
V(t, ϕ)6−c(kϕk)
do đó tồn tại γ >0 sao cho:
˙
nên Z t t0 ˙ V(τ, ϕ)dτ 6 Z t t0 −γdτ ⇒V(t, xt(t0, ε))6V(t0, ϕ)−γ(t−t0). Kí hiệu T := b(δ0)−a(δ) γ Vì kϕk< δ0 ta có V(t0, ϕ)< b(δ0) nên với t >t0+T và kϕk< δ0 thì ta có: V(t0, ϕ)−γ(t−t0)< b(δ0)−γT 6b(δ0)−b(δ0) +a(δ) 6a(δ)
Chứng tỏ: V(t, xt(t0, ϕ)< a(δ). Mâu thuẫn với V(tk, x(t0, ϕ)(tk)≥a(δ)
điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t >t0+T,(T =T(ε))
và kϕk< δ0 ta có:
kxt(t0, ϕ)k< ε
Tức là nghiệm tầm thường x≡0 của phương trình vi phân 2.3 là ổn định tiệm cận đều. Ví dụ 2.2.1. Xét phương trình vi phân ( ˙ x(t) =y(t)−x(t).y2(t−r1) ˙ y(t) =−x(t)−y(t).x2(t−r2)
trong đó t ∈ R và rj > 0(j = 1,2). Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ
này chúng ta xét hàm :
V(x, y) = x2+y2 Khi đó ta có:
đồng thời:
˙
V(x, y) = 2.x(t).[y(t)−x(t).y2(t−r1] + 2y(t)[−x(t)−y(t).x2(t−r2)]
=−y2(t).x2(t−r2)−x2(t).y2(t−r1)
60
Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều.
Xét f :R×C →Rn là hàm hồn tồn liên tục, f(t,0). Và hàmV :R×C →R
là liên tục và V˙ (t, ϕ) được xác định như (2.5) ta có các định lý về ổn định đều và ổn định tiệm cận đều tồn cục của phương trình (2.3) như sau
Định lý 2.2.4. Cho các hàm liên tục không giảm u, v, w : R+ → R+, u(s) >
0, v(s)>0 với s > 0 và u(0) =v(0) =w(0) = 0. Khi đó ta có các khẳng định sau: 1) Nếu có một hàm V :R×C →R sao cho:
(i) u(|ϕ(0)|)≤V(t, ϕ)≤v(||ϕ||) (ii) V. (t, ϕ)≤ −w(|ϕ(0)|).
Khi đó nghiệm tầm thường x≡0 của (2.3) ổn định đều.
2) Nếu ở trong điều kiện 1) hàm w(s)>0 với s >0 thì nghiệm x= 0 là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. 1) (Ổn định đều). Với ∀ε > 0, δ = δ(ε), 0 < δ < ε sao cho v(δ) < u(ε). Gọi x = x(t0, ϕ) là một nghiệm của (2.3). Nếu ||ϕ|| < δ và t0 ∈ R thì
˙ V(t, xt(t0, ϕ))≤0 với t ≥t0. Từ đó dẫn đến V(t, xt(t0, ϕ))≤V(t0, ϕ)≤v(δ)< u(ε) suy ra u(|x(t0, ϕ)(t)|)< V(t, xt(t0, ϕ))< u(ε) do đó |x(t0, ϕ)(t)|< ε, ∀t≥t0.
Vậy nghiệm tầm thường x= 0 của (2.3) là ổn định đều.
2) (Ổn định tiệm cận đều). Giả sử ε= 1 và δ0 =δ(1), được chọn theo định nghĩa
ổn định của nghiệm x = 0 . Với 0< ε <1 ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại ¯t0 = ¯t0(δ0, ε)
sao cho ||ϕ||< δ0 thì ||xt(t0, ϕ)|| ≤ε với mọi t≥t0+ ¯t0 . (*)
Giả sử rằng (*) không thỏa mãn , tức là tồn tại nghiệm x = x(t0, ϕ), ||ϕ|| < δ0
sao cho
||xt|| ≥δ với t∈[t0, t0+T], T > 2h.
Với mỗi đoạn có độ dài là h và một số s sao cho |x(s)| ≥ δ, có một dãy {tk} sao cho |x(tk)| ≥δ, ở đó
t0+ (2k−1)h≤tk ≤t0+ 2kh, k ≤ T
2h.
Từ giả thiết f là hàm hoàn toàn liên tục, tồn tại một hằng số dương L sao cho
|x(t)|˙ < L với t ∈[t0, t0+T]. Do vậy ta có: |x(t)|> δ 2, t∈Ik = [tk− δ 2L, tk+ δ 2L]. Và từ đó ˙ V(t, xt)≤ −w(δ 2), t ∈Ik.
Lưu ý rằ tk+1−tk ≥h, do vậy giả sử L > δ
h. Điều này đảm bảo Ik khơng trùng nhau. Từ đó
V(tk, xk)−V(t0, ϕ)≤ −w(δ
2)
δ
L(k−1).
Gỉa sử K =K(δ0, L) là một số nguyên thỏa mãn
K ≥ v(δ0).L δ.w(δ h) , thì nếu k > 1 +K, ta có V(tk, xtk)< v(δ0)−w(δ 2). δ L. L.v(δ0) δ.w(δ 2) = 0.
Điều này vơ lí vìV(t, x)>0 nên giả thiết của phản chứng là sai.Từ đó chứng tỏ rằng nếu t0¯ = 2h(K + 1) thì với ||ϕ||< δ0,
||xt(t0, ϕ)||< ε, t≥t0+ ¯t0
do vậy ta có sự ổn định tiệm cận đều của nghiệm tầm thường.
Ví dụ 2.2.2. (Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov) Xét phương trình
˙
x(t) = −a(t)x(t)−b(t)x(t−r(t)) (2.6)
ở đó a(t), b(t) và r(t) là các hàm liên tục bị chặn, a(t)>0, r(t)>0, r(t)˙ <1.
Nếu b(t) = 0 thì (2.3) trở thành phương trình vi phân thường. Nếu b(t)6= 0, ta xét hàm Lyapunov V(xt) = V(t, xt) = 1 2x 2 (t) +α Z 0 −r(t) x2(t+θ)dθ với α >0, α là hằng số. Tương ứng ta có V(t, ϕ) = 1 2ϕ 2 (0) +α Z 0 −r(t) ϕ2(t+θ)dθ. Từ các tính chất Z 0 −r(t) x2(t+θ)dθ = Z t t−r(t) x2(θ)dθ d dt Z a(t) b(t) x(θ)dθ = ˙a(t)x(a(t))−b(t)x(b(t)).˙ Ta có ˙ V(xt) = −(a−α)x2(t)−b(t)x(t)x(t−r(t))−α(1−r(t))x˙ 2(t−r(t)). Từ đó nếu b2(t)<4(a(t)−α)(1−r(t))α˙ (2.7) thì V˙(xt)<0.
số dương. Đặt u(s) = s 2 2 , v(s) = (1 2+αr)s 2 thì u(|ϕ(0)|)≤V(t, ϕ)≤v(||ϕ||)
Với α >0 thỏa mãn điều kiện (2.7) thì cóε >0 sao cho V˙(xt)≤ −εx2(t). Bởi vậy chúng ta lấy w(s) =εs2. Theo định lý trên x= 0 là ổn định tiệm cận đều.
Khi a, b, r là các hằng số thì (2.7) trở thành
b2 <4(a−α)α≤a2
kéo theo rằng nếu |b|< a thì x= 0 là ổn định tiệm cận toàn cục.
2.3 Định lý Razumikhin
Trong phần này tôi sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân có chậm theo Razumikhin.
Xét phương trình vi phân
˙
x(t) =f(t, xt) (2.8) với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t∈[t0−h, t0].
Giả sử phương trình (2.8) thỏa mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm và f : R×C → Rn là ánh xạ đi từ tập R×(tập bị chặn của C) và
tập bị chặn của Rn.
Xét V :R×Rn →R là một hàm liên tục thìV˙(t, x(t))là đạo hàm của V theo quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.8) được định nghĩa:
˙ V(t, x(t)) = lim h→0+ 1 h[V(t+h, x(t+h))−V(t, x(t))]. ở đó x(t) = xt(t0, ϕ), t ≥t0 là một nghiệm của (2.8) Định lý 2.3.1. (Định lý ổn định đều)
Xét các hàm số u, v, w :R+→R+ là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) =v(0) =w(0) = 0
và u(s), v(s) xác định dương với s > 0. Giả sử rằng có một hàm liên tục V :
R×Rn →R sao cho:
(i) u(|x|)≤V(t, x)≤v(|x|), t∈R, x∈Rn.
(ii) V. (t, x(t))≤ −w(|x(t)|), nếu V(t+θ, x(t+θ))≤V(t, x(t)), θ∈[−h,0].
Khi đó nghiệm tầm thường x≡0 của (2.8) ổn định đều.
Chứng minh. Với ∀ε > 0 ta chọn δ > 0 sao cho v(δ) < u(ε). Giả sử |ϕ| < δ, ϕ∈ B(0, δ)⊂ C và x(t) =xt(t0, ϕ), t ≥ t0 là một nghiệm của phương trình (2.8) qua (t0, ϕ).
Nếu tồn tại t∗ > t0, |x(t∗)|> ε thì
V(t∗, x(t∗))≥u(|x(t∗)|)≥u(ε)> v(δ)≥V(t0, ϕ).
Từ đó phải có một ¯t∈(t0, t∗] sao cho:
˙
V(¯t, x(¯t))>0 với V(¯t, x(¯t))≥V(t+θ.x(¯t+θ)), θ ∈[−h,0].
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện (ii). Vậy chúng ta phải có |x(t)| ≤ ε
với t ≥t0.
Định lý 2.3.2. (Định lý ổn định tiệm cận đều)
Xét các hàm số u, v, w :R+→R+ là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) =v(0) =w(0) = 0
và u(s), v(s) xác định dương với s > 0, w(s) > 0 với s > 0. Giả sử rằng có một
hàm liên tục V :R×Rn →R sao cho: (i) u(|x|)≤V(t, x)≤v(|x|), t∈R, x∈Rn.
(ii) Tồn tại một hàm liên tục không giảm p(s)> s với s >0 sao cho:
.
V (t, x)≤ −w(|x(t)|), nếu V(t+θ, x(t+θ))≤p(V(t, x(t))), θ ∈[−h,0].
Chứng minh. Từ giả thiết của định lý ta suy ra với ρ > 0 thì tồn tại δ > 0 sao chov(δ) =u(ρ). Chú ý rằng hàmV =V(t, x)thỏa mãn điều kiện của định (2.3.2) thì sẽ thỏa mãn điều kiện của định lý (2.3.1). Do đó, từ ||ϕ|| ≤δ, ta suy ra
||xt(t0, ϕ)|| ≤ρ, t ≥t0
và
V(t, x(t0, ϕ(t)))≤v(δ), t ≥t0−h.
Cho 0 ≤ η ≤ ρ. ta cần chỉ ra rằng ¯t = ¯t(η, δ) sao cho với t0 ∈ R, ||ϕ|| ≤ δ thì
|x(t0, ϕ)(t)| ≤η với t > t0+ ¯t. Điều này là đúng nếu nếu ta có thể chỉ ra rằng V(t, x(t0, ϕ)(t))≤u(η), t≥t0+ ¯t.
Từ giả thiết của hàm p ta có thể suy ra rằng với u(η) ≤ s ≤ v(δ) ta ln có
p(s)> s nên tồn tại số a >0 sao cho p(s)−s > a. Ta biết rằng u(η)≤ v(δ) nên có thể chọn được số ngun khơng âm N sao cho u(η) +N a ≥v(δ). Ta ký hiệu γ = inf
η≤s≤δ
w(s) và để chứng minh tiếp theo trước hết ta chứng minh
V(t, x(t))≤u(η) + (N −1)a, t ≥t0+ v(δ)
γ ,(∗)
sau đó sẽ xây dựng dãy ti=t0+iv(δ)
γ , i= 1,2, ...N sao cho
V(ti, x(ti))≤u(η) + (N −i)a, t≥ti
Giả sử ngược lại (∗) không đúng, tức là:
V(t, x(t))> u(η) + (N −1)a, ∀t ∈[t0−h, t0+ v(δ) γ ] Khi đó thì p(V(t, x(t)))> V(t, x(t)) +a > u(η) +N a≥v(δ)≥V(t+θ, x(t+θ)), với t ∈[t0−h, t0+ v(δ) γ ], θ ∈[−h,0]. Do γ = inf η≤s≤δ w(s), ta có ˙ V ≤ −w(|x(t)|)≤ −γ
Suy ra V(t, x(t))≤V(t0, ϕ)−γ(t−t0)≤v(δ)−γ(t−t0) V(t0+v(δ) γ , x(t0+ v(δ) γ ))≤v(δ)−γ(t−t0) = 0.
Điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn vì ta có u(s) > s với s > 0. Chứng tỏ giả thiết
phản chứng là sai. Từ đó suy ra, tồn tại t∗∈[t0, t0+v(δ)
γ ] sao cho
V(t∗, x(t∗)) =u(η) + (N −1)a.
Điều này suy ra
V(t, x(t))≤u(η) + (N −1)a, t ≥t∗.
Với ti=t0+iv(δ)
γ , khi đó lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được
V(ti, x(ti))≤u(η) + (N−i)a
Do đó
V(t, x(t))≤u(η), t ≥tN =t0+Nv(δ) γ
Đặt ¯t=Nv(δ)
γ , khi đó định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.3.1. Xét phương trình vi phân
˙
x(t) = −a(t)x(t)−b(t)x(t−r(t)) (2.9)
ở đó a(t), b(t) và r(t) là các hàm liên tục bị chặn, a(t)>0, r(t)>0, r(t)˙ <1.
Từ giả thiết r(t) là hàm bị chặn suy ra tồn tại r > 0 sao cho r(t) ≤ r. Để
nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường của (2.9) ta xét hàm
V(x) = x2. Từ đó nếu có V(x(t+θ))≤V(x(t)), θ ∈[−r,0] thì |x(t+θ)|<|x(t)| và 1 2 ˙ V(x(t)) =−a(t)x2(t)−b(t)x(t)x(t−r(t)) ≤ −a(t)x2(t) +|b(t)|x2(t) =−((a(t))− |b(t)|)x2(t).
Do vậy, nếu a(t) ≥ |b(t)| thi V(x) là một hàm Lyapunov nên nghiệm x = 0 của (2.6) là ổn định đều.
Nếu a(t) ≥ δ > 0 và tồn tại k ∈ (0,1) sao cho |b(t)| ≥ kδ thì theo Định lý Razuminkhin nghiệm x = 0 của (2.9) là ổn định tiệm cận đều. Thật vậy chúng ta có thể chọn p(s) =q2s với q >1 thỏa mãn qk <1 thì
1
2V˙(x(t))≤ −(1−qk)δx2(t).
Rõ ràng theo Định lý Razuminkhin cho ta một kết quả thú vị mà ở ví dụ (2.2.2) khơng làm rõ được: đó là kết quả này khơng phụ thuộc vào trễ trong khi ở ví dụ (2.2.2) điều kiện để nghiệm tầm thường ổn định lại phụ thuộc vào trễ
Chương 3
Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm có xung
3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương vi phân hàm có xung
Xét phương trình vi phân hàm có xung sau
(
x0(t) =f(t, xt), t ≥t0
x(tk) = Jk(x(t−k)), k ∈ N, (3.1) trong đó f : [t0,∞)×P C →Rn, thỏa mãn điều kiện f(t,0) = 0, t ∈ R và Jk(x) :
S(ρ)→Rn, với mọi k∈ N ở đây N =N+ và Jk(0) = 0.
Sau đây chúng tôi xin nhắc lại một số khái niệm đã được sử dụng trong phương trình vi phân (3.1) và trong các phần tiếp theo.
P C = P C([−τ,0],Rn) = {φ : [−τ,0] → Rn}, φ(t) liên tục hầu khắp nơi ngoại trừ một số hữu hạn các điểm ˜t mà tại đó ta chỉ địi hỏi tồn tại các giá trị φ( ˜t+),
φ( ˜t−) thỏa mãn điều kiện φ( ˜t+) =φ( ˜t−), |.| là kí hiệu chuẩn của vector trong Rn và chuẩn của φ được định nghĩa như sau ||φ||= sup
−τ≤s≤0 |φ(s)|.
S(ρ) ={x ∈ Rn : |x| < ρ}, là hình cầu mở trong Rn, và t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1< ... với tk → ∞ khi k → ∞. Với mỗi t≥t0, xt ∈P C (đã được nói đến trong chương 2 (trang 19-20) ), x0(t) là đạo hàm phải của x(t).
tương ứng với phương trình (3.1) là x0(t) = f(t, xt), t≥σ, x(tk) =Jk(x(t−k)), nếu tk ≥σ, xσ =ϕ. (3.2)
Định nghĩa 3.1.1. Trong bài toán (3.2) ở trên với mỗi σ ∈ [tm−1, tm), m ∈ N. Ta nói x(t) : [σ −τ,∞) → Rn là nghiệm của bài toán (3.2) thỏa mãn xσ = ϕ , nếu nó liên tục (hoặc liên tục phải) và thỏa mãn những điều kiện sau
i) Trên mỗi khoảng [σ, tm),[ti, ti+1), i = m, m+ 1, ..., thỏa mãn phương trình vi phân hàm
x0 =f(t, xt)
ii) Tại các mút t =ti,(i=, m+ 1, ...), ta có
x(ti) = Ji(x(t−i ))
.
Để đảm bảo cho bài tốn Cauchy (3.2) có nghiệm duy nhất, trong chương này chúng ta ln giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn:
(H1) f : [t0,∞)×P C →Rn, là liên tục trên [tk−1, tk)×P C với mỗi k ∈ N, và với mọi k ∈ N, ϕ ∈P C, giới hạn lim
(t,φ)→(t−
k,ϕ)
f(t, φ) = f(t−k, ϕ) tồn tại.
(H2) f(t, φ) là hàm Lipschitzian theo φ trong mỗi tập compact của P C.
(H3) Jk(x) ∈ C(S(ρ),Rn) với mọi k ∈ N và tồn tại ρ1 > 0(ρ1 ≤ ρ) sao cho
x∈S(ρ1) thì Jk(x)∈S(ρ) với mọi k ∈ N.