3 Bài tập áp dụng
3.2 Bài tập về dãy số và chứng minh đẳng thức
Bài toán 3.2.1. Cho dãy số un xác định như sau:
( u1 = 2004;u2 = 2005 un+1 = un(un−1) + 2;n= 2,3, ... Chứng minh rằng số A = (u21 + 1)(u22 + 1)(u23 + 1)...(u22005+ 1)−1 là số chính phương. Hướng dẫn. Đặt Bk = (u21 + 1)(u22 + 1)(u23 + 1)...(u2k+ 1)−1;k = 1,2, ....
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng: Bk = (uk+1 −1)2
Bài toán 3.2.2. Cho dãy số un xác định như sau:
(
u1 = 1;u2 = −1
un = −un−1 −2un−2;n ≥ 3
Lập dãy số mới vn, n = 2, 3, ... như sau: vn = 2n+1−7u2n−1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy vn đều là số chính phương.
Hướng dẫn.
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh rằng:
Bài toán 3.2.3. Cho dãy số un xác định như sau:
(
u1 = 1
un+1 = 1 + n3
un + 2− n3;n= 1,2, ...
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên. Hướng dẫn.
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy có thể cho bởi cơng thức:
un = 1 + (n−1)n(n+ 4) 6
Sau đó chứng minh (n−1)n(n+ 4)...6
Bài tốn 3.2.4. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n ta ln
có:
1.2 + 2.5 + ...+n(3n−1) = n2(n+ 1)
.
Hướng dẫn.
Dùng phương pháp quy nạp theo n.
Bài toán 3.2.5. Cho số thực x 6= k2π. Chứng minh rằng với mọi số
nguyên dương n, ta đều có:
1 +cosx+cos(2x) +...+ cos(nx) =
sin(n+ 1)x 2 cos nx 2 sinx 2 Hướng dẫn.
Bài tốn 3.2.6. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 và sinx
2 6= 0
đều có:
sinx+ 2sin2x+ 3sin3x+ ...+nsinnx = (n+ 1)sinnx−nsin(n+ 1)x 4sin2x
2
Hướng dẫn.
Tương tự bài toán 2.1.16