4 Áp dụng mơ hình ARMA với sai số phân phối ổn định
4.2 Mơ hình ARMA đối với mã cổ phiếu PAN
Để xây dựng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA cho LOG giá cổ phiếu của mã chứng khoán PAN, ta lần lượt tiến hành phân tích theo hai bước. Ở bước thứ nhất, mơ hình tự hồi quy AR của LOG giá cổ phiếu theo giá trị của biến đó tại các thời điểm trong q khứ được phân tích để ước lượng các sai số (phần dư) của mơ hình hồi quy. Tiếp đó ở bước thứ hai, các biến trễ của LOG giá cổ phiếu và của phần dư thu được ở bước thứ nhất sẽ được sử dụng để xây dựng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA.
Bước thứ nhất xây dựng mơ hình tự hồi quy AR.
Giả sử gọi giá đóng cửa của phiên giao dịch thứ t là At, gọi Xt =LOG(At) là LOG cơ số 10 của giá đóng cửa phiên thứ t. Ta xét mơ hình tự hồi quy AR, Xt theo các biến
Xt−1,Xt−2,Xt−3,Xt−4,Xt−5, vớiXt−ilà LOG cơ số 10 của của giá cổ phiếu phiên thứt−i Xt =β1Xt−1+β2Xt−2+β3Xt−3+β4Xt−4+β5Xt−5+ζt (4.1) trong đóβi, vớii=1,5là các tham số cần ước lượng ứng với các biến trễXt−icònζt là phần dư của mơ hình tại thời điểmt.
Có thể sử dụng mơ hình tự hồi quy AR (4.1) với số các biến trễ lớn hơn 5. Tuy nhiên trong nghiên cứu số liệu chứng khoán người ta thường sử dụng đến Trễ 5. Do đó, chúng tơi nghiên cứu mơ hình tự hồi quy AR(4.1).
Sử dụng phần mềm thống kê R ta thu kết quả ước lượng của mơ hình tự hồi quy AR (4.1) được trình bày trong bảng 2
Bảng 2
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.004870 0.003242 1.502 0.1333 Xt−1 1.154514 0.030831 37.447 <2e-16 *** Xt−2 -0.099527 0.047201 -2.109 0.0352 * Xt−3 0.014199 0.046868 0.303 0.7620 Xt−4 0.001535 0.047229 0.032 0.9741 Xt−5 -0.074232 0.030486 -2.435 0.0151 *
Residual standard error: 0.01699 on 1044 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949, Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 4.074e+04 on 5 and 1044 DF, p-value: < 2.2e-16”.
Một số thống kê cơ bản của phần dư trong mơ hình tự hồi quy AR (4.1) được trình bày trong Bảng 3.
Bảng 3
Min Phân vị 25% Median Phân vị 75% Max 0.047580 -0.011016 -0.000666 0.010284 0.080295
Quan sát vào bảng 2 chúng ta thấy Xt−3 vàXt−4 có giá trị- p lớn hơn 0.05. Do đó, các biến trễXt−3 vàXt−4 khơng có ý nghĩa thống kê. Vì vậy ta sử dụng mơ hình tự hồi quy AR
Xt theo các biếnXt−1,Xt−2,Xt−5, phương trình tự hồi quy
Xt =β1Xt−1+β2Xt−2+β3Xt−5+ζt (4.2) Sử dụng phần mềm thống kê R ta thu được kết quả ước lượng của mơ hình tự hồi quy AR (4.2), được trình bày trong bảng 4
Bảng 4
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.004858 0.003239 1.500 0.1339
Xt−1 1.154079 0.030716 37.573 < 2e-16 ***
Xt−2 -0.093315 0.036932 -2.527 0.0117 *
Xt−5 -0.064267 0.015376 -4.180 3.16e-05 ***
Residual standard error: 0.01697 on 1046 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949, Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 6.802e+04 on 3 and 1046 DF, p-value: < 2.2e-16.
Một số thống kê cơ bản của phần dư ζ trong mơ hình tự hồi quy AR (4.2) được trình bày trong Bảng 5
Bảng 5
Min Phân vị 25% Median Phân vị 75% Max -0.047561 -0.010859 -0.000577 0.010254 0.080296
Bước thứ haixây dựng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA
Một quá trình được gọi là tự hồi quy trung bình trượt cấp (p,q), (ký hiệu ARMA(p,q))
với phần tử đổi mới ổn định nếu nó có dạng
Yt = p ∑ i=1 ϕiYt−i+ q ∑ j=1 ψjεt−j+εt, εt ∼Sk(α,β,γ,0) ∀t (4.3) Xét mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(3,5)
Xt =ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+ϕ3Xt−5+ψ1ζt−1+ψ2ζt−2+ψ3ζt−3+ψ4ζt−4+ψ5ζt−5+εt
(4.4) Trong đó, ϕi,ψi là các tham số cần ước lượng lần lượt ứng với các biến trễ Xt−i,ζt−i (là phần dư của mơ hình AR(4.2) được ước lượng từ bước 1), cịnεt là phần dư của mơ hình tại thời điểmt.
Sử dụng phần mềm thống kê R ta thu được kết quả ước lượng của mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(3,5)-(4.4), được trình bày trong bảng 6
Bảng 6
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.0006028 0.0246610 0.024 0.981 Xt−1 1.9201865 5.2005603 0.369 0.712 Xt−2 -0.9225221 5.8258619 -0.158 0.874 Xt−5 0.0018681 0.6470716 0.003 0.998 ζt−1 -0.7656789 5.2000206 -0.147 0.883 ζt−2 -0.0602145 0.1961771 -0.307 0.759 ζt−3 0.0020383 0.2968632 0.007 0.995 ζt−4 0.0269643 0.3566722 0.076 0.940 ζt−5 -0.0775022 0.2781388 -0.279 0.781
Residual standard error: 0.01699 on 1036 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949, Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 2.545e+04 on 8 and 1036 DF, p-value: < 2.2e-16.
Một số thống kê cơ bản của phần dưε trong mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA (3,5)-(4.4) được trình bày trong Bảng 7
Bảng 7
Min Phân vị 25% Median Phân vị 75% Max -0.04744 -0.01080 -0.00050 0.01044 0.08058
Quan sát vào bảng 6 ta nhận thấy các biến Xt−5, ζt−3,ζt−4 có giá trị- p lớn hơn các biến cịn lại. Do đó chúng tơi thay mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(3,5)-(4.4) bằng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,3) như sau.
Xt =ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+ +ψ1ζt−1+ψ2ζt−2+ψ3ζt−5+εt (4.5) Ta thu được kết quả ước lượng của mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,3)- (4.5), được trình bày trong bảng 8
Bảng 8
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.000194 0.003425 -0.057 0.954850 Xt−1 2.035876 0.229197 8.883 < 2e-16 *** Xt−2 -1.035766 0.228406 -4.535 6.44e-06 *** ζt−1 -0.881368 0.231005 -3.815 0.000144 *** ζt−2 -0.080663 0.047655 -1.693 0.090821 ζt−5 -0.088954 0.037612 -2.365 0.018212 *
Residual standard error: 0.01697 on 1039 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9949, Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 4.082e+04 on 5 and 1039 DF, p-value: < 2.2e-16.
Một số thống kê cơ bản của phần dưε trong mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA (2,3)-(4.5) được trình bày trong Bảng 9.
Bảng 9
Min Phân vị 25% Median Phân vị 75% Max -0.047566 -0.010736 -0.000569 0.010409 0.080728
Quan sát vào bảng 8 ta nhận thấy các biến ζt−2, có giá trị- p lớn hơn 0.05. Như vậy, biến
ζt−2 khơng có ý nghĩa thống kê. Do đó chúng tơi thay mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,3) trên bằng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,2) như sau
Xt =ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+ +ψ1ζt−1+ψ2ζt−5+εt (4.6) Ta thu được kết quả ước lượng của mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,2), được trình bày trong bảng 10
Bảng 10
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.001463 0.003285 0.445 0.656162
Xt−1 1.741313 0.149287 11.664 < 2e-16 ***
Xt−2 -0.742410 0.148903 -4.986 7.22e-07 ***
ζt−1 -0.587268 0.152366 -3.854 0.000123 ***
ζt−5 -0.061248 0.033894 -1.807 0.071046
Một số thống kê cơ bản của phần dư ε trong mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA (2,2)-(4.6) được trình bày trong Bảng 11.
Bảng 11
Min Phân vị 25% Median Phân vị 75% Max -0.046322 -0.010541 -0.000488 0.010463 0.080191
Quan sát vào bảng 10 ta nhận thấy biến ζt−5, có giá trị- p lớn hơn 0.05. Như vậy, biến
ζt−5 khơng có ý nghĩa thống kê. Do đó chúng tơi thay mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,2) trên bằng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,1) như sau
Ta thu được kết quả ước lượng của mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(2,1), được trình bày trong bảng 12
Bảng 12
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.002337 0.003253 0.719 0.472595
Xt−1 1.634016 0.137120 11.917 < 2e-16 ***
Xt−2 -0.635741 0.136851 -4.645 3.83e-06 ***
ζt−1 -0.480629 0.140626 -3.418 0.000656 ***
Một số thống kê cơ bản của phần dư ε trong mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA (2,1)-(4.7) được trình bày trong Bảng 13.
Bảng 13
N Min Max Mean Std Skew Kurtosis 1044 -0.0465 0.0799 0.9e-06 0.1691e-01 0.2966 3.54
Mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA cổ điển giả định phần dư có phân phối chuẩn. Bây giờ ta đi kiểm tra phần dưε của mơ hình ARMA(2,1)-(4.7) phân phối chuẩn hay khơng? Sử dụng Shapiro-Wilk normality test của phần mềm thống kê R, chúng ta thu được kết quả
data:ε
W = 0.9932, p-value = 0.0001039
Nhận thấy p-value nhỏ hơn 0.05 do đó phần dưε khơng có phân phối chuẩn, vậy phần dưε
sẽ tuân theo luật phân phối nào?
Trước tiên chúng ta xem xét đồ thị hàm mật độ xác suất củaε.
Hình 4.1: Biểu diễn hàm mật độ xác suất củaε