Mơ hình ARIMA

3 Các mô hình đánh giá rủi ro trong đầu tư tài chính

3.2 Mơ hình ARIMA

3.2.1 Quá trình ARMA

3.2.1.1 Quá trình tự hồi quy

Định nghĩa 3.1. Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên {Xt, t ∈ Z} là một quá trình tự hồi quy cấp p, viết là Xt ∼AR(p), là quá trình dừng thỏa mãn

với {εt} là một ồn trắng.

Ta có thể viết biểu thức của q trình tự hồi quy ở trên bởi cơng thức Xt −a1Xt−1−a2Xt−2−. . .−apXt−p =εt, ap 6= 0

hay ở dạng toán tử:

a(z) = 1−a1z−a2z2−. . .−apzp.

Chú ý 3.2. Nếu đa thức a(z) ở trên có nghiệm nằm ngồi hình trịn đơn vị

(|z| > 1) thì Xt được gọi là quá trình nhân quả tự hồi quy cấp p và nói chung ta chỉ xét các quá trình nhân quả.

Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy cấp p: E(Xt) = 0, γ(0) = p X i=1 aiγ(i) +σ2, ρ(h)− p X i=1 aiρ(h−i) = 0, với mọi h > 0.

Lần lượt cho h = 1,2, ..., p ta được

         1 ρ(1) . . . ρ(p−2) ρ(p−1) ρ(1) 1 . . . ρ(p−3) ρ(p−2) . . . . . . . . . . . . . . . ρ(p−2) ρ(p−3) . . . 1 ρ(1) ρ(p−1) ρ(p−2) . . . ρ(1) 1                   a1 a2 . . . ap−1 ap          =          ρ(1) ρ(2) . . . ρ(p−1) ρ(p)         

Hệ phương trình trên gọi là hệ phương trình Jule - Walker, song tuyến đối với avàρ. Nghĩa là nếu choρta sẽ tính đượca và ngược lại choata cũng sẽ tính được ρ. Trong hệ phương trình Jule - Walker, nếu ta đặt φpi =ai, i= 1,2, ..., p

thì hệ phương trình Jule - Walker tương đương với ρ(j) =

p

X

i=1

φpiρ(j−i), j = 1,2, ..., p.

Đại lượng φpp ở trên được gọi là tự tương quan riêng cấp p của q trình

{Xt}, nó đóng vai trị rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự

Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X := {xt, t = 1,2, ..., n} thì ta dùng cơng thức của tương quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của ρ(i). Khi đã có các tự tương quan mẫu, ta thay vào hệ phương trình Jule - Walker và giải nó để tìm các tham số ai. Từ đây ta cũng xác định được tương quan riêng φp1, ..., φpp.

3.2.1.2 Quá trình trung bình trượt

Định nghĩa 3.3. Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu Xt ∼ M A(q), là một quá trình {Xt, t∈ Z} thỏa mãn biểu thức:

Xt = εt+b1εt−1+. . .+bqεt−q, b1, ..., bq ∈ R, bq 6= 0,

với {εt} là một ồn trắng.

Ta cũng có thể viết biểu thức trung bình trượt ở trên dưói dạng tốn tử lùi tương tự như đối với quá trình tự hồi quy như sau :

Xt = b(B)εt, trong đó hàm b(·) định nghĩa bởi

b(z) := 1 +b1z+. . .+bqzq. Ở đây b(z) được gọi là đa thức trung bình trượt.

Chú ý 3.4. Khác với quá trình AR, biểu thức trên ln xác định duy nhất một q trình MA mà khơng địi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số bi. Và với giả thiết εt là ồn trắng ta có b(z)Ψ(z) = 1. Và khi đó εt có thể biểu diễn dưới dạng εt = +∞ X j=−∞ ψjXt−j, Ψ(z) = j=+∞ X j=−∞ ψjzj, +∞ X j=−∞ |ψj|< ∞.

Một chú ý nữa, cũng giống như trường hợp AR, nếu đa thức trung bình trượt b(z) khơng có nghiệm có mơđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn Xt dưới dạng sau: Xt =− ∞ X j=1 ψjXt−j +εt, +∞ X j=−∞ |ψj| < ∞.

Và có thể xác định ψj bằng cách chia 1(theo lũy thừa tăng) cho b(z), (ψ0 = 1).

Khi q trình Xt có thể biểu diễn ở dạng trên, tức là khi b(z) chỉ có nghiệm có mơđun lớn hơn 1 thì ta nói Xt là một quá trình khả nghịch. Và từ nay về sau nếu khơng nói gì thêm thì khi nói về các q trình AR và MA chúng ta hiểu đó là các q trình nhân quả và khả nghịch.

3.2.1.3 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt ARMA (p, q)

Định nghĩa 3.5. Một quá trình {Xt, t ∈ Z} được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình trượt cấp p, q, ký hiệu Xt ∼ ARM A(p, q) nếu nó có dạng:

Xt = a1Xt−1+· · ·+apXt−p +εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q,

trong đó εt là ồn trắng (nhiễu trắng), a(·) là đa thức tự hồi quy bậc p, b(·) là đa thức trung bình trượt bậc q.

a(z) = 1−a1z−. . .−apzp b(z) = 1 +b1z+. . .+bqzq.

Khi đó, ta có thể viết q trình ARMA ở dạng tốn tử sau: a(B)Xt = b(B)εt.

Ước lượng tham số mơ hình ARMA:

Giả sử cần ước lượng các tham số của mơ hình ARMA(p,q): Xt = a1Xt−1+. . .+apXt−p +εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q, với a1, ..., ap, b1, ..., bq ∈ R, ap 6= 0, bq 6= 0 và εt đóng vai trị là sai số.

Đối với mơ hình ARMA cũng có nhiều phương pháp ước lượng tham số hiệu quả và được nêu chi tiết trong P.Brockwell, R.David, 2001. Dưới đây ta sẽ xem xét phương pháp bình phương cực tiểu theo kiểu thuật tốn Hannan-Rissanen. Ý tưởng của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính để ước lượng tham số. Nếu q >0 ta còn phải ước lượng các giá trị chưa biết εt.

Thuật toán Hannan-Rissanen:

Bước 1: Dùng ước lượng Yule Walker để ước lượng các tham số mơ hình AR(m) với m >max(p, q): Xt = a1Xt−1+. . .+amXt−m+εt, t= m+ 1, ..., n.

Bước 2: Ước lượng các vectơ tham số β = (a1, ..., ap, b1, ..., bq)t trên cơ sở cực tiểu hóa hàm S(β) = n X t=m+q+1 (xt−a1xt−1−. . .−apxt−p −b1εt−1−. . .−bqεt−q)2 theo β. Giải hệ Gauss-Markov, kết quả thu được ở dạng sau: βˆ = (ZtZ)−1ZtXn. Ta cũng có thể dùng phương pháp trực giao hóa Househoder để tìm. Ở đây, Xn = (Xm+1+q, ..., Xn) và Z =       Xm+q Xm+q+1 . . . Xm+q+1−p εm+q εm+q−1 . . . εm+1 Xm+q+1 Xm+q+2 . . . Xm+q+2−p εm+q+1 εm+q . . . εm+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xn−1 Xn−2 . . . Xn−p εn−2 εn−3 . . . εn−q      

Ước lượng Hannan-Rissanen cho phương sai của εt là: σˆ2HR = S( ˆβ)

n−m−q.

3.2.2 Mơ hình ARIMA

Khái niệm sai phân: Sai phân chỉ sự khác nhau giữa giá trị hiện tại và giá trị trước đó.

Ví dụ, với chuỗi dữ liệuXt, sai phân cấp0của Xt chính là dữ liệu gốcXt. Sai phân cấp 1của Xt là:Yt = Xt−Xt−1. Sai phân cấp2của Xt là: Zt = Yt−Yt−1. Sai phân cấp d của Xt, ký hiệu là Dd(Xt) = D(Xt−1). Khi chuỗi dữ liệu có

dạng

Yt =Yt−1+Ut,

với Ut là nhiễu trắng thì Yt được gọi là di động ngẫu nhiên. Trong trường hợp này, sai phân cấp 1 của Yt là D(Yt) = Yt −Yt−1 = Ut, là chuỗi dừng (do Ut là nhiễu trắng). Với trường hợp tổng quát, người ta chỉ ra được rằng luôn luôn tồn tại một giá trị được xác định để sai phân cấp d của một chuỗi Xt là chuỗi dừng.

Mơ hình ARIMA (p, d, q):

Một chuỗi thời gian dừng ở sai phân bậc d ta nói chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu I(d), kết hợp với q trình ARMA ta có mơ hình trung bình trượt, đồng

trung bình trượt và cần lấy sai phân bậc d để chuỗi dừng. Hay nói ngắn gọn thì đây chính là mơ hình ARMA(p, q) cho sai phân bậc d của biến cần dự báo. Phương trình tổng quát

Dd(Xt) = a1Dd(Xt−1) +. . .+apDd(Xt−p) +εt+b1εt−1+. . .+bqεt−q. Phương pháp Box - Jenkins (BJ): giúp xác định các giá trị p, d, q và mơ hình phù hợp. Phương pháp này gồm 4 bước: nhận dạng, ước lượng, kiểm tra và dự báo.

Bước 1. Nhận dạng: (xác định các giá trị p, d, q) + d: là số lần cần lấy sai phân để chuỗi dừng.

+ p, q: được xác định chủ yếu dựa vào lược đồ tương quan và tương quan riêng phần của chuỗi đã chủ yếu được biến đổi thành chuỗi dừng.

Bước 2. Ước lượng: (tính tốn các tham số ai, bj của mơ hình) sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu hoặc các phương pháp ước lượng phi tuyến, ta có thể thực hiện dễ dàng điều này với sự trợ giúp của các phần mềm thống kê.

Bước 3. Kiểm tra: Để kiểm tra tính phù hợp của mơ hình, ta kiểm tra xem phần dư của mơ hình phải là ồn trắng khơng ? Nếu khơng phải thì mơ hình lựa chọn là khơng phù hợp, ta quay lại bước 1. Tuy nhiên, một chuỗi dữ liệu có thể phù hợp với nhiều mơ hình ARIMA khác nhau, do đó ta cần thử nhiều mơ hình để chọn được mơ hình phù hợp nhất.

Bước 4. Dự báo: Khi mơ hình thích hợp với dữ liệu đã tìm được, ta sẽ thực hiện dự báo tại thời điểm tiếp theo t+ 1. Do đó, mơ hình ARMA(p, q):

Xt+1 = a1Xt+. . .+apXt−p+1+εt+1+b1εt +. . .+bqεt−q+1.

Nhận xét về mơ hình:

Ưu điểm: Mơ hình này được ứng dụng nhiều và khá thành cơng trong các dự báo tài chính, chẳng hạn dự báo giá cổ phiếu, chứng khoán, giá vàng, ... Trong nhiều trường hợp thì các dự báo thu được từ phương pháp này tin cậy hơn so với các dự báo từ phương pháp lập mơ hình kinh tế lượng truyền thống, đặc biệt là đối với dự báo ngắn hạn. Với tính linh hoạt, tiết kiệm và khả năng dự báo tốt, mơ hình ARIMA đã được sử dụng rộng rãi trên toàn thế giới, tuy

Sơ đồ mơ tả phương pháp Box -Jenkins

nhiên cần có sự xem xét cẩn thận trong từng trường hợp để đạt được kết quả tốt nhất.

Nhược điểm:

- Số quan sát cần cho dự báo phải lớn, thơng thường để xây dựng mơ hình ARIMA cần trên 60 quan sát.

- Chỉ dùng để dự báo ngắn hạn. Do ARIMA dự báo giá trị thời kỳ sau chỉ dựa trên dãy số liệu các thời kỳ trước nên giá trị dự báo có dao động tắt dần. Dự báo cho các chu kỳ xa chỉ còn là hằng số ứng với giá trị trung bình của chuỗi dừng. Thơng thường chỉ dùng ARIMA dự báo cho một đến hai giai đoạn.

- Không thể đưa các ảnh hưởng nhân quả của các biến số kinh tế của thời kỳ cần dự báo vào mơ hình. Ý tưởng của ARIMA là mơ phỏng diễn biến của biến số cần dự báo theo diễn biến trong quá khứ với giả định là điều kiện ảnh hưởng đến quá trình ngẫu nhiên của biến số cần dự báo không đổi. Vậy nếu thời kỳ hiện tại có bối cảnh hồn tồn khác với q khứ thì khơng thể dùng ARIMA.

- Xây dựng mơ hình ARIMA theo phương pháp luận Box - Jenkins có tính chất nghệ thuật hơn là khoa học, hơn nữa kỹ thuật và khối lượng tính tốn khá lớn nên địi hỏi phải có phần mềm kinh tế lượng chun dùng.

3.3 Mơ hình Cramer - Lundberg

3.3.1 Định nghĩa quá trình Cramer - Lundberg

Trong một danh mục đầu tư của hợp đồng bảo hiểm, các khoản thanh tốn phí bảo hiểm phải được kéo dài theo các năm. Do đó nguồn thu bảo hiểm là liên tục theo thời gian và tỷ lệ thuận với độ dài thời gian. Điều này dẫn đến mơ hình sau đây cho thặng dư của một danh mục đầu tư bảo hiểm

Ut =u+ct−

Nt

X

i=1

Yi,

trong đó u là vốn ban đầu của cơng ty bảo hiểm, c là phí suất bảo hiểm (mà khách hàng phải đóng), Nt là số lượng khiếu kiện (số yêu cầu đòi bồi thường) của khách hàng trong khoảng thời gian (0, t], Nt ∼ P(λ), Yi là số tiền đòi trả bảo hiểm thứ i.

Mơ hình này được gọi là q trình Cramer - Lundberg hay quá trình rủi ro cổ điển.

Chú ý 3.6. Khi Ut > 0 thì cơng ty bảo hiểm mới có lãi, ngược lại nếu Ut < 0

thì có sự cố “thiệt hại”. Nếu Nt = 0 thì Ut = u+c·t. 3.3.2 Mơ hình Cramer-Lundberg

Một quá trình Cramer - Lundberg thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Các số tiền đòi trả bảo hiểm (Yi)i∈N∗ là các biến ngẫu nhiên khơng âm, độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng µ và phương sai hữu hạn σ2;

ii) Các yêu cầu đòi bồi thường xảy ra tại các thời điểm ngẫu nhiên T0 = 0,

T1, ..., sao cho 0< T1 < T2 < . . . hầu chắc chắn;

iii) Nt được định nghĩa bởi Nt = sup{n ≥ 1 : Tn ≤ t}, t ≥ 0 (quy ước

sup∅= 0).

iv) Khoảng thời gian giữa hai yêu cầu liên tiếp

 



ξk = Tk −Tk−1 (k = 2, Nt)

ξ1 = T1

là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối mũ với kỳ vọng hữu hạn 1/λ;

v) Dãy các biến ngẫu nhiên (Yk), (ξk) độc lập với nhau; thì được gọi là một mơ hình Cramer -Lundberg.

Chú ý 3.7. Nếu thay điều kiện iv) bởi điều kiện: Các biến ngẫu nhiên (ξk)

(k = 1, Nt) độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng hữu hạn là 1/λ thì ta có một mơ hình khác gọi là mơ hình đổi mới.

3.3.3 Xác suất thiệt hại và ước lượng xác suất thiệt hạiĐịnh nghĩa 3.8. (Thời điểm thiệt hại) Thời điểm thiệt hại τ(T) là một Định nghĩa 3.8. (Thời điểm thiệt hại) Thời điểm thiệt hại τ(T) là một thời điểm dừng ngẫu nhiên được định nghĩa bởi

τ(T) = inf{t: 0 ≤ t≤ T, Ut <0}, 0< T < ∞,

(quy ước inf∅ = ∞ và viết τ = τ(∞) cho trường hợp thời điểm thiệt hại với chân trời vô hạn).

Định nghĩa 3.9. (Xác suất thiệt hại) Xác suất thiệt hại trong khoảng thời gian (0, T] được xác định bởi:

ψ(u, t) =P{T ≤ t|U0 = u}= P inf 0<s≤tUs < 0|U0 =u hoặc

ψ(u, t) =P{Ut < 0 với t nào đó ≤T}

và xác suất thiệt hại trong thời gian vô hạn là ψ(u) = lim t→∞ψ(u, t) =P inf t>0Ut <0|U0 = u

Ta dễ thấy ψ(u, t) giảm theo u và tăng theo t. Tính xác suất thiệt hại:

Ta thấy rủi ro đối với một cơng ty bảo hiểm chỉ có thể xảy ra tại các thời điểm mà khách yêu cầu bảo hiểm, tức là tại các thời điểm Ti. Vậy với u ≥ 0 thì

ψ(u) = P ( u+c·t− Nt X i=1 Yi <0, t ≥ 0 nào đó ) .

Đặt Xt = Nt P i=1 Yi, khi đó ψ(u) =P u+c·Tn−Xn <0, n≥ 1 nào đó =P ( u+ n X k=1 (cξk −Yk)<0 với n≥ 1 nào đó ) =P ( sup n≥1 n X k=1 (Yk −cξk)> u ) .

Do đó, bất đẳng thức ψ(u)< 1 tương đương với điều kiện

1−ψ(u) = P ( sup n≥1 n X k=1 (Yk −cξk)≤u ) > 0, u > 0.

Chú ý 3.10. Nếu đặt Zi = c(Ti−Ti−1)−Yi và chỉ xem xét các quá trình tại thời điểm yêu cầu bồi thường, ta có thể thấy rằng

UTn =u+

n

X

i=1

Zi

là một bước đi ngẫu nhiên. Lưu ý rằng ψ(u) = P

inf

n∈NUTn < 0

, từ lý thuyết về bước đi ngẫu nhiên chúng ta có thể thấy sự thiệt hại chỉ xuất hiện khiE(Zi)≤0.

Ta giả định rằng E(Zi)> 0⇔c· 1 λ −µ > 0 ⇔c > λµ⇔E(Ut −u)> 0, nhớ lại E Nt X i=1 Yi ! = λtµ.

Điều này được giải thích rằng lượng tiền bình qn thu được của cơng ty bảo hiểm chắc chắn lớn hơn lượng tiền bình qn chi trả. Do đó, điều kiện trên còn được gọi là điều kiện lợi nhuận ròng. Nếu điều kiện lợi nhuận này được thực hiện sau đó thì UTn → ∞ khi n → ∞. Vì vậy

là hữu hạn. Do đó, ta có thể kết luận rằng

lim

u→∞ψ(u) = 0. Ước lượng xác suất thiệt hại:

Xét bài tốn thỏa mãn mơ hình Cramer-Lundberg, với Ut =u+ct−X i≥1 Yi·1(Ti≤t), trong đó 1(Ti≤t)(w) =    1 nếu Ti(w)≤ t, 0 nếu Ti(w)> t.

Ký hiệu τ = τ(w) = inf{t: Ut(w)≤ 0} là thời điểm đầu tiên mà quỹ vốn