Chương này sẽ trình bày một vài kết quả minh họa số cho phương trình tán sắc và cơng thức tỷ số H/V nhận được ở trong Chương 2. Phần đầu của chương này sẽ trình bày các bước trong thuật tốn tính tốn số đường cong tán sắc của sóng mặt Rayleigh. Phần hai sẽ xét một ví dụ minh họa số sử dụng công thức tỷ số H/V để đi khảo sát ảnh hưởng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên giá trị tần số cực đại và cực tiểu của đường cong tỷ số H/V. Đây là hai thông tin quan trọng trong kỹ thuật tỷ số H/V.
3.1 Phương trình tán sắc
Xét mơ hình phân lớp đã cho trong Chương 1. Các tham số vật liệu của lớp và bán khơng gian đã được cho trước. Khi đó tất cả các tham số khơng thứ ngun cần thiết đối với phương trình tán sắc được tính bởi các cơng thức (2.15), (1.51). Mục tiêu của ta là đi tính vận tốc pha khơng thứ ngun của sóng mặt Rayleigh dưới dạngx(0) đối với số sóng khơng thứ ngun được cho dưới dạngε. Các bước cần thực hiện trong thuật toán là như sau. Trước hết, ta tính vectorV¯ trong phương trình (2.21) bằng cơng thức (2.14). Để tính vectorM, ta tính tất cả các ma trận matrizant của các lớp ở dạng¯
khơng thứ ngun bởi phương trình (2.6), rồi sử dụng phương trình (2.18) để xác định ma trận matrizant tíchE. Vector¯ M¯ sau đó được tính bởi phương trình (2.11) trong đó ma trậnEđược thay thế bởi ma trậnE. Cuối cùng, vận tốc pha không thứ nguyên¯ x(0) được tìm bằng cách giải phương trình tích vơ hướng của vectorV¯ và vector M¯ bằng 0
cho bởi phương trình (2.21).
Bảng 3.1: Các tham số vật liệu của mơ hình khảo sát số.
Vật liệu E1(GPa) E2(GPa) G12(GPa) ννν12 ρρρ(g/cm2)
Graphite/epoxy 30.00 0.750 0.375 0.2500 1.9 Các bon/epoxy 142.17 9.255 4.795 0.334 1.9 Thủy tinh/epoxy 38.49 9.367 3.414 0.2912 2.66 Thép 77.4 77.4 29.025 0.3333 7.9 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ε c/c 0 c R (0)
Hình 3.1: Đường cong tán sắc của một số mode đầu tiên của sóng mặt Rayleigh trong mơ hình phân lớp trực hướng.
Để minh họa cho thuật tốn này, ta xét một mơ hình phân lớp trực hướng gồm ba lớp đặt trên bán khơng gian có các tham số vật liệu cho bởi Bảng 3.1 (xem Liu và Xi, 2002, Chương 3 [10]). Tất cả các lớp được giả sử là có độ dày như nhau. Đường cong tán sắc của mơ hình được thể hiện ở Hình 3.1 với một số mode đầu tiên. Trụcx biểu thị tần số không thứ nguyênε =khtrong đóhlà tổng độ dày của tất cả các lớp. Trục ylà tỉ số của vận tốc pha và vận tốc sóng ngang của bán khơng gian theo trục chính x1, được ký hiệu bởi c0 =
q
Chú ý rằng, khi tần số là đủ nhỏ thì vận tốc pha sẽ tiến tới vận tốc sóng Rayleigh của bán khơng gian và được ký hiệu làc(0)R . Với các tham số vật liệu của bán khơng gian trong ví dụ khảo sát này, vận tốc sóng Rayleigh của bán khơng gian này có thể được tính bởi cơng thức đưa ra bởi Vinh và Ogden (2004) [23] có dạng
¯
c(0)R = c
(0)R R
c0 =0.9194. (3.1) Kết quả tính tốn này phù hợp với kết quả tính tốn số trong hình vẽ trên.
3.2 Ảnh hướng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tỷ
số H/V
Xét mô hình một lớp đẳng hướng đặt trên bán khơng gian đẳng hướng đã được khảo sát trong Trần Thanh Tuấn 2009, [21] (Bảng 3.1) có các hằng số vật liệu thỏa mãn ν1 = 0.4375,ν2 = 0.2506,β1/β2 = 0.1667,σ1/σ2 = 0.7406, trong đó ν,β,ρ tương ứng là hệ số Poison, vận tốc sóng ngang và mật độ khối lượng của vật liệu. Các giá trị này tương ứng với các tham số không thứ ngun sử dụng trong luận văn có dạnge1=9,e3=7,e¯1=3.021,e¯3=1.021,rµ =1/36,rν =26.66vàe2=1/e1,e¯2=
1/e¯1 do vật liệu đang xét là đẳng hướng.
Trong một số trường hợp, do quá trình cấu tạo địa chất cũng như do tác dụng của lực trọng trường mà lớp có tính chất đẳng hướng ngang với hệ số vật liệuc22 tăng, trong khi hệ số vật liệuc11 không đổi. (Chú ý rằng trong trường hợp đẳng hướng ta cóc11 =c22=λ+2µ vớiλ và µ là các hệ số Lame của vật liệu.) Điều này làm cho cơng thức tính tỷ số H/V của mơ hình đẳng hướng, ví dụ cho bởi Malischewsky và Scherbaum (2004) [11], khơng cịn đúng nữa. Khi đó, tỷ số H/V cần phải tính bằng cơng thức tính tỷ số H/V cho mơi trường bất đẳng hướng cho bởi phương trình (2.30). Hình 3.2 biểu diễn đường cong tỷ số H/V của mơ hình đẳng hướng ở trên và mơ hình đẳng hướng ngang nhận được bằng cách cho c22 của lớp tăng gấp đôi. Dễ dàng thấy rằng, tần số của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V tăng theo độ cứng của lớp của phương vng góc với lớp. Tần số (không thứ nguyên) của điểm cực đại của đường cong tỷ số H/V trong trường hợp đẳng hướng có giá trị bằng 0.2472, rất gần với giá trị thông dụng1/4, còn được gọi là nguyên lý một phần tư bước sóng, theo cơng thức của tỷ số H/V trong trường hợp một lớp (xem Nakamura, 1989 [13]). Tuy nhiên, khi vật liệu trở thành đẳng hướng ngang, giá trị tần số cực đại này vào
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0 10 20 30 40 50 fh/β2 |H/V| Dang huong Dang huong ngang
Hình 3.2: Đường con tỷ số H/V trong trường hợp đẳng hướng và đẳng hướng ngang.
khoảng 0.3, khá xa so với giá trị đưa ra bởi công thức của Nakamura. Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng tần số của điểm cực đại của đường cong tỷ số H/V chịu ảnh hưởng khá lớn bởi tính bất đẳng hướng của vật liệu.
1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
He so vat lieu C cua lop
fh/
β 2
Tan so diem cuc dai Tan so diem cuc tieu
Hình 3.3: Pha vận tốc của một số mode trong mô hình phân lớp trực hướng.
Để khảo sát sự thay đổi của tần số điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V khi cho hệ số vật liệuc của lớp tăng dần, ta cho giá trị này tăng lên
Hình 3.3 biểu diễn sự thay đổi của tần số điểm cực đại và cực tiểu của đường cong tỷ số H/V theo sự thay đổi của hệ sốc22 như trên. Chúng ta có thể thấy rằng tần số của điểm cực tiểu cũng bị ảnh hưởng bởi tính bất đẳng hướng, thậm chí cịn bị ảnh hưởng nhiều hơn so với tần số của điểm cực đại.
Như vậy chúng ta thấy rằng ảnh hưởng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tỷ số H/V là khá lớn và do đó ngun lý thơng dụng Nakamura, là nguyên lý phát biểu rằng tần số không thứ nguyên của điểm cực đại bằng1/4, sẽ khơng cịn đúng nữa. Trong trường hợp môi trường là bất đẳng hướng, nguyên lý này cần phải nghiên cứu và phát biểu lại.
KẾT LUẬN
Luận văn đã khảo sát bài tốn truyền sóng của sóng mặt Rayleigh trong mơ hình phân lớp trực hướng bằng cách tiếp cận tìm ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính và biểu diễn nó dưới dạng tường minh bằng định lý Sylvester. Các cơng thức dạng tường minh của phương trình tán sắc và tỷ số H/V cho mơ hình phân lớp này đã được nhận trong luận văn dưới dạng tường minh phụ thuộc vào các phần tử của ma trận nghiệm cơ bản ở trên. Phương trình tán sắc đã được viết ở dạng mới tương đương và nó là một phương trình khơng thứ ngun và ln nhận giá trị thực. Điều này làm cho việc lập trình tính tốn số của đường cong tắn sắc dễ dàng và thuận tiện hơn. Các cơng thức này được sử dụng trong việc tính tốn số để đánh giá mức độ ảnh hưởng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tần số của điểm cực đại và của điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V, là hai thông tin quan trọng được sử dụng trong phương pháp tỷ số H/V. Các kết quả tính tốn số chỉ ra rằng, hai tần số này chịu sự ảnh hưởng khá lớn từ tính chất bất đẳng hướng của vật liệu.
[1] Bard, P. Y. (1998), "Microtremor Measurements: A Tool For Site Effect Esti- mation",Manuscript for Proc. of 2nd International Symposium on the Effect of Surface Geology on Seismic Motion, Yokohama, Japan, 1-3 Dec, 1998.
[2] Chen X. (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space",Geophysical Journal International, 115(2),
pp. 391–409.
[3] Crampin S. (1970), "The dispersion of surface waves in multilayered anisotropic media",Geophysical Journal International, 21(3), pp. 387–402.
[4] Crampin S. and Taylor D. B. (1971), "The propagation of surface waves in anisotropic media",Geophysical Journal International, 25(1-3), pp. 71–87.
[5] Dunkin J. W. (1965), "Computation of modal solutions in layered, elastic media at high frequencies", Bulletin of the Seismological Society of America, 55(2),
pp. 335–358.
[6] Frazer R. A., Duncan W. J., and Collar A. R. (1938),Elementary matrices and some applications to dynamics and differential equations. Cambridge University
Press.
[7] Haskell N. A. (1953), "The dispersion of surface waves on multilayered media",
Bulletin of the Seismological Society of America, 43(1), pp. 17–34.
[8] Kennett B. L. (1983),Seismic wave propagation in stratified media, Cambridge
[9] Knopoff L. (1964), "A matrix method for elastic wave problems",Bulletin of the Seismological Society of America, 54(1), pp. 431–438.
[10] Liu G. R. and Xi Z. C. (2002), Elastic waves in anisotropic laminates, CRC
press.
[11] Malischewsky, Peter G. and Scherbaum, Frank (2004), "Love’s formula and H/V- ratio (ellipticity) of Rayleigh waves",Wave motion, 40(1), pp. 57–67.
[12] Malischewsky, P. G., Scherbaum, F., Lomnitz, C., Tuan, T. T., Wuttke, F., and Shamir, G. (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models",Wave motion, 45(4), pp. 556–564.
[13] Nakamura, Y. (1989), "A Method for Dynamic Characteristics Estimation of Subsurface using Microtremor on the Ground Surface", Quarterly Report of Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp. 25–33.
[14] Nakamura, Y. (2000), "Clear identification of fundamental idea of Nakamura’s technique and its applications", Proceedings of the 12th World Conference on Earthquake Engineering, Aucklan, New Zealand.
[15] Nakamura, Y. (2008), "On the H/V spectrum", Proceedings of the 14th World Conference on Earthquake Engineering, Beijing, China.
[16] Solyanik, F. I. (1977), "Transmission of plane-waves through a layered medium of anisotropic materials",Soviet Physics Acoustics-USSR, 23(6), pp. 533–536.
[17] Rokhlin, S. I., and Wang, Y. J. (1992), "Equivalent boundary conditions for thin orthotropic layer between two solids: Reflection, refraction, and interface waves",The Journal of the Acoustical Society of America, 91(4), pp. 1875–1887.
[18] Takeuchi H. and Saito M. (1972), "Seismic surface waves",Methods in Compu- tational Physics, 11, pp. 217–295.
[19] Thomson W. T. (1950), "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium",Journal of Applied Physics, 21(2), pp. 89–93.
[20] Ting T. C. T. and Horgan C. O. (1996),Anisotropic elasticity: Theory and appli- cations, Vol. 405. Oxford University Press New York.
[21] Tran Thanh Tuan (2009), The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves,
Dissertation in GeoPhysics, Friedrich-Schiller-University Jena, Germany. [22] Tran Thanh Tuan, Frank Scherbaum and Malischewsky P. G. (2011), "On the
relationship of peaks and troughs of the ellipticity (H/V) of Rayleigh waves and the transmission response of single layer over half-space models", Geophys. J. Int., 184, pp.793–800.
[23] Vinh P. C. and Ogden R. W. (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids",Archives of Mechanics, 56(3), pp. 247–265.
Các cơng trình liên quan đến luận văn:
1. Trần Ngọc Trung, Lê Thị Huệ, Trần Thanh Tuấn (2015), Khảo sát ảnh hưởng của tính bất đẳng hướng của mơi trường lên tỷ số H/V của sóng Rayleigh,Hội nghị Khoa học tồn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII (accepted).
2. Tran Thanh Tuan, Tran Ngoc Trung (2015), The dispersion of Rayleigh waves in orthotropic layered half-space using matrix method, Vietnam Journal of Mechanics
(accepted).
Các cơng trình khác:
3. Trần Thanh Tuấn, Nguyễn Thanh Nhàn, Trần Ngọc Trung (2013), Điểm cực đại và cực tiểu của đường cong tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong mơ hình hai lớp thuần nhất,Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, 1283-1293.
4. Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014),Amplification of the surface layer to the body waves, Inter-