- Trong nhiều bài toán ta thường sử dụng bất đẳng thức để chứng minh một vế không nhỏ hơn (hoặc khơng lớn hơn) vế cịn lại. Muốn cho phương trình có nghiệm thì dấu bằng của bất đẳng thức phải xảy ra đó là nghiệm của phương trình.
- Một số bất đẳng thức Cổ điển thường được sử dụng như:
1.Bất đẳng thức Cauchy (tên quốc tế là AM – GM)
Nếu a ,a ,a ,.....,a1 2 3 n là các số thực khơng âm thì: 123n
123n a a a .... a a .a .a .......a n + + + + ≥ Đẳng thức xảy ra khi a1=a2=a3=..... a=n
2.Bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai bộ số thực bất kì (a ,a ,a ,.....,a123n)và (b ,b ,b ,.....,b123n)
ta có ( 2 2 3 2)( 2 2 2 2)()2
123n123n1 22 23 3n n
a + + + +a a .... a b +b +b +..... b+ ≥ a b +a b +a b + +... a b
Đẳng thức xảy ra khi tồn tại số thực k (k 0≠ ) sao cho ai =kbi với i = 1, 2, 3,…, n.
• Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: ( x2+1 x)( 2+ y2) =4x y2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x2+ ≥1 2x Dấu “=” xảy ra khi x = 1. x2+y2≥2xy Dấu “=” xảy ra khi x = y. Do x, y dương nên nhân 2 vế của bất đẳng thức trên ta được (x2+1 x) ( 2+y2)≥4x y2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: x6+ −z 15x z 3x y z32 = 2 2 −( y 52+ )3 (1)
Lời giải:
Ta có: ( ) 6 3 ( 2 )3 2 2 2 6 3 ( 2 )3 2 ( 2 )
1 ⇔x + +z y +5 =15x z 3x y z+ ⇔x + +z y +5 =3x z y +5 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 6 3 ( 2 )3 2 ( 2 )
x + +z y +5 ≥3x z y +5 Dấu “=” xảy ra khi x2=y2+ =5 z
Từ x2−y2=(x y x y− ) ( + )=5 giải ra được nghiệm (x, y, z) = (3, 2, 9).
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: ( x y 1+ + )2=3 x( 2+ y 12+ )
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxkita có: ()( 2 2 )()2
1 1 1 x+ + +y + ≥ + +1 x y 1 Dấu “=” xảy ra khi 1 1 1x y 1= = ⇔ = =x y 1
Vậy nguyệm nguyên của phương trình là (x, y) = (1, 1).
Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x2+xy y+ 2= x y2 2
Lời giải:
() − ≥ ⇒ ≥ + = + + + + + > + + ≥ 2 2 2 2 2222222AM GM≥ 2222 2 22 x y4x x y2 xyxyxyxy2 xyxyxy. x y4y Vậy x 2≤ hoặc y 2≤
Nếu x = -2 hoặc x = 2 thì phương trình khơng có nghiệm ngun.
Thử x = -1, 1, 0 ta thấy phương trình có 3 nghiệm (0; 0), (1; - 1), (-1; 1).
Bài 5. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : yzxzxy3
x + y + z =
HD:
Phương trình đã cho ⇔ y z2 2 +x z2 2 +x y2 2 =3xyz
Theo BĐT Cơ si ta có: 3( )4 3( )4
3 3 3 1
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
VTxyzxyzxyzxyz ,
Do x y z, , >0 và x, y, z nguyên nên ta có các nghiệm là: (1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị