Biến đổi wavelet

3.3 Kiến trúc cơ bản của tiêu chuẩn

3.3.3 Biến đổi wavelet

3.3.3.1 Định ngh bi wĩa ến đổi avelet

 ^{Định nghĩa biến đổi wavelet}

Wavelet là những hàm c s ơ ở ψ_m,n

( )

f(t) = tổ hợp các hàm s = cơ ở

_∑ ( )

n

m b^{mn mn} t

, ^{, ,}

ψ (3.1)

Tính chất đặc bi cệt ủa c s wơ ở avelet là t cất ả các hàm ψ_m,n

( )

được xây dựng ử t m wột avelet mẹ ψ

( )

M wột avelt chuẩnψ_m,n

( )

n P và d ịchn lần

(

)

M ột thuộc tính n b c wổi ật ủa avelet l ính trà t ực giao (orthogonality). C wác avelet trựcgiao khi tính vô hướng của úng bch ằng không :

^∞

_∫ ( )

ψ tích vô hướng của ψ_mn và ψ_MN(t) bằng 0.

Nhờ đó ta c th t ó ể ínhđược h s bệ ố RmnR m cách ột đơn giản ơ h n: nh n f(t) trong â biểu thức (3.1) với ψ_MN(t) và l tấy ích ph n ta â được:

( ) ( ( ))

∫ ∫

Nhờ t ính trực giao, bi u thể ức (3.2) loại ỏ ất ả b t c các tích ph n câ ủaψ_mn v ới

MN

ψ . Trừtrường hợpm=M v n=N tà ương ứng sẽ ạo t ra thành ph ần

( )

(

)

 ^{Mã hoá băng con (Subband Coding}): là m phột ương thức để t ính toán bi ến đổi wavelet rời rạc. Toàn b bộ ăng con bao gồm các bank lọc, c c bá ộ

l n có t s c kháọc ày ần ố ắt c nhau để phâ ính t hi v t s n t ín ệu ới ỉ ố scale áckh nhau.

Thủ ục t bắt đầu ằng b việc cho tín hiệu qua m nột ửa b l ôộ ọc th ng cao và m n ột ửa cho qua bộ ọc l ôth ng thấp. Một ửa ộ n b l ôọc th ng thấp ại l loại m trừ ột

n t ửa ần cao. Ví d n tíụ ếu n hiệu có t s cần ố ực đại là 1000hz th sau khi ì đi qua b l ôộ ọc th ng thấp nó sẽ loại t c cátrừ ất ả c tần ố s l hớn ơn 500Hz. Như ậy v t ín hi ệu sau khi di qua bộ ọc l ôth ng thấp ần ố ủa t s c t hi g s b gi xuín ệu ốc ẽ ị ảm ống

và quá trình ày n c l l t ành cây wứ ặp ại ạoth avelet. Quá trình ày sinh ra nh n ững tâph hợp các hệ ố s scale của ến đổi bi wavelet, những hệ ố s n sày góp phẽ ần

t t t hi ban ái ạo ín ệu đầu. Ảnh sau khi đi qua bộ ọc l ôth ng cao thì gi l cáữ ại c thành ph ần chi tiết c ủa ảnh. Ảnh sau khi đi qua bộ ọc l thông thấp gi l cáữ ại c thành ph ần thô c ủa ảnh

 ^{Biến đổi wavelet hai chiều:} là quá trình biến ^đổi wavelet m m^ột ức c m ^{ủa ột}

ảnh được thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: thực ện ức hi m 1, biến đổi wavelet một chi êều tr n mỗi hàng c ủa ảnh

sau t nên đó ạo ảnh ới m

Bước 2: Trên ảnh ới đ m ang tồn ại ừ ước t t b 1, thực ện ến đổi hi bi wavelet tr n ê m nhỗi ững ột ủa ảnh ới c c m .

Bước 1 và bước ó 2 c thể đảo ngược cho nhau, đượcminh hoạ ưói d hình sau:

H 3.10ình : Biến đổi wavelet hai chiều Hình 3.9: cây wavelet

 M s b l wột ố ộ ạo avelet phổ biến:

- Haar: đơn giản, là b l ộ ọctrựcgiao, thực ện ọc hi l không tốt

- Daubechies 8/8: là b l ộ ọc trụcgiao

- Daubechies 9/7: là b l nh ộ ọc ịtrựcgiao, lỗi khôi phục ở ức m chấp nh ận được nên sử ụng d khá ph biổ ến

- LaGall 5/3: là b l nh ộ ọc ịtrực giao, c thó ể thực hiện ới v các phép toán nguyê ên n n được ử ụng s d cho mã hoá ảnh không tổnhao.

H 3.11ình : Biến đổi wavelet: a. avelet Hw aar b. Wavelet Daubechies 3.3.3.2 Biến đổi wavelet trong ảnh JPEG2000

C ành ph ác th ần Tile được chia thành các mức chia kh c nhau sá ử ụng d bi ến đổi wavelet. Các m ức chia bao gồm nhi bều ăng con, m bỗi ăng bao gồm

nhi h s êều ệ ố mi u tả đặc t tính ần s khôố ng gian theo chiều dọc và ngang của

thành ph ần tile gốc. Thực hi biện ếnđổi wavelet c thó là ể thuận ngh hoịch ặc là không thuận ngh h. ịc

Biến khôđổi ng thuận ngh mịch ặc định thực ện ở hi b i bộ lọc Daubechies 9/7 với các hệ ố ươ s t ng ứng sauthoả m i ki khôãn đ ều ện i phục ho h : àn ảo

Các hệ ố ọc s l phân tích Các hệ ố ọc ổng ợp s l t h i L ôọcth ng thấp L ôọcth ng cao i L ôọc th ng thấp L ôọcth ng cao 0 0.602949018 1.115087052 0 1.115087052 0.602949018 ±1 0.266864118 -0.591271763 ±1 0.591271763 -0.266864118 ±2 -0.078223266 -0.0575435262 ±2 -0.0575435262 -0.078223266 ±3 -0.016864118 0.0912717631 ±3 -0.0912717631 0.016864118 ±4 0.026748757 ±4 0.026748757

Biến đổi wavelet thuận nghịch mặc định thực ện ở hi b i bộ ọc l 5/3 với các hệ

s khôố i phục ho h àn ảo cho nhưsau

Các hệ ố ọc s l phân tích C h s l tác ệ ố ọc ổng ợp h

i L ôọc th ng thấp L ôọcth ng cao i L ôọc th ng thấp L ôọcth ng cao

0 6/8 1 0 1 6/8

±1 2/8 - 1/2 ±1 1/2 - 2/8

±2 - 1/8 ±2 - 1/8

Ảnh Tile thực hiện biến đổi wavelet hai chiều lần thứ nhất thành các mức phân giải LL, LH, HL,

HH. Tiếp theo, ảnh ô th ở

m phâức n giải LL lại tiếp

t bi ục ến đổi wavelet hai chiều thành các mức phân gi ải thấp hơn. Qu trình á phân mức n ày được êmi u

t nh h bêả ư ình n và k qu thu ết ả được sau khi biến wavelet 3 lần được k qu ết ả

nh sau: ư

H 3.13ình : Minh hoạ quá trình phân giảiảnhtheo mã hoá băng con 3.3.3.3 Phương pháp thực hiện ến đổi bi wavelet

Có hai ph ng phươ áp thực hiện ến đổi bi wavelet

 Phương pháp tích chập: sử ụ d ng b l nh m ma trộ ọc ư ột ận mặt n nhân vạ ới

t hi ín ệu đầu v ào

 Phương pháp lift

Nhận xét: Khi thực hi bi ện ến đổi wavelet bằng t ích chập rõ ràng là đầu êti n ta s t tẽ ính ích chập sau b đó ộ chia. Do vậy, một nửa mẫu được giữ lại và m ột

n m còửa ẫu n lại ẽ s cho đi qua bộ ọc l . Rõ ràng là không hiệu quả, để ho ạt động

hi qu h n ệu ả ơ đầu êti n ta n n cho qua bê ộ chia trước khi lọc. Đ ềui n d ày ẫn đến

thực hi ệnxoay chiều biến đổi wavelet được x ác định ởi b phương pháp lift. Ở đây tôi xin trình ày chi ti b ết h n v phơ ề ương pháp thực ện hi bi ến đổi wavelet theo ph ng phươ áp l t if

Bước lift kết ợp ới h v wavelet được ểu ễn bi di theo hình 3.14:

Dữ liệu ban đầu có chiều dài vô h ạn để thực ện ến đổi hi bi wavelet. étX chu ỗi

d ữliệu ồm g 8 hệ ố s nh ưsau x0R R, xR1R, xR2R, xR3R, xR4R, xR5R, xR6R, xR7R, xR8R .

- Trạng thái đầu ập: c nh cáật c đ ểm ữi d liệu chỉ s l xố ẻ R1R, xR3R, xR5R theo công thứcsau

(

)

' 1 2n+

x : kết qu nh ả ận được

- Trạngthái thứ hai: tất ả c các chỉ ố s l ẻ được t ên ính ởtr được t ính theo công thức sau:

(

)

v ới b : th ng sô ố ủa c lift trạngthái thứhai và x₂^''_n là k qu nh ết ả ận được

H ình 3.14: Biến đổi wavelet một chi ềutheo ph ng phươ áp if l t (wavelet nhịtrựcgiao 9/7)

- Trạng thái thứba và t có ư được thực ện ột hi m cách t ng tươ ựta có

(

)

(

)

ở đâ y HRnR và LRnR là k qu c b l ôết ả ủa ộ ọc th ng thấp và lọc ôth ng cao. C c gi trá á ị

a, b, c, và d của ộ ọc b l wavelet 9/7 đượccho tr n hìnhê 3.14

V bi ới ến đổi wavelet theo ph ng phươ áp ift ta c th l ó ể ễ d dàng t ính được bi ến đổi ngượctheo c ng thô ức sau:

Y = X + d*(L+R) (3.1) X = Y + (-d)*(L+R) (3.2)

Biến đổi ngược Wavelet nhịtrực giao 9/7 theo ph ng phươ áp ift c th l ó ể nh ận đượctheo hình 3.15

Hình 3.15: biến đôi wavelet theo phương pháp Lift thuận và ngược

Vì d ữ liệu thực ế t trong biến đổi ảnh có chiều d ài hữu hạn, mở ộng đườ r ng biên chính là ành ph quuy th ần ết định của ắp ế s x p chia mỗi wavelet. D liữ ệu

s ẽ được ph chi ản ếu đối ứn x g theo c c á iđ ểm đường viền với cá ic đ ểm đường vi b âền ản th n chúng không bao gồm trong phần phản chiếu. Một ví d m ụ ở

rộng đường viền với đ ể 4 i m dữ liệu xR0, xR R1R, xR2R và xR3Rđượcminh hoạ trong hình sau. Bởi vì d ữliệu ở ộng m r và c úc lấu tr ift là đối ứn x g, tất ả c các bước trung gian và k qu ết ả cuối cùng c g ũn đối ứn x g với êli n quan đến các i m đ ể đường vi nề . Nếu nh ư quan sát cách mở ộng đườ r ng viền, ch ng ta c thú ó khôể ng cần thực hi m rện ở ộng dữ ệli u. Bằng cá cách c iđ ểm đường viền c c th ng sá ô ốđược

tăng l n gê ấp đôi, minh hoạ h giình ở ữa. Do vậy, mở ộng đườ r ng viền có thể

thực hi ện được mà không có m ột phép tình to án ph tức ạp n . Sào ử ụng d công thức ở trê 3.1n ( ), ch g ta có ún thể ễ d dàng thu được cấu úc bi tr ến đổi lift ngược được minh hoạ bên phải trong hình (3.2). Một ú ý là cách c th ng sô ố ở nhánh đường viề đượcn nhân đôi.

H 3.16ình : mở ộn đườ r g ng viền đối ứn x g của wavelet nhị ự tr c giao 9/7

3.3.4 Lượng tử hoá

Sau khi thực hiện biến đổi wavelet, tất c các h s wavelet ả ệ ố được lượng t ử

hoá đồng nh ấttheo c ng thô ức sau:

( )

v Sới Rm,nR là các hệ ố ến đổi s bi wavelet wRm,n Rk qu lết ả ượng ử t hoá

δ là k ích thước ước ượng ử b l t sign(x) là d c h s x ấu ủa ệ ố

S Q

Hình 3.17: Mô tả quá trình lượng tử hoá

Lượng ử t hoá bi ến đổi các hệ ố s wavelet từ ố s thực sang s nguyên. Trong ố

mã hoá ảnh không nhúng nh ư trong JPEG, quá trình lượng ử t hoá này x ác

định m có éo th xể ảy ra đối ới v các hệ ố s vì k qu lết ả ượng ử được t coi là mã hoá không tổn hao. Tuy nhiên, trong JPEG2000 c c há ệ ố ượng ử s l t là mã hoá nhúng do vậy ảnh có b m êthể ị éo th m do c c bá ước ở các bước sau. Mục đính

chính c lủa ượng ử t hoá là ánh x cáạ c hệ ố s wavelet thành các số nguyên do v sậy ẽ càng xử lý càng hi qu bệu ả ởi m ho Entrã á opy. Trong JPEG2000 mỗi

băng con xác định ột ước ưọng tử m b l .

3.3.5 Mã hoá Entropy khối

3.3.5.1 Khối mã hoá Code blocks

Sau khi khi lượng t hoá áử , c c băng con được chia thành các khối ch ữ

nh khôật ng chồng lên nhau với thước ủa ột c m kh bối ằng kích thước ủa c k h íc thước băng con LH, HL, HH ở m phâức n giải à 1 l (128x128). Ba khối chữ

Image Components Tiles Subbands

Precincts

Code-

blocks ^Packets

(a)

(b)

Hình 3.18: a. Sơ đồ mô tả từ ảnh quá trình chia từ ảnh đến code-block b. Cách chia một tile thành phần thành Code-block và Precinct

nh ật (mỗi chữ nh ật được tao ra từ ỗi ă m b ng con tại cùng m một ức) kết ợp h l ại

t ành m vùng phâạo th ột n chia g hay cònói g là ọi Precinct. Mỗi Precinct lại được chia thành các khối chữ nhật không chồng lên nhau gọi là kh mã ối hoá (code-block), kích thước mỗi kh code-ối block này là 64x64 hay nh h n ỏ ơ

nhưng không được nh quá ỏ 32x32. Như ậy v , mỗi Precinct (128x128) được

chia thành 12 khối code-block kích thước 64x64.

V m bới ỗi ăng con, c c á code-block được qu ét theo thứ ự t . C c khá ối mã hoá n sau ày đó được mã hoá ành m m phth ột ặt ẳng bit tại thời đ ểi m bắt đầu ừ t m phặt ẳng bit trọng s nh ố ất MSB với các thành ph kháần c không đến m ặt

phẳngbit trọng ố thấp s nh ấtLSB. Mỗicode block được mã hoá hoàn toàn độc

l mà khôập ng tham chiếu ới t các khối trong cùng ho khôặc ng cùng m b ng ột ă

con. Mã hoá kh êối th m vào độc ập l n ày đưa ra c c lá ợi ích quan trọng: truy nh khôập ng gian ngẫu nhiên tới ộ n i dung ảnh, t c á động h hình ọc, tính toán song song, hồi ph lục ỗi (error r ilience) trong khi mes ã hoá và giải mã hoá…Các mặt phẳng bit ri ng biê ệt ủa ẫu c m trong một kh mã hoá ối được mã hoá v ới ba m cho qua code pass. Mã ỗi Code- pass thu thập ôth ng tin ngữ ảnh c và các trạng thái n trong bê được tao ra nén dòng bit. Với các thuật toán cho phép ta giải n énđộc ập l các mức khác nhau của ữ d liệu code-pas àys n .

H 3.19ình : Cách qué êt tr n mỗi ặt m phẳngbit của ỗi m code block

M m phỗi ặt ẳng bit của kh mã hoá ối được qu nh h êét ư ình tr n, bắt đầu ừ t v í ị tr đầu bên trái, 4 bít c c th nh ủa ột ứ ất được qu sau ét đó tiếp đến 4 bit của

c ột thứ hai đến khi rđộ ộng ủa c code block được quét. Sau đó, 4 bit thứ hai c c ủa ột thứ nh và c ất ứ tiếp ục t qu ét đến khi quét đến code block thấp nh ất

trong b ng con.ă M ỗibit hệ ố s trong mặt phẳng bit được mã hoá m chỉ ộttrong ba loại mã hoá sau: Significance propagation, Magnitude refinement, Clean up. M m ỗi ột loại mã ng cữ ảnh ẽ được ạo s t ra cung cấp cho mã hoá Arithmetic.

 Significance Propagation: mẫu được mã á là ho “0” là có nh m ít ất ột

m láng giẫu ềng là “1”

 Magnitude refinement: bit của ệ ố h s n là ày “1” trong mặt phẳng bit trước, các bit còn l s ại ẽ được mã hoá mã nở ày.

 Clean-up: là các mẫu chưa đựoc mã hoá bởi Significance propagation và Magnitude refinement.

Sau đây chúng ta s i sâẽ đ u vào ph mã hoá ng cần ữ ảnh và Arithmetic