W 1,1= ψ (x/2-k ) k Z ϵ Tất cả các node đều tuân theo quy luật:
Như vậy là các cơ sở gói Wavelet bao hàm các hàm cơ sở Wavelet
1.5.4 L a ch n phân gi i tự ọ ả ối ưu
Số lượng các phân giải rất lớn, một trong các số đó chính là phân giải Wavelet thường. Vấn đề chọn phân giải tối ưu gắn liền với một tiêu chuẩn nào đó ví dụ như tính toán algorithm nhanh, hiệu quả...Ở đây ta xét một tiêu chuẩn dựa trên khái niệm Entropy và quá trình tối thiểu Entropy.
Xét tín hiệu s và silà các hệ số s của một cơ sở trực giao. Entropy E là một hàm chi phí cộng thỏa mãn: E(0)= 0, E(s) = (si).
Có 4 chuẩn entropy khác nhau:
- Entropy Shannon: E(si) = - log( )
- Entropy t p trung v i modul , lậ ớ (si) = p
41 - Entropy ngưỡng: E4 ( )=
Đối với mỗi node chưa kết thúc, thực hiện thủ tục sau để tìm ra cây con tối ưu với một chuẩn Entropy đã chọn. (ký hiêu Eopt là giá trị Entropy tối ưu) (Bảng 1.1)
Bảng 1.1 Thủ tục tìm cây con tối ưu cho node chưa kết thúc
Điều kiện của Entropy Thao tác trên cây và nhãn của Entropy
E(node) (node , trộn và lập Eopt(node) = E(node)
E(node) Chia và lập Eopt (node)=
1.6 Các họ Wavelet
Có nhiều họ Wavelet và khả năng ứng dụng của chúng cũng được thay đổi tùy theo các họ Wavelet đó. Chuẩn để đánh giá một Wavelet là tốt hay xấu cũng thay đổi. ví dụ như:
1. Miền xác định của t , w , φ(t), φ(w): tốc độ hội tụ về 0 của các hàm t
, w khi thời gian hoặc tần số w lớn vô hạn, nó đánh giá khả năng định vị trong cả miền thời gian và tần số của hệ thống Wavelet.
2. Tính đối xứng, nó rất có ích để tránh việc phải giải pha trong xử lý ảnh. 3. Số các moment bằng 0 của φ, nếu tồn tại, sử dụng khi nén, giải nhiễu tín hiệu.
4. Tính đều, nó có ích để nhận được các đặc trưng tốt như là tính trơn của tín hiệu và ảnh khôi phục, hàm ước lượng trong phân tích hồi quy không tuyến tính.
1.6.1 Wavelet Haar
Cơ sở Haar được xây dựng bởi hàm tỉ lệ φ=1[0,1]. Các hệ số lọc h(0) = (1) = h
42
=
Wavelet Haar có miền xác định bé nhưng chỉ có một moment bằng 0 nên nó thích hợp với việc định vị nhưng xấp xỉ lại kém.
1.6.2 Wavelet Shannon
Wavelet Shannon được xây dựng từ các hàm sinc trong định lý lấy mẫu Shannon (Tham khảo trong [4, 6]). Các hàm dịch bởi sinc hình thành từ một tập hàm cơ sở trực giao (trong trường hợp tần số lấy mẫu lớn hơn tần số Nyquist thì hình thành một khung chặt). Hệ thống Wavelet sinc thỏa mãn điều kiện đa phân giải.
Để là hàm tỉ lệ thì hàm sinc phải thỏa mãn:
Sinc(Kt)= với các hệ số h(n) và K thích hợp.
Nếu xây dựng sinc(Kt) theo định lý lấy mẫu thì:
Sinc(Kt)= t - n)
Để hai đẳng thức này đúng, chu kỳ lấy mẫu phải là T=1/2 và tham số K=Π/R nó dẫn tới hệ số tỉ lệ là:
h(n) = sinc( n)
hàm φ(t)= sinc(Kt) là một hàm tỉ lệ với miền xác định hữu hạn và các hệ số tỉ lệ tương ứng của nó là các mẫu hàm sinc. Nếu R=1, thì K= Π và các hàm tỉ lệ sinh ra
43
một hệ thống Wavelet trực giao. Với R>1, hệ thống Wavelet là một khung chặt, R là hệ số dư thừa trong hệ thống.
Đối với trường hợp hàm tỉ lệ sin trực giao, các Wavelet có biểu thức: t = 2φ(2t) φ(t)-
Φ = và H = . với
=0 trong lân cận của =0 nên có vô hạn các moment bằng 0. suy giảm chậm cùng bậc với
1.6.3 Wavelet Meyer
Wavelet Meyer là một hàm có băng tần giới hạn, chuyển đổi Fourier là trơn không như chuyển đổi Fourier của Wavelet Shannon. Tính trơn này làm cho nó suy giảm tiệm cận theo thời gian nhanh hơn. Wavelet Meyer được xây dựng với bộ lọc gương cầu phương H có biểu thức:
Như vậy bậc tự do của dịch trong băng đồng thời phải thỏa mãn điều kiện:
=2 vì
+ nên n đạo hàm đầu tiên phải bằng 0 tại
các điểm . Người ta có thể xây dựng các hàm như thế thuộc . Ví dụ:
44
= cos
Trong đó + 70 -20 )
Kết quả là H có n=3 đạo hàm bằng 0 tại .
Hàm tỉ lệ Φ có miền xác định liên tục và hữu hạn, xác định qua biểu thức:
=
Wavelet thu được:
=
Các hàm Φ và thuộc vì biến đổi Fourier của chúng có miền xác định liên tục và hữu hạn. Vì = 0 trong lân cận giá trị =0 nên tất cả các đạo hàm của nó bằng 0 tại =0, điều đó có ý nghĩa là có vô số các moment bằng 0
Nếu H , thì Φ và cũng thuộc . Sự không liên tục của đạo hàm bậc (n+1) của H tại các điểm dẫn đến sao cho:
và
Mặc dầu sự suy giảm của là nhanh khi n lớn nhưng thực tế không như vậy vì A là quá lớn.
45
Meyer Wavelet có miền xác định không liên tục hữu hạn, có một xấp xỉ dẫn đến bộ lọc FIR, cho phép tính toán DWT. Họ Wavelet này là “dmey”.
1.6.4 Wavelet Battle- Lemaries
Xuất phát từ khái niệm “box splines”. Một “box splines” bậc m được tính bằng tích chập của cửa sổ 1[0,1] với bản thân nó m+1 lần, chuyển đổi Fourier của nó là:
=
Nếu m chẳn thì =1, có miền xác định đối xứng quanh t=1/2, m lẻ thì =0, có miền xác định đối xứng quanh t=0. Xấp xỉ đa phân spline cho phép tính được:
Φ
Với () =
Suy ra H =
Đối với spline bậc m, H và m đạo hàm đầu tiên của nó bằng 0 tại = . Như vậy có (m+1) moment bằng 0. Biểu thức của nó:
Wavelet này có tính chất là suy giảm theo thời gian rất nhanh. Với m lẻ đối xứng quanh 1/2. Với m chẳn thì tính chất này không còn đúng nữa.
1.6.5 Wavelet Daubechies
46 =
có điểm 0 bậc p tại : H R(
Vấn đề là thiết kế đa thức R( bậc tối thiểu sao cho H thỏa mãn:
+ =2 (2.72)
R( = = )
Vì h(n) là thực nên là một hàm chẳn vì vậy nó được biểu diễn bằng một đa thức của cos do đó cũng là một đa thức của cos
Ta có: = 2 P( ( )))
Điều kiện (2.72) trở thành:
P(y) + P(1-y) =1 ( ) [0,1]
(2.73)
Lý thuyết Bezout đã chứng minh rằng:
P(y) = là đa thức nghiệm của (2.73) có bậc nhỏ nhất. Vì R( có hệ số thực nên:
( = R( = P(
= ) R( R( ) = Q(
Đặt z= ta có:
R(z)R( ) = z)( ) = P( ) = Q(z)
Vì Q(z) có các hệ số thực và cũng là hàm của z+ nên nếu là nghiệm thì , và cũng là nghiệm.Vậy để thiết kế R(z), chúng ta chọn các cặp nghiệm
47
lượng tập trung ở nhưng giá trị n 0 nhỏ. Đây là trường hợp bộ lọc Daubechies Wavelet bậc p
Daubechies Wavelet
Trường hợp bộ lọc h(n) Daubechies bậc p ở trên cho phép xây dựng họ Wavelet tương ứng. Kết quả Wavelet có p moment bằng 0. Miền xác định tương ứng của và là [-p+1,p] và [0,2p-1]. Khi p=0 ta nhận được hệ thống Wavelet Haar. Bảng 1.2 chỉ ra các liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài N=6
B ng 1.2 Các moment liên t c, r i r c c a các hàm Wavelet và t l v i chi u dài N=6 ả ụ ờ ạ ủ ỉ ệ ớ ề Daubechies N=6 n 0 0.33267055295008 -0.03522629188571 1.414213 0 0 1 0.806891150931109 -0.08544127388203 1.155979 0 1 2 0.45987750211849 -0.13501102001025 0.944899 0 2 3 -0.13501102001025 0.45987750211849 -0.224341 3.354101 3 4 -0.08544127388203 -0.80689150931109 -2.627495 40.679682 4 5 0.03522629188571 0.33267055295008 5.305591 329.32371 5 Daubechies N=6 n 0 1.414213 0 1.000000 0 1 1.155979 0 0.8174012 0 2 0.944899 0 0.6681447 0 3 -0.224341 3.354101 0.4454669 0.2964653 4 -2.627495 40.679682 0.1172263 2.2824642 5 5.305591 329.323717 -0.0466511 11.4461157
48
Từ các kết quả xấp xỉ ta thấy việc kết hợp moment hàm tỉ lệ và Wavelet bằng 0 sử dụng với các mẫu tín hiệu cho ta nhận xét việc có các moment các hàm tỉ lệ bằng 0 không chỉ đưa ra một xấp xỉ tốt mà còn làm cho các hàm tỉ lệ đối xứng hơn. Đặc trưng này có thể là quan trọng hơn xấp xỉ trong một vài ứng dụng.
Symmlets SymN –
Daubecchies Wavelets là không đối xứngvì chúng được xây dựng bằng cách chọn nghiệm bình phương pha tối thiểu của ). Với một số ứng dụng nó không thuận lợi. Người ta chứng minh được rằng các bộ lọc ứng với cách chọn này có năng lượng tập trung gần điểm bắt đầu của miền xác định. rất không đối xứng vì vậy các Wavelet cũng không đối xứng.
Để các Wavelet tiến tới đối xứng, các bộ lọc phải tiến tới đối xứng qua điểm giữa miền xác định, điều đó có nghĩa là có pha phức tuyến tính. Daubechies đã chứng minh rằng bộ lọc Harr là bộ lọc gương cầu phương, thực, có miền xác định liên tục hữu hạn duy nhất có pha tuyến tính.
Các bộ lọc Symmlet của Daubechies được xây dựng bằng cách tối ưu hóa việc lựa chọn nghiệm bậc hai ) của ) để đạt được pha gần tối thiểu. Các Wavelet kết quả có miền xác định tối thiểu [ p+1,p] với p moment bằng 0 - nhưng đối xứng hơn so với Daubecchies Wavelet.
Wavelet Coiflets CoifN –
Coifman đã yêu cầu Daubechies xây dựng một họ Wavelet có p moment bằng 0, miền xác định tối thiểu nhưng đồng thời các hàm tỉ lệ cũng thỏa mãn:
, ,
Các hàm tỉ lệ như vậy rất có ích khi đánh giá xấp xỉ. Nếu trơn và đủ lớn, ta có xấp xỉ:
49
Tại những tỉ lệ tinh, các hệ số tỉ lệ có thể được xấp xỉ bởi các mẫu tín hiệu. Bậc của xấp xỉ tăng theo p. Các Wavelet và hàm tỉ lệ coifN đối xứng hơn so với dbN. Nếu xét về chiều dài coifN so với db3N hoặc sym3N, nếu xét về hệ số moment bằng 0 của , coifN so với bd2N hay sym3N
1.6.6 L a ch n biự ọ ến đổi
Có nhiều dạng wavelet khác nhau, mỗi dạng Wavelet này đều có những ưu điểm cũng như hạn chế riêng. Do vậy vấn đề chọn sử dụng Wavelet nào trong biến đổi là phụ thuộc vào ứng dụng. Lựa chọn sử dụng Wavelet nào dựa trên hình dạng của chúng và khả năng phân tích tính hiệu trong từng ứng dụng cụ thể. Hình vẽ sau là hình dạng một số họ Wavelet.
Hình 1.25 Các h Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) ọ Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat
Việc lựa chọn phép phân tích rời rạc hoặc liên tục cũng tùy thuộc vào ứng dụng cũng như các ưu điểm riêng của mỗi phép phân tích: Phân tích liên tục dễ thể hiện hơn, sự dư thừa của phân tích dẫn tới sự tăng cường các đặc điểm tiêu biểu và làm toàn bộ thông tin rõ ràng hơn. Phân tích liên tục đặc biệt phù hợp với trường hợp
50
thông tin không rõ ràng (subtle information). Phân tích rời rạc bảo đảm tiết kiệm không gian mã và đủ để cho tổng hợp. Bảng 1.3 là tổng kết một số các tính chất của một số Wavelet.
B ng 1.3 T ng k t tính ch t c a m t s Wavelet ả ổ ế ấ ủ ộ ố
Property Haar dbN symN coifN
Compactly supported orthgonal
Symmetry Asymmetry Near symmetry Orthogonal analysis Biorthogonal analysis Exact reconstruction FIR filter Continous transform Discrete transform Fast algorithm
1.7 Ứng dụng của phép biển đổi Wavelet:
Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Biến đổi Wavelet được áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng. Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI. Biến đổi Wavelet được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI. Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện tốt ở tỷ số nén cao. Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng
51
chặn làm cho không thể theo các đường vân tay sau khôi phục. Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu.
Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên độ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên độ rất nhỏ. Việc nén dữ liệu có thể thu được nhờ loại bỏ các biên độ thấp. Biến đổi Wavelet cho phép tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt. Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh là một trong những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhất. Gần đây, biến đổi Wavelet đã được chọn cho chuẩn nén JPEG 2000.
Hình 1.26 ng d ng x Ứ ụ ửlý tín hiệu s d ng biử ụ ến đổi Wavelet
Hình 1.30 thể hiện các bước chung trong ứng dụng xử lý tín hiệu. Quá trình xử lý tín hiệu có thể bao gồm nén, mã hoá, khử nhiễu, … Tín hiệu đã xử lý được lưu giữ hoặc truyền phát đi. Với hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý bao gồm lượng tử hoá mã hoá entropy cho tới nén ảnh. Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số wavelet dưới ngưỡng được chọn bị loại bỏ. Các hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng không trong suốt quá trình khôi phục ở đầu kia. Để khôi phục tín hiệu, mã hoá entropy được giải mã, sau đó được lượng tử hoá và cuối cùng được biến đổi Wavelet ngược.
Wavelet cũng được ứng dụng trong nén tiếng nói, nó làm giảm thời gian truyền dẫn trong các ứng dụng di động. Wavelet được sử dụng để khử nhiễu, phát hiện sườn, trích các đặc điểm, nhận dạng tiếng nói, loại bỏ tiếng vọng,… Wavelet cũng cho thấy nhiều ứng dụng triển vọng trong nén tín hiệu audio và video thời gian thực. Wavelet cũng được ứng dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh phân chia theo tần số trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).
Sau đây là một số minh họa về các ứng dụng của phép biến đổi Wavelet - Ứng d ng trong nén nh: ụ ả
52
Hình 1.27 ng d ng Wavelet trong nén nh Ứ ụ ả
Bức ảnh nén cho phép loại bỏ đi các hệ số biến độ thấp tới 55.81% trong khi năng lượng vẫn được giữ lại là 99.97%.
- Ứng d ng trong vi c phát hiụ ệ ện các điểm đột biến, các sườn
Hình 1.28 ng d ng Wavelet trong phát hiỨ ụ ện các điểm đột biến, các sườn - Ứng d ng trong lo i tr nhi u: ụ ạ ừ ễ
53
Hình 1.29 ng d ng Wavelet trong lo i tr nhi u tín hi u Ứ ụ ạ ừ ễ ệ
Như vậy có thể thấy rằng Wavelet đã và đang trở thành một công cụ hiệu quả trong lĩnh vực xử lý tín hiệu. Một trong những ứng dụng nổi bật của Wavelet trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đó là khử nhiễu tín hiệu.
Trong chương ba kỹ thuật khử nhiễu tín hiệu được trình bày một cách chi tiết hơn dựa trên các phương pháp lấy ngưõng, các hàm cơ sở của phép biến đổi Wavelet
Kết luận:Như đã trình bày ở đầu chương, toàn bộ chương 1 đã trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet.
54
Chương ỨNG DỤNG WAVELET TRONG LOẠI TRỪ 2
NHIỄU TÍN HIỆU
Ngày nay, Wavelet trở thành một công cụ hiệu quả trong lĩnh vực xử lý tín hiệu. Một trong những ứng dụng nổi bật của Wavelet trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đó là khử nhiễu tín hiệu. Chương hai trình bày các kỹ thuật khử nhiễu tín hiệu, phương pháp lấy ngưõngvà ứng dụng Wavelet trong khử nhiễu tín hiệu.
2.1 Giới thiệu
Vấn đề khử nhiễu tín hiệu luôn là vấn đề được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết. Vấn đề làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống với tín hiệu nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín hiệu. Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Những phưong pháp khử nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp tuyến tính như là lọc Wiener (Wiener