Để hiểu về ý nghĩa của hàm phân bố và năng lượng Fermi, chúng ta sẽ vẽ đồ thị hàm phân bố theo năng lượng. Đầu tiên, cho T=0K và xét trường hợp khi E<EF. Số hạng e mũ trong phương trình (3.79) trở thành exp[(E–EF)/kT]→exp(–∞)=0. Cuối cùng hàm phân bố sẽ bằng fF(E<EF)=1. Chúng ta lại cho T=0K và xét trường
hợp E>EF. Số hạng e mũ trong hàm phân bố trở thành exp[(E–
EF)/kT]→exp(+∞)→+∞. Cuối cùng hàm phân bố trởthành fF(E>EF)=0.
Hàm phân bố Fermi-Dirac tại T=0K được vẽ trong hình 3.27. Kết quả này chứng tỏ rằng, tại T=0K, những electron ởtrạng thái năng lượng thấp nhất của
chúng. Xác suất để một trạng thái lượng tử bị chiếm bằng 1 khi E>EF và xác suất để một trạng thái lượng tử bị chiếm bằng 0 khi E>EF. Tất cả các electron có năng lượng dưới năng lượng Fermi tại T=0K.
Hình 3.28 biễu diễn những mức năng lượng rời rạc của một hệthống nào đó cùng với số trạng thái lượng tửcó sẵn tại mỗi mức năng lượng. Đối với trường hợp này, nếu chúng ta giả sử rằng hệ chứa 13 electron thì hình 3.28 chỉ ra những electron này được phân bố vào những trạng thái lượng tử khác nhau như thế nào ở
T=0K. Những electron sẽ ở trong trạng thái năng lượng thấp nhất có thể có, vì thế xác suất để một trạng thái lượng tử bị chiếm trong những mức năng lượng từ E1
đến E4bằng 1, và xác suất để một trạng thái lượng tử bị chiếm ở mức năng lượng E5bằng 0. Trong trường hợp này, năng lượng Fermi phảiở trên E4nhưng thấp hơn E5. Năng lượng Fermi xác định phân bố thống kê của những electron và không tương ứng với mức năng lượng nào cả.
Bây giờ xét trường hợp trong đó mật độ trạng thái lượng tử g(E) là hàm liên tục theo năng lượng như được biễu diễn trong hình 3.29. Nếu chúng ta có N0 electron trong hệ này, thì phân bố của những electron này vào những trạng thái lượng tử tại T=0K được biểu diễn bởi những đường đứt nét. Những electron phảiở trạng thái năng lượng thấp nhất vì thế tất cả các trạng thái bên dưới EF được làm đầy và tất cả những trạng thái năng lượng trên EF trống. Nếu trong một hệ nào đó có g(E) và N0đã biết thì có thể xác định được mức Fermi EF.
Xét trường hợp khi nhiệt độ tăng trên 0 K. Những electron thu được một lượng nhiệt năng nào đó vì thế một số electron có thể nhảy lên những mức năng lượng cao hơn, điều đó có nghĩa là sự phân bố electron vào những trạng thái năng lượng sẽ thay đổi. Hình 3.30 biễu diễn cùng những mức năng lượng rời rạc và những trạng thái lượng tử như trong hình 3.28. Sự phân bố những electron vào những trạng thái lượng tử đã thay đổi so với trường hợp T=0K. Hai electron từ mức E4 đã thu đủ năng lượng để nhảy lên E5, và một electron từ E3 đã nhảy lên E4. Khi nhiệt độ thay đổi, sự phân bố electron theo năng lượng cũng thay đổi.
Sự thay đổi trong phân bố các electron vào những mức năng lượng khi T>0K có thể được hiểu bằng cách vẽ đồ thị hàm phân bố Fermi-Dirac. Nếu chúng ta đặt E=EF và T>0K thì phương trình (3.79) trở thành 2 1 ) 0 exp( 1 1 ) ( F F E E f
Xác suất để một trạng thái bị chiếm ở E=EF bằng ½. Hình 3.31 biễu diễn hàm phân bố Fermi-Dirac ở một vài nhiệt độ, giả sử năng lượng Fermi không phụ thuộc nhiệt độ
Chúng ta có thể thấy rằng khi nhiệt độ lớn hơn không độ tuyệt đối, xác suất để những trạng thái năng lượng trên EF bịchiếm bởi các electron sẽ khác 0 và một số trạng thái năng lượng dưới EF bị trống. Kết quả này có nghĩa là một số electron đã nhảy lên mức năng lượng cao hơn khi nhiệt năng tăng.
Xét trường hợp E–EF>>kT , ở đây số hạng e mũ trong mẫu số của phương trình (3.79) lớn hơn 1 rất nhiều. Chúng ta có thể bỏ qua 1 ở mẫu, vì thế hàm phân bốFermi trởthành kT E E E f F F ) ( exp ) ( (3.80) Phương trình (3.80) được gọi là gần đúng Maxwell-Boltzmann, hoặc đơn giản là gần đúng Boltzmann. Hình 3.33 biễu diễn hàm xác suất Fermi-Dirac và gần đúng Boltzmann. Hình này chỉ định khoảng năng lượng mà phép gần đúng áp dụng được.
Gần đúng Boltzmann có ngh ĩa khi exp[(E–EF)/kT]>>1. Tuy nhiên, trong
thực tế thường dùng E–EF>>kT khi áp dụng gần đúng Boltzmann. Chúng ta s ẽ dùng gần đúng Boltzmann này trong khi kh ảo sát vềbán dẫn ở chương sau.