3 ứng dụng vào các bài toán tối ưu đa trị
3.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I
R(y, x, t, z) đúng với mọi z ∈ S(x, y). Giả sử (yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z) vàR(y, x, t, z) đúng do vậy 0 ∈ F(yβ, xβ, tβ, zβ) vì F là ánh xạ đa trị đóng suy ra rằng 0 ∈ F(y, x, t, z). Vì vậy R(y, x, t, z) đúng và R là đóng. Với bất kỳ điểm cố định (y, x) ∈ K ìD tập hợp A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F(y, x, t, z), với mọiz ∈ S(x, y)}; thì A = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z)đúng với mọiz ∈ S(x, y)} là xyclic.
áp dụng định lý 3.2.1. ta kết luận rằng tồn tại (x, y) ∈ D ìK sao cho (i) x ∈ S(x, y);
(ii) y ∈ T(x, y);
(iii) R(y, x, x, z) đúng với mọi z ∈ S(x, y).
Nghĩa là,0 ∈ F(y, x, x, z), với mọiz ∈ S(x, y).
Vì vậy, Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I suy ra bài toán tựa quan hệ biến phân loại I và ngược lại.
3.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loạiI I
ChoD, K, S, T được định nghĩa như phần trên,H, G là các ánh xạ đa trị với giá trị trong không gian Y. Giả sử C : K ìD −→ 2Y là ánh xạ đa trị nón với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Định nghĩa ánh xạ
M :K ìD ìD −→2X, F : K ìD ìD ìD −→2X bởi
M(y, x, z) = {t∈ D | H(y, x, z) ⊆G(y, x, t) +C(y, x)}
(y, x, z) ∈ K ìDìD;
Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D ìK sao cho (i) x ∈ S(x, y);
(ii) y ∈ T(x, y);
(iii) H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) +C(y, x), với mọi z ∈ S(x, y),
được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên.
Mệnh đề 3.3.1. ChoB ⊆ D là tập con compact lồi khác rỗng, C là nón lồi đóng trongY, G : B −→ 2Y là ánh xạ đa trị C− tựa lồi trên và(−C)−liên tục dưới với giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại z ∈ B sao cho
G(z) ⊆G(z) +C, với mọiz ∈ B.
Mệnh đề 3.3.2. ChoB ⊆ D là tập con compact lồi khác rỗng,C là nón lồi, đóng trongY, G: B −→ 2Y là ánh xạ đa trị C−tựa lồi dưới và (−C)−liên tục trên với giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại z ∈ B sao cho
G(z) ⊆ G(z)− C, vói mọiz ∈ B.
Chứng minh hai mệnh đề này ta có thể tìm thấy trong [13].
Định lý 3.3.3. Cho D, K là các tập con lồi khác rỗng chấp nhận được theo thứ tự của không gian véctơ tôpô lồi địa phương X, Z, Giả sử
S : D ìK −→ 2D, T : D ìK −→2K;
H, G :K ìD ìD −→2Y, C : K ìD −→2Y.
là các ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) S là ánh xạ đa trị compact liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (ii) T là ánh xạ đa trị compact acyclic;
(iii) C là ánh xạ đa trị nón liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (iv) ánh xạ đa trị H là (−C)− liên tục dưới với giá trị đóng, khác rỗng.
(v) Với bất kỳ điểm cố định (x, y) ∈ D ìK, ánh xạ đa trị G(y, x, .) là
C(y, x)-tựa lồi;
(vi) Với bất kỳ (y, x, z) ∈ K ìD ìD, H(y, x, z) ⊆ G(y, x, z).
Chứng minh: Ta định nghĩa các ánh xạ đa trị M : K ì D −→ 2X, F : K ìD ìD ìD −→ 2X bởi
M(y, x) = {t∈ S(x, y) |H(y, x, z) ⊆G(y, x, t) +C(y, x), ∀z ∈ S(x, y)}
(y, x) ∈ K ìD;
F(y, x, t, z) = t−M(y, x), (y, x, t, z) ∈ K ìD ìD ìD.
Với mọi điểm cố định (x, y) ∈ D ì K. Ta áp dụng mệnh đề 3.3.1 với
B = S(x, y), C = C(y, x) và G(z) = G(y, x, z) suy ra t∈ S(x, y) sao cho
G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) +C(y, x), với mọiz ∈ S(x, y).
Từ (iv) ta cóH(y, x, z) ⊆G(y, x, t) +C(y, x)với mọiz ∈ S(x, y).Điều này chỉ ra rằng tồn tạit ∈ S(x, y) sao cho 0∈ F(y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y).
Giả sử A = {t ∈ D | 0 ∈ F(y, x, t, z), với mọiz ∈ S(x, y)}. Nếu t1, t2 ∈ A
thì H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t1) +C(y, x) và H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t2) +C(y, x).
Từ tính C(y, x)-tựa lồi trên của G suy ra với mọi λ ∈ [0,1] ta có
G(y, x, t1) ⊆ G(y, x, λt1 + (1−λ)t2) +C(y, x) hoặc
G(y, x, t2) ⊆ G(y, x, λt1 + (1−λ)t2) +C(y, x).
VậyH(y, x, z) ⊆ G(y, x, λt1+(1−λ)t2)+C(y, x)suy raλt1+(1−λ)t2 ∈ A
vậy A lồi và do đó là acyclic.
Ta giả sử xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M(yβ, xβ), tβ → t. Do tβ ∈ S(xβ, yβ) và tính nửa liên tục trên của S với giá trị đóng suy ra t ∈ S(x, y). Từ
tβ ∈ M(yβ, xβ) ta có H(yβ, xβ, zβ) ⊆ G(yβ, xβ, tβ) +C(y, x). (1) Do H là (−C)-liên tục dưới tại (y, x, z), (yβ, xβ, zβ) → (y, x, z), với lân cận bất kỳ V của gốc trong Y, tồn tại β1 sao cho
Do (yβ, xβ, tβ) → (y, x, t) và G là C-liên tục trên tại (y, x, t), tồn tại β2 sao cho G(yβ, xβ, tβ) ⊆ G(y, x, t) + V + C(y, x), với mọiβ ≥ β2. (3) Đặt β0 = max{β1, β2}, từ (1), (2) và (3) ta có
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 2V +C(yβ, xβ) +C(y, x).
Do ánh xạ đa trị C là liên tục trên với nón giá trị đóng, ta có với mọi lân cận
V của gốc trong Y, C(yβ, xβ) ⊆ C(y, x) +V. Vì vậy
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 3V +C(y, x).
Từ tính đóng củaC(y, x) và giá trị compact của G ta có
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) +C(y, x).
Do vậy, t ∈ M(y, x) và ánh xạ đa trị M, F là đóng. áp dụng định lý 2.3.8 tồn tại (x, y) ∈ D ìK sao cho
1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T(x, y);
3) 0∈ F(y, x, x, z), với mọiz ∈ S(x, y).
Nghĩa là, H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) +C(y, x) với mọi z ∈ S(x, y).
Định lý 3.3.4. ChoD, K là các tập con lồi khác rỗng chấp nhận được tương ứng của không gian véctơ tôpô lồi địa phương X, Z.
S : D ìK −→2D, T : D ìK −→2K
H, G :K ìD ìD −→2Y, C : K ìD −→2Y.
là các ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) S là ánh xạ đa trị compact liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (ii) T là ánh xạ đa trị compact acyclic;
(iii) C là ánh xạ đa trị liên tục trên với nón giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (iv)ánh xạ đa trịH là(−C)−liên tục trên với giá trị compact khác rỗng, ánh xạ đa trị G là C− liên tục dưới với giá trị đóng, khác rỗng;
(v) Với bất kỳ điểm cố định (x, y) ∈ D ìK, ánh xạ đa trị G(y, x, .) là
C(y, x)-tựa lồi dưới;
(vi) Với bất kỳ (y, x, z) ∈ K ìD ìD, G(y, x, z) ⊆H(y, x, z).
Chú ý 3.3.5. Nếu D, K, S, T,C, Y, H, G như trong định lý 3.3.4 thì tồn tại (x, y) ∈ D ìK sao cho
1) x ∈ S(x, y); 2) y ∈ T(x, y);
3) H(y, x, z)∩(G(y, x, x) +C(y, x)) 6= φ với mọiz ∈ S(x, y).
Thật vậy, áp dụng định lý 3.3.4 tồn tại(x, y) ∈ DìKsao chox ∈ S(x, y);
y ∈ T(x, y); và G(y, x, x) ⊆ H(y, x, z) − C(y, x), với mọi z ∈ S(x, y).
Đặt a ∈ G(y, x, x) thì a = f − c, f ∈ H(y, x, z), c ∈ C(y, x). Vì vậy,
f = a+c ∈ G(y, x, x) +C(y, x) nênH(y, x, z)∩(G(y, x, x) +C(y, x)) 6= φ
Kết luận
Luận văn này trình bày các kiến thức cơ bản của giải tích đa trị và sử dụng những kiến thức này vào bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán liên quan như: Bài toán tựa cân bằng vô hướng, bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên và bài toán bao hàm thức tựa biến phân tổng quát của véctơ. Đồng thời, ứng dụng vào các bài toán tối ưu đa trị như: Bài toán tựa tối ưu loại I, bài toán quan hệ tựa biến phân loại I và bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I. Luận văn cũng đưa ra các điều kiện tồn tại nghiệm của các bài toán trên, đồng thời cũng chỉ ra được mối quan hệ của chúng. Cụ thể, trong chú ý 3.2.2 của luận văn đã chỉ ra bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I suy ra bài toán tựa quan hệ biến phân loại I và ngược lại.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, Nxb Giáo dục.
[2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Blum, E. and Oettli, W.(1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, Vol. 64, pp. 1-23.
[4] Brouwer L. E. J. (1912), "Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten", math. Ann. 71, pp. 97-115.
[5] Browder, F.E. (1984), "Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26, pp. 67-80.
[6] Browder, F.E. (1968), "The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector space", Math.Ann, 177, pp. 238-301.
[7] Fan, K.(1961), "A generalization of Tychonoff's fixed point theorem", Math. Ann, 142, pp. 305-310.
[8] Fan, K.(1972), "A minimax inequality and application", in Inequalities 3, O.Shisha (Ed), Aca Press, New-York,
[9] Gurraggio, A. and Tan, N. X. (2002), "On General Vector Quasi- Optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Re- search, Vol. 55, pp. 347-358.
[10] N. X. Hai and P. Q. Khanh. (2007), "The solusion existence of general variational inclusion problems", J. Math. Anal. Appl, 328, pp. 1268- 1277.
[11] KakuTani, S. (1944), "A generalization of Brouwers fixed point theo- rem", Duke. Math. J, 8, pp. 457-459.
[12] Knaster B., Kuratowski C. and Mazurkiewicz S. (1929), "Ein bewies des fixpunktzes fur n-dimensional simplexe", Fund. Math, Vol. 14, pp. 132-137.
[13] Lin, L. J. and N. X. Tan. (2007), "On Inclusion Problems of Type I and Related Problems", J. Global Optim, Vol. 39, no3, pp. 393-407.
[14] D. T. Luc. (1982), "On Nash equilibrium I", Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 40(3-4), pp. 267-272.
[15] D. T. Luc. (1989), "Theory of vector optimization", Lect. Notes in Eco. and Math. Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany, Vol. 319.
[16] D. T. Luc and N. X. Tan. (2004), "Existence conditions in variational inclusions with constraints", Optimization 53, pp. 505-515.
[17] N. B. Minh and N. X. Tan. (2000), "Some Sufficient Conditions for the Existence of Equilibrium Point Concerning multivalued Mapping", Vietnam Joural of Methematics, Vol. 28, pp. 295-310.
[18] Minty, G. J. (1978), "On variational inequalities for monotone opera- tors", I. Avances in Math, 30, pp. 1-7.
[19] Park, S. (2000), "Fixed points and Quasi-equilibrium problems", Non- linear Oper.Theory.Math. and Com.Model, Vol. 32, pp. 1297-1304. [20] Park, S. (2007), "Fixed points theorems for better admissible multimaps
[21] N. X. Tan. (2004), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems", Journal of Optimization theory and Applications, Vol.123, pp. 619-638.
[22] H. Tuy. (1972), "Convex inequalities and the Hahn-Banach theorem", dissertationes Mathematical, CXVII.
[23] N. X. Tan. and P. N. Tinh. (1998), "On the existence of equilibrium points of vector function", Numer. Funct.Anal. and Opt, 19, pp. 141- 156.