I. Cỏc vớ dụ:
Vậy phân số ban đầu đã cho là
5
⇔ + = +⇔ = ⇔ =
Vớ dụ 2: Tổng cỏc chữ số của 1 số cú hai chữ số là 9. Nếu thờm vào số đú 63 đơn vị thỡ số thu được cũng viết bằng hai chữ số đú nhưng theo thứ tự ngược lại. Hóy tỡm số đú?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x ((0<x 9, x N)≤ ∈
≤ ∈
Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9,y N)
Vỡ tổng 2 chữ số là 9 ta cú x + y = 9 (1) Số đú là xy 10x y= +
Số viết ngược lại là yx 10y x= +
Vỡ thờm vào số đú 63 đơn vị thỡ được số viết theo thứ tự ngược lại ta cú
xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2) + = ⇒ + + = + ⇔ − = − Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh x y 9 x y 9 2x 2 9x 9y 63 x y 7 x y 9 + = + = = ⇔ ⇔ − = − − = + = x 1
(thoả mã n điều kiện) y 8 = ⇔ = Vậy số phải tỡm là 18.
Vớ dụ 3: Tỡm hai số tự nhiờn liờn tiếp cú tổng cỏc bỡnh phương của nú là 85.
Giải
Gọi số bộ là x (x N∈ ). Số tự nhiờn kề sau là x + 1.
Vỡ tổng cỏc bỡnh phương của nú là 85 nờn ta cú phương trỡnh: x2 + (x + 1)2 = 85 2 2 2 2 2 2 x x 2x 1 85 2x 2x 84 0 x x 42 0 b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13 ⇔ + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ∆ = − = − − = > ⇒ ∆ = =
Phương trỡnh cú hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(thoả mãn điều kiện) 2 1 13 x 7(loại) 2 − + = = − − = = −
Bài tập:
Bài 1: Đem một số nhõn với 3 rồi trừ đi 7 thỡ được 50. Hỏi số đú là bao nhiờu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tỡm hai số đú biết rằng
2
5 số thứ nhất thỡ bằng
16 6
số thứ hai.
Bài 3: Tỡm một số tự nhiờn cú hai chữ số, biết tổng cỏc chữ số của nú là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thỡ số đú giảm đi 45 đơn vị.
Bài 4: Tỡm hai số hơn kộm nhau 5 đơn vị và tớch của chỳng bằng 150.
Bài 5: Tỡm số tự nhiờn cú 2 chữ số, biết rằng số đú bằng lập phương của số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghỡn của số đó cho theo thứ tự đú.
ĐÁP SỐ:
Bài 1: Số đú là 19;
Bài 2: Hai số đú là 15 và 36 Bài 3: Số đú là 61
Bài 4: Hai số đú là 10 và 15 hoặc -10 và -15; Bài 5: Số đú là 32.
Tiết 2:
Dạng 2: Toỏn chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thỡ:
S = v. t ; s s v ;t t v = = .
Gọi vận tốc thực của ca nụ là v1 vận tốc dũng nước là v2 tỡ vận tốc ca nụ khi
xuụi dũng nước là
v = v1 + v2. Võn tốc ca nụ khi ngược dũng là v = v1 - v2
Vớ dụ 1: Xe mỏy thứ nhất đi trờn quảng đường từ Hà Nội về Thỏi Bỡnh hết 3 giờ 20 phỳt. Xe mỏy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phỳt. Mỗi giờ xe mỏy thứ nhất đi nhanh hơn xe
mỏy thứ hai 3 km.
Tớnh vận tốc của mỗi xe mỏy và quảng đường từ Hà Nội đến Thỏi Bỡnh?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3; Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
Trong 3 giờ 20 phỳt (=
10
3 giờ) xe mỏy thứ nhất đi được
10x(km)3 3
Trong 3 giờ 40 phỳt (=
11
3 giờ) xe mỏy thứ nhất đi được
11(x 3)(km)
3 −
10 11
x (x 3) x 33
3 = 3 − ⇔ =
(thoả món điều kiện bài toỏn).
Vậy vận tốc của xe mỏy thứ nhất là 33 km/h. Vận tốc của xe mỏy thứ hai là 30 km/h.
Quảng đường từ Hà Nội đến Thỏi Bỡnh là 110 km.
Vớ dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km . Cựng một lỳc xe mỏy đi từ A và ụ tụ đi từ B xe mỏy gặp ụ tụ tại C cỏch A 80 km. Nếu xe mỏy khởi hành sau 54 phỳt thỡ chỳng gặp nhau tại D cỏch A là 60 km. Tớnh vận tốc của ụ tụ và xe mỏy ?
Giải
Gọi vận tốc của ụ tụ là x (km/h), đk: x > 0. Gọi vận tốc của xe mỏylà y (km/h), đk: y > 0.
Thời gian xe mỏy đi để gặp ụ tụ là
80y (giờ) y (giờ)
Quảng đường ụ tụ đi là 100 km nờn thời gian ụ tụ đi là
100y (giờ) y (giờ) ta cú phương trỡnh 100 80 x = y (1)
Quảng đường xe mỏy đi là 60 km nờn thời gian xe mỏy đi là
60y (giờ) y (giờ)
Quảng đường ụ tụ đi lag 120 km nờn thời gian ụ tụ đi là
120y (giờ) y (giờ)
Vỡ ụ tụ đi trước xe mỏy 54 phỳt =
910nờn ta cú phương trỡnh 10nờn ta cú phương trỡnh 120 60 9(2) x − y =10 . Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh 100 80 100 80 0 x y x y 120 60 9 40 20 3 x y 10 x y 10 = − = ⇔ − = − = 100 80 0 60 12 x y x 10 x 50
(thoả mã n điều kiện) 100 80 160 80 12 0 y 40 x y x y 10 − = = = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Vớ dụ 3: Một ụ tụ đi trờn quảng đường dai 520 km. Khi đi được 240 km thỡ ụ tụ tăng vận tốc thờm 10 km/h nữa và đi hết quảng đường cũn lại. T ớnh vận tốc ban đầu của ụ tụ biết thời gian đi hết quảng đường là 8 giờ.
Giải:
Gọi vận tốc ban đầu của ụ tụ là x (km/h), đk: x>0. Vận tốc lỳc sau của ụ tụ là x+10 (km/h).
Thời gian ụ tụ đi hết quảng đường đầu là
240x (giờ) x (giờ)
Thời gian ụ tụ đi hết quảng đường đầu là
280
x 10+ (giờ)
Vỡ thời gian ụ tụ đi hết quảng đường là 8 giờ nờn ta cú phương trỡnh
2240 280 240 280 8 x 55x 300 0 x +x 10= ⇒ − − = + 2 2 b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 0 4225 65 ∆ = − = − − − = > ⇒ ∆ = =
Phương trỡnh cú hai nghiệm
+ − = = = = − 1 2 55 65 55 65 x 60(TMDK );x 5(loai) 2 2
Vậy vận tốc ban đầu của ụ tụ là 60 km/h.
Bài tập:
1. Một ụ tụ khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phỳt ụ tụ thứ hai cũng khởi hành từ A đi cựng hướng với ụ tụ thứ nhất với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thỡ ụ tụ gặp nhau, điểm gặp nhau cỏch A bao nhiờu km?
2. Một ca nụ xuụi dũng 50 km rồi ngược dũng 30 km. Biết thời gian đi xuụi dũng lõu hơn thời gian ngược dũng là 30 phỳt và vận tốc đi xuụi dũng lớn hơn vận tốc đi ngược dũng là 5 km/h.
Tớnh vận tốc lỳc đi xuụi dũng?
3. Hai ụ tụ cựng khởi hành cựng một lỳc từ A đến B cỏch nhau 150 km. Biết vận tốc ụ tụ thứ nhất lớn hơn vận tốc ụ tụ thứ hai là 10 km/h và ụ tụ thứ nhất đến B trước ụ tụ thứ hai là 30 phỳt. Tớnh võnl tốc của mỗi ụ tụ.
4. Một chiếc thuyền đi trờn dũng sụng dài 50 km. Tổng thời gian xuụi dũng và ngược dũng là 4 giờ 10 phỳt. Tớnh vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bố thả nổi phải mất 10 giờ mới xuụi hết dũng sụng.
5. Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 108 km. Cựng lỳc đú một ụ tụ khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tớnh vận tốc của mỗi xe?
6. Một ca nụ xuụi dũng từ A đến B cỏch nhau 100 km. Cựng lỳc đú một bố nứa trụi tự do từ A đến B. Ca nụ đến B thỡ quay lại A ngay, thời gian cả xuụi dũng và ngược dũng hết 15 giờ. Trờn đường ca nụ ngược về A thỡ gặp bố nứa tại một điểm cỏch A là 50 km. Tỡm vận tốc riờng của ca nụ và vận tốc của dũng nước?
1.
34 (giờ) 4 (giờ)
8
2. 20 km/h
3. Vận tốc của ụ tụ thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ụ tụ thứ hai là 50 km/h. 4. 25 km/h
5.
6. Vận tốc của ca nụ là 15 km/h. Vận tốc của dũng nước là 5 km/h.
Tiết 3:
Dạng 3: Toỏn làm chung cụng việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong cụng việc trong x giờ thỡ một ngày đội đú làm được
1x x
cụng việc.
- Xem toàn bộ cụng việc là 1
Vớ dụ 1:
Hai người thợ cựng làm một cụng việc trong 16 giờ thỡ xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thỡ chỉ hoàn thành được 25% cụng việc. Hỏi nếu làm riờng thỡ mỗi người hoàn thành cụng việc trong bao lõu?
Giải:
Ta cú 25% =
14. 4.
Gọi thời gian một mỡnh người thứ nhất hoàn thành cụng việc là x(x > 0; giờ) Gọi thời gian một mỡnh người thứ hai hoàn thành cụng việc là y(y > 0; giờ)
Trong một giờ người thứ nhất làm được
1
x cụng việc
Trong một giờ người thứ hai làm được
1
y cụng việc.
Hai người cựng làm thỡ xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai người cựng làm được
116 16 cụng việc. Ta cú phương trỡnh: 1 1 1(1) x y 16+ =
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thỡ 25%=
14 4 cụng việc. Ta cú phương trỡnh 3 6 1 x y 4+ = (2)
Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh 1 1 1 3 3 3 1 1 1 x y 16 x y 16 x y 16 3 6 1 3 6 1 3 1 x y 4 x y 4 y 16 + = + = + = ⇔ ⇔ + = + = =