Phép chia (divisors)
b<>0, chúng ta nói a chia hết cho b nếu a=mb với m bất kỳ. a,b,m là các số nguyên. Nếu a chia hết cho b, chúng ta ký hiệu b|a. Nếu b|a ta nói b là ước số của a.
Chúng ta xem xét một số tính chất sau đây: • Nếu a|1 thì a=±1
• nếu a|b và b|a thì a=±b
• b<>0=> b|0
• b|g và b|h thì b|(mg+nh) với m, n là các số nguyên tùy ý. Số nguyên tố (prime)
Một số nguyên p>1 là số nguyên tố khi các ước số của nó là±1và±p. Tính chất quan trọng:
Bất kỳ số nguyên a >1 có thể phân tích thành dạng duy nhất tích luỹ thừa của các số nguyên tố. a=p 1 α1p 2 α2…p t αt Trong đó, pilà các số nguyên tố vàαi>0. Ví dụ:91=7X13;11011=7X112X13; 3600=243252 Ước số chung lớn nhất (greatest common divisor): gcd(a, b)=max[k, sao cho k|a và k|a]
(xem thêm [12]) Giải thuật Euclid:
gcd(a, b)=gcd(b, a mod b)
Số nguyên tố cùng nhau (relatively prime) a, b gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd(a, b)=1
Phép toán Modulo
a=qn+r (0<=r<n, q=[n|a])
a, b là đồng dư modulo n nếu (a mod n)=(b mod n) (xem thêm [12])
Định lý Fermat và định lý Euler Định lý Fermat:
Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên dương không chia hết cho p, thì: ap-11 mod p
Định lý Euler:
Với mọi a và n nguyên tố cùng nhau, ta có: aφ(n)1 mod n
Trong đó, trường hợp đặc biệt nếu n là số nguyên tố:φ(n) =n− 1 Bài toán logarit rời rạc
Bài toán logarit rời rạc trong Zn:
Cho I =(n,α,β), trong đó n là số nguyên tố,α∈Znlà phần tử nguyên thủy vàβ∈Zn. Tìm một số nguyên a,0 ≤a≤n− 2, sao cho:
αa≡ β(modn)
Chúng ta có:a= logαβ