Nếu trên tia đối của tia BC ta dựng đoạn thẳng BE = AB , và trên tia đối của tia CB dựng đoạn thẳng CD = AC thì ta được đoạn thẳng DE = 2p .Hai tam giác ABE và ACD là tam giác cân nên: Eµ
= 1 1 2 µB = 2 β và µD = 1 2 Cµ = 2 γ
.Vậy là tam giác ADE hội đủ các điều kiện để dựng được. 2. Cách dựng : Dựng đoạn thẳng DE = 2 p , dựng gĩc µE =2 β và gĩc µD =2 γ
,hai cạnh EA và DA của hai gĩc E và D cắt nhau tại A . Dựng đường trung trực của AE và AD , cắt DE tại B và C cần dựng .
3. Chứng minh : Các tam giác ABE vàACD là tam giác cân vì B thuộc đường trung trực của AE(AB = BE ) và C thuộc đường trung trực của AD (AC = CD ).Từ đĩ ,
µ B =2Eµ =β và gĩc Cµ =2Dµ =γ .
Mặt khác , chu vi tam giác ABC = AB+AC+BC=BE+CD +BC = 2p. Vậy tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đề bài .
4. Biện luận : Bài tốn cĩ một nghiệm hình nếu β + γ
< 2v.
BÀI TẬP
Bài 1:Dựng tam giác ABC ,biết vị trí của ba điểm : Đỉnh A ,trung điểm M của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác .
Hướng dẫn :Trường hợp dựng hình như thế nầy là rất thuận lợi ,vì ngay từ đầu đã cĩ tam giác AGM làm cơsở để hồn tất hình cần dựng .
Bài 2:Dựng tam giác ABC ( µA
= 1v) ,biết đường cao AH và trung tuyến AM ứng với cạnh huyền.
Bài 3: Dựng một tam giác vuơng biết cạnh huyền và trung tuyến ứng với một cạnh gĩc vuơng.
Hướng dẫn :Chú ý rằng trong tam giác vuơng ,nếu biết cạnh huyền thì biết luơn trung tuyến ứng với nĩ,thành ra biết hai trung tuyến và trọng tâm của tam giác .
Baì 4: Dựng một tam giác biết một cạnh và hai trung tuyến xuất phát từ hai mút của cạnh đĩ .
Bài 5:Dựng tam giác ABC biết cạnh BC và trung tuyến AM,BN.
Hướng dẫn :Bài 4,5 biết hai trung tuyến tức là biết trọng tâm của tam giác .
Bài 6:Dựng một tam giác biết độ dài ca ûba trung tuyến .
Hướng dẫn :Kéo dài AD thêm một đoạn DI = GD =
1 3AD.
Chứng minh CI = BG .Vậy tam giác CIG là hồn tồn xác định,dựng được .Từ đĩ hồn tất hình cần dựng .
Bài 7: Dựng tam giác ABC biết giao điểm của ba đường cao với đường trịn ngoại tiếp là D,E,F.
Hướng dẫn : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong ,gọi H là trực tâm của tam giác ABC ,khi đĩ ,D,E,F là các điểm đối xứng của H qua BC, CA và AB .
⇒DA,BE, CF là ba đường phân giác của tam giác DEF cắt (O) tại A,B,C.Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
BaØi 8: Dựng hình thoi ABCD ,biết E là điểm trên AC ,M là một điểm trên BD, E cách giao điểm hai đường chéo là a ( cm ) và Q là điểm đối xứng của M qua cạnh AD .
Hướng dẫn : Giả sử hình thoi ABCD đã dựng xong ,tâm O của nĩ là giao điểm của:-Đường trịn đường kính ME (vì MOE=1v) -Đường trịn (E; a) ,(vì EO = a (cm) )
Các đường thẳng EO và MO là những đường thẳng chứa các đường chéo AC và BD.