Bài toán 1: Tìm mọi đa thức P x` a≠0 thỏa
xP x` @1a=`x@3aP x` a8xA (1) Giải
Trong (1) lần lượt thay
x =0[ P` a0 =0
x =1[ P` a1 =0 x =2[ P` a2 =0
Vậy x1=0, x2=1, x3=2 là nghiệm nên P(x) có dạng
x x` @1a`x@2aQ x` a=P x` a.
Với Q(x) là đa thức nào đó degQ x` a=degP x` a@3. Thay lại vào (1) ta có:
x xb @1`x@2a`x@3aq xx` @1a=`x@3ax x` @1ax@2cQ x` a8x
[ Q x` @1a=Q x` a8x[ Q(x) là hàm tuần hoàn và Q(x)=c (hằng số)
Vậy P x` a=c x` @1a`x@2a
Bài toán 2 (bài toán toán tổng quát): Cho a,b2R+ tìm tất cả các đa thức
P x` a2R@Ax thỏa mãn xP x` @aa=`x@baP x` a 8x2R (1) Giải
Khi a≠b, b=0 ta được P x` @aa=P x` a tức là P(x) là đa thức hằng.
Khi a≠0, b≠0, ta xét các trường hợp sau Nếu b
a
ffff26N thì x =b@a, x =b@2a,…, x =b@na đều là nghiệm của đa thức. Vậy
P(x) có vô số nghiệm nên P x` aa 0 . b
a
ffff2N thì P(x) có các nghiệm x=a, x=2a,…, x =`n@1aaA Do vậy
P x` a=`x@aa`x@2aa…bx@`n@1aacQ x` a.
Thay vào (1) ta được Q(x-a)=Q(x) với mọi x thuộc R. Do đó Q(x) = c = const. Vậy trong trường hợp này ta được
P x` a=c x` @aa`x@2aa…Bx@`n@1aaC với c2R.
Bài toán 3 : tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn x3+3x2+3x +2
b c
P x` @1a=bx3@3x2+3x@2cP x` a
Giải Ta có
( x3+3x2+3x +2 aP x` @1a=bx3+3x2@2cP x` a 8x2R (1)
^`x+2abx2+x +1cP x` @1a=`x@2abx2@1+1cP x` a8x2R (2) Thay x =@2 vào (2) ta được 0=@28P`@2a[ P`@2a=0.
Thay x =2 vào (2) yta được 28P` a1 =0[ P` a1 =0. Từ đó
Thay x =@1 vào (1) ta được 0=@9P`@1a[ P`@1a=0. Thay x =1 vào (1) ta được 9P` a0 =0[ P` a0 =0.
Từ các kết quả trên suy ra
P x` a=`x@1ax x` +1a`x +2aQ x` a 8x2R . (3) Trong đó Q(x) là một đa thức với hệ số thực của biến x. Dẫn tới
P x` @1a=`x@2a`x@1ax x` +1aq x` @1a 8x2R (4) Từ (2), (3) và (4) ta được x@2 ` a x@1 ` a x x` +1a`x +2abx2+x+1cQ x` @1a =`x@2a`x@1ax x` +1a`x+2abx2@x +1cQ x` a 8x2R
Suy ra bx2+x +1cQ x` @1a=bx2@x +1cQ x` a với mọi x khác 0;F 1;F 2. Do mỗi vế của đẳng thức trên là một đa thức của biến x nên
x2+x +1
b c
Q x` @1a=bx2@x +1cQ x` a8x2R (5) Từ đó, do bx2+x +1, x2@x+1c=1, suy ra
Q x` a=bx2+x +1cR x` a8x2R. (6) Trong đó R(x) là đ thức với hệ số thực của biến .
Dẫn tới Q x` @1a=bx2@x+1cR x` @1a8x2R (7) Từ (5),(6) và (7) ta được bx2+x +1cbx2@x +1cR x` @1a
=bx2@x+1cbx2+x+1cR x` a8x2R.
Từ đó, do bx2@x +1cbx2+x+1c≠0 8x2R, ta được R x` @1a=R x` a8x2R.suy ra
R(x) là đa thức hằng. từ đây và (6), (3) ta được
P x` a=c x` @1ax x` +1a`x+2abx2+x +1c 8x2R.trong đó c là một hằng số thực tùy ý.
Phép thử trực tiếp cho thấy các đa thức P(x) vừa tìm được thỏa mãn điều kiên bài toán.
Bài toán 4: tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn : x@3
` a2
P x` a=`x@4a2P x` +1a8x2R.(*) Giải
Giả sử P(x) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đặt P x` a=`x@4a2G x` a, với G(x) là đa thức. Suy ra P x` +1a=`x@3a2G x` +1a Thay vào (*) ta được
x@3 ` a2 x@4 ` a2 G x` a=`x@4a2`x@3a2G x` +1a. Suy ra G x` a=g x` +1a8x ≠3,4. Suy ra G x` aa c ( G(x) là hàm hằng).
Suy ra P x` a=c x` @4a2. Thử lại ta thấy P(x) tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán 5: Tìm tất cả các đa thức thỏa
P x` +1a=P x` a+2x+18x2R
.
(1)
Giải
Phương trình (1) tương đương với
P x` +1a@`x +1a2=P x` a@x2 (2) Xét đa thức Q(x) Q x` a=P x` a@x2. Phương trình (2) tương đương với
Q x` +1a=Q x` a 8x2R
Suy ra Q(x) là hàm hằng. Hay Q(x)=c (const) Vậy P x` a=x2+c ( với c const)
Bài toán 6 : Tìm hai đa thức P(x), Q(x) sao cho P x` a
Q x` a
ffffffffffffffff=1+x2 8x2R
Giải
Giả sử P(x), Q(x) là hai đa thức cần tìm, tức là ta có P x
` a
Q x` a
ffffffffffffffff=1+x2 (1).
Vì vế phải của (1) xác định với8x2R nghĩa là Q(x) phải là đa thức bậc chẵn( vì mị đa thức bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm ). Từ (1) suy ra x2+1 b c Q2` ax =P2` ax (2) Từ (2) suy ra degP(x)=1+degQ(x) (3)
Từ (3) và do Q(x) là đa thức bậc chẵn nên suy ra P(x) là đa thức bậc lẻ. Từ đó tồn tại x0
mà P x` a0 =0, do đó
P x` a Q x` a
ffffffffffffffff=0 Trong khi đó 1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww+wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwxwwwwwwwwwwwwwww02 ≥1. Vậy:
P x` a Q x` a
ffffffffffffffff≠qwwwwwwwwwwwww1wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww+wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwxwwwwwwwwwwwwww02 (4) Từ (4) và (1) suy ra mâu thuẫn. Vì thế không tồn tại hai đa thức P(x), Q(x) thỏa điều kiện đề bài.
Bài toán 7: Xác định đa thức bậc 4 dạng P x` a=x4+bx2+c b,c>0b c (1)
Sao cho phương trình P x` a=x2 không có nghiệm thực mà phương trình
P P xb ` ac=x4
(2) có nghiệm.
Giải
Để ý rằng P(x) > 0 và P(-x)=P(x) với mọi x thuộc R. Ta đặt Q(x)=P(P(x)) và Q(x) cũng có tính chất Q(x)=Q(-x) với mọi x thuộc R. Nên ta chỉ cần xét x ≥0.
Theo giả thiết thì phương trình P x` a=x2 vô nghiệm và vì
P x` a@x2=x4+`b@1ax2+c nên P x` a>x2 với mọi x thuộc R. Suy ra
P P xb ` ac>BP x` aC2>x4
Vậy phương trình (2) vô nghiệm. Từ đó suy ra không tồn tại đa thức dạng (1) thỏa mãn đề bài.
Bài toán 8: Tồn tại hay không đa thức f x` a2Z mà
f`2003a=2002 và f`2001a=1999 Giải
Giả sử f x` a=anxn +an@1xn@1+ …+a0, ai2Z,8i2P0,1,…,nQ khi đó ta có
f`2003a@f`2001a=anb2003n@2001nc+an@1b2003n@1@2001n@1c+ …+a1`2003@2001a chia hết cho 2.
Mặt khác f`2003a@f`2001a=2002@1999=3 không chia hết cho 2. Vậy không tồn tại đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài toán 6: Tìm đa thức P(x) thỏa
P x` a=2011 x@y ` a P x` +ya@`x+yaP x` @ya=4xy xb 2@y2c 1 ` a X ^ \ ^ Z 8x,y2R . Giải
Thay x bởi y trong phương trình (1) ta được
Pb2y+1c@b2y+1cP` a1 =4y yb +1cb2y+1c
^ Pb2y+1c=b2y+1cFP x` a+b2y@1c2G Suy ra P x` a=xb2011+x2c
hay P x` a=2011x+x3