Phương trình vi phân mô tả quan hệ vào ra:
- Phương trình mô tả hệ thống ở chế độ tĩnh (Chế độ cân bằng)
Chế độ tĩnh (chế độ cân bằng) của hệ thống TĐ (hay của một phần tử tự động) là chế độ làm việc của hệ, khi lượng vào và lượng ra tương ứng với nó không phải là hàm theo thời gian, nghĩa là ứng với một giá trị cố định nào đó của lượng vào, hệ thống sẽ thiết lập một giá trị cố định của lượng ra.
Sự phụ thuộc giữa lượng vào và lượng ra được biểu thị thông quan đặc tính tĩnh dưới dạng một đường cong hay phương trình tĩnh (dưới dạng biểu thức toán học) của hệ (hay của phân tử).
Đặc tính tĩnh của hệ thống (hay của phân tử) có thể có dạng khác nhau (hình 2.1). Phương trình tĩnh có dạng tổng quát: y =f(x). Trong trường hợp hệ thống tuyến tính, phương trình có dạng:
y
x
Khoa: Điện Lớp: DHTDHCK12Z
y = K.x (2.1) Trong đó: K- là hệ số khuếch đại (hệ số truyền) của hệ
Phương trình (2.1) ứng với đặc tính 1 trên hình 2.1
Hình 2.1. Đặc tính tĩnh của hệ thống (hay phần tử) TĐ
- Phương trình mô tả chế độ động.
Chế độ động là chế độ làm việc của hệ thống TĐ, khi các tín hiệu lượng vào và tương ứng với nó là lượng ra là các hàm biến đổi theo thời gian.
Như chúng ta đã biết hệ thống ĐKTĐ luôn chịu tác động của các tín hiệu bên ngoài biến đổi theo thời gian: tín hiệu nhiễu loạn f(t) luôn là các hàm biến đổi theo thời gian, tín hiệu vào x(t) trong trường hợp tổng quát cũng như thế. Vì vậy, hệ thống
luôn chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác, tức là luôn ở chế độ động, (chế độ quá độ). Đây là chế độ làm việc chủ yếu của hệ thống tự động.
Phương trình toán học thiết lập mối quan hệ giữa lượng vào và lượng ra của hệ thống ở chế độ động, được gọi là phương trình động học của hệ.
Trong trường hợp chung, phương trình động học là các phương trình vi phân hoặc tích phân, tức là có chứa các thành phần vi phân hoặc tích phân bậc khác nhau của lượng vào x(t) và lượng ra y(t). Bằng biến đổi toán học chúng ta có thể biến các phương trình có chứa các thành phần tích phân thành phương trình chỉ có chứa các thành phần vi phân. Như vậy xét về mặt tổng quát, phương trình động học của một hệ thống tự động có dạng sau 0 1 0 1 n m n n m m n m dy dy dx dx a a a b b b x dt + +L − dt + = dt + +L − dt + (2.1) Đây là phương trình vi phân tuyến tính bậc n, trong đó:
n - bậc vi phân cao nhất của lượng ra.
a1, b1 - các hệ số của phương trình vi phân, được xác định bởi các tham số vật lý của các phần tử trong hệ thống (thí dụ như điện cảm L của cuộn dây, điện dụng C của tụ điện, khối lượng m của vật thể, hệ số γ của lò xo, áp suất P của chất lỏng, số vòng dây W của cuộn dây..)
Nếu trong quá trình làm việc, các tham số vật lý trên không thay đổi, hoặc thay đổi nhưng không đáng kể thì có thể xem các hệ số a1, b1 = const, và hệ thống TĐ được mô tả bằng phương trình (2.1) là hệ thống ĐKTĐ tuyến tính có thông số không đổi (hệ tuyến tính dừng).
Ngược lại, nếu a1, b1 thay đổi, thì hệ thống ĐKTĐ tuyến tính có thông số biến thiên (hệ tuyến tính không dừng).
Chúng ta có thể nhận xét rằng, ở phương trình (2.1) các lượng vào và lượng ra là các hàm không thay đổi, tức là x(t) = const, y(t) = const, ứng với chế độ cân bằng của hệ, thì do các bậc vi phân đều bằng không, nên ta có phương trình mô tả chế độ tĩnh của hệ như phương trình (2.1). Điều đó có nghĩa là phương trình tĩnh (hay chế độ tĩnh) chỉ là trường hợp riêng của phương trình động (hay chế độ động).
Phương pháp chung để nhận được phương trình vi phân của hệ thống ĐKTĐ là phân chia hệ thống thành các phần tử riêng biệt và lập phương trình cho từng phần tử riêng biệt dựa trên các định luật vật lý xác định quá trình động học xẩy ra trong từng phần tử. Thí dụ các định luật vật lý đó có thể là định luật bảo toàn năng lượng, định luật bảo toàn vật chất, định luật thứ hai của Newtơn, định luật Ôm và Kiêchốp, các định luật trong kỹ thuật thuỷ, khí..Dựa vào sự liên kết giữa các phần tử trong sơ đồ khối và thay thế dần các biến số trung gian, cuối cùng chúng ta nhận được phương trình vi phân liên hệ giữa lượng vào và lượng ra, có dạng như phương trình (2.1).