Dựa trên “nguyên tắc tính vừa sức”, “nguyên tắc tính hệ thống và tính tuần tự”, trong dạy học Toán, khi muốn tạo môi trường hoạt động tư duy cho học sinh thì phải xây dựng hệ thống bài toán giải quyết từng phần, để học sinh tuần tự lĩnh hội và giải quyết các nhiệm vụ. Đứng trước một nhiệm vụ hay một tình huống, cụ thể là đứng trước một bài toán, học sinh phải thấy được từng bước hay từng nấc thang cần giải quyết. Nếu không thì giống như một người lạc vào một rừng rậm mênh mông không có phương hướng tìm lối ra.
Ví dụ 1: Chủ đề véc tơ
Bài toán 1. Cho tam giác ABC với AA’, BB’, CC’ là các đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi:
' ' ' 0
AA +BB +CC =
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán bằng cách giải quyết từng phần của bài toán như sau:
Gọi giao điểm của các đường phân giác là M. Khi đó ta có: Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì M cũng là trọng tâm của tam giác ABC, cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.
Như vậy tam giác ABC đều 2 tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Kết hợp với điều kiện của bài toán, nảy sinh vấn đề: 2 tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm AA'+BB'+CC'=0
Từ đó dẫn đến giải quyết bài toán sau:
Bài toán 1.1. Cho M là điểm bất kì trong tam giác ABC. Gọi giao điểm của
AM, BM, CM với các cạnh BC, CA, AB lần lượt là A’, B’, C’. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm AA'+BB'+CC'=0
Để chứng minh bài toán 1.1 có nhiều cách. Ở đây, xin nêu hướng dẫn học sinh theo hướng chứng minh 2 trọng tâm G và G’ trùng nhau GG'=0.
G, G’ là trọng tâm các tam giác nên gợi nhớ cho học sinh hệ thức: 0
GA GB GC+ + = và hệ thức tương tự đối với G’. Từ đó dẫn đến bài toán cơ bản trong SGK:
Bài toán 1.2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh:
0
GA GB GC+ + =
Lời giải bài toán này rất đơn giản, học sinh đã được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau.
Qua phân tích ở trên Để giải bài toán 1, chúng ta giải quyết từng phần như sau:
Bước 1: Chứng minh bài toán 1.2
Bước 2: Sử dụng kết quả bài toán 1.2 để chứng minh bài toán 1.1
0
GA GB GC+ + = GG'+G A' '+A A GG' + '+G B' '+B B GG' + '+G C' '+C C' =0 3GG'=0 G và G’ trùng nhau. 3GG'=0 G và G’ trùng nhau.
AA'+BB'+CC'=0 2 tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm M Giao điểm 3 đường trung tuyến cũng là giao điểm 3 đường phân giác Tam giác ABC là tam giác đều.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a; CA = b; AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: 2 2 2
. . .