Cho f là một hàm lồi chính thường trên X và C là một tập con lồi khác rỗng của X. Ta quan tâm đến bài toán quy hoạch lồi sau đây
P(C;f) :
(
f(x)→min, x∈C.
Một điểm x0 ∈ C được gọi là điểm cực tiểu của hàm f trên C, hay là một nghiệm của Bài toán P(C;f), nếu
C được gọi là tập chấp nhận được cònf là hàm mục tiêu của bài toán. KhiC =X, ta gọi đó là bài toán không có ràng buộc và viết một cách đơn giản là P(f). Kết quả sau là một mở rộng của Định lý Fermat trong giải tích cổ điển.
Mệnh đề 3.31. Một điểm x0 ∈ X là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi P(f) khi và chỉ khi 0∈∂f(x0).
Trong trường hợp tổng quát ta có kết quả sau Định lý 3.32. Cho x0 ∈C,
a) Nếu ∂f(x0)∩(−NC(x0))6=∅, thì x0 là nghiệm của Bài toán P(C;f).
b) Ngược lại nếu x0 là nghiệm của Bài toán P(C;f) và f liên tục tại một điểm
x∈C, thì ∂f(x0)∩(−NC(x0))6=∅.
Trường hợp C là một đa tạp affine song song với một không gian con V thì NC(x0) = V⊥ tại một điểm bất kỳ x0 ∈C. Vì vậy, ta có hệ quả sau
Hệ quả 3.13. Nếu C là một đa tạp affine song song với không gian con V trong
X và f liên tục tại một điểm x∈ C, thì một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán
P(C;f), khi và chỉ khi ∂f(x0)∩V⊥ 6=∅.
Đặc biệt nếu C là đa tạp affine có đối chiều hữu hạn được cho bởi
C ={x∈X | hx∗i, xi=αi; 1≤i≤m} 6=∅, (3.1) trong đó, x∗i ∈ X∗ và αi ∈ R, thì NC(x0) = span{x∗1, x∗2,· · · , x∗m}. Vì vậy, ta có hệ quả sau
Hệ quả 3.14. Giả sử C được cho bởi (3.1) và f liên tục tại một điểm x∈C. Lúc đó, một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán P(C;f) khi và chỉ khi tồn tại các số thực λi ∈R, 1≤i≤m, sao cho P