Bài 1.
a) Cho a là số nguyên sao cho (a, 7) = 1. Chứng minh rằng
a12 - 1 ⋮ 7.
b) a là số nguyên dương sao cho (a, 240) = 1. Chứng minh rằng
a4 - 1 ⋮ 240.
Bài 2. Cho a1 + a2 + ... + an ⋮ 30, và a1, a2, ..., an nguyên. Chứng minh rằng . 30 ... 5 5 2 5 1 a an⋮ a + + + Bài 3. Chứng minh rằng n7 - n⋮ 42 với mọi số nguyên n.
Bài 4. Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng a) 234n+1+3⋮ 11. b) 2210n+1 +19 ⋮ 23. c) 26 2 2 n+ ≡ 16 (mod 37).
Bài 5. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 17. Chứng minh rằng
P16 ≡ 1 (mod 16320).
Bài 6. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng 2(p-3)! ≡ -1 (mod p).
Bài 7. Cho n là hợp số, n ≠ 4. Chứng minh rằng (n - 1)! ≡ 0 (mod n).
Bài 8. Cho p và q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng
qp - 1 + pq - 1 ≡ 1 (mod pq).
Bài 9. Cho a, b là các số nguyên, p là số nguyên tố. Chứng minh rằng (a + b)p ≡ ap + bp (mod p).
Bài 10. Chứng minh rằng n và n + 2 là cặp số nguyên tố sinh ựôi khi và chỉ khi 4[(n - 1)! + 1] + n ≡ 0 (mod n(n + 2)).
Bài 11. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng số m = 8
1 9p −
là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và 3m - 1 ≡ 1 (mod m).
Bài 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p, tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn
Bài 13. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p) ( p mod 1 52 2 ≡
Bài 14. Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho 2a - 1, 2b - 1 và a + b ựều là các số nguyên tố. Chứng minh rằng aa + bb và ab + ba ựều không chia hết cho a + b.
Bài 15. Tìm số nguyên dương n sao cho n = a2 + b2 với a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho mọi số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n.
Bài 16. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng không tồn tại x, y nguyên thỏa mãn hệ thức
xp + yp = p[(p - 1)!]p.