1.1.2 .Xây dụng bài toán tối ƣu
1.2 CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU
1.2.3.2. Điều khiển Bang-Bang
Chúng ta hãy thảo luận bài tốn tối thiểu thời gian tuyến tính với đầu vào ràng buộc. Cho hệ thống:
x = Ax + Bu (1.88)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 J(t0) = t dt 0 1 (1.89)
Với T tự do. Giả sử hàm điều khiển phải thỏa mãn điều kiện sau:
1
u t t t T0, (1.90) Bài toán tối ƣu đặt ra là tìm tín hiệu điều khiển u(t) để cực tiểu hoá
J(t0), thỏa mãn điều kiện (1.90) với t, đi từ trạng thái x(t0) đến trạng thái
cuối cùng x(T) thỏa công thức (1.84) của hàm . Hàm Hamilton cho vấn đề này là:
1 ( )
T T
H L f AxBu (1.91)
điều kiện dừng đƣợc tìm thấy là: 0 = u H BT (1.92) Nó khơng chứa u bởi vì hàm Hamilton tuyến tính đối với u. Rõ ràng, để
H cực tiểu chúng ta nên chọn u(t) sao cho T
(t)Bu(t) càng nhỏ càng tốt ( có nghĩa là giá trị càng xa về phía bên trái trên trục tọa độ thực, T
Bu = - là giá trị nhỏ nhất ). Nếu khơng có sự ràng buộc nào trên u(t), thì điều này sẽ cho ra những giá trị vơ hạn ( dƣơng hoặc âm ) của những biến điều khiển. Với kết quả này, bài toán tối ƣu đặt ra phải có những điều kiện ràng buộc đối với tín hiệu điều khiển.
Theo nguyên lý cực tiểu Pontryagin (1.87), hàm điều khiển tối ƣu u*(t) phải thỏa mãn:
1 ( ) (T AxBu) 1 ( ) (T AxBu)
()TBu ()TBu (1.93)
đối với tất cả giá trị u(t) cho phép. Điều kiện này cho phép chúng ta biểu diễn u*(t) dƣới dạng biến trạng thái. Để thấy điều này, trƣớc tiên chúng ta thảo luận về trƣờng hợp một đầu vào.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
28
Đặt u(t) là một đại lƣợng vô hƣớng và đặt b tƣợng trƣng cho vector đầu vào. Trong trƣờng hợp này dễ dàng chọn u*(t) để tối thiểu T
(t) bu(t). ( Chú ý: giá trị nhỏ nhất nghĩa là T
(t)bu(t) nhận một giá trị càng gần - càng tốt ). Nếu T
(t)b là giá trị dƣơng, chúng ta nên chọn u(t) = -1 làm cho
T
(t)bu(t) có giá trị âm nhất. Mặt khác, nếu T
(t)b là giá trị âm, chúng ta nên chọn u(t) ở giá trị cực đại là giá trị 1 để giá trị T
(t)bu(t) càng âm càng tốt. Nếu giá trị T
(t)bu(t) bằng zero tại thời điểm t, khi đó u(t) có thể nhận bất cứ giá trị nào tại thời điểm này.
Quan hệ giữa điều khiển tối ƣu và biến trạng thái có thể biểu diễn bằng hàm sgn(w): 1 sgn 1,1 1 w 0 0 0 w w w (1.94)
Khi đó hàm điều khiển tối ƣu đƣợc cho bởi:
( ) sgn( T ( ))
u t b t (1.95) u* đƣợc biểu diễn dƣới dạng biến trạng thái, với hệ tuyến tính dạng tồn phƣơng.
Giá trị bT(t) đƣợc gọi là hàm chuyển đổi. Một hàm chuyển đổi mẫu và bộ điều khiển tối ƣu đƣợc diễn tả ở Hình 1.3. Khi hàm chuyển đổi này đổi dấu, bộ điều khiển chuyển từ cực trị này đến cực trị khác. Bộ điều khiển trong hình đƣợc chuyển đổi bốn lần. Điều khiển thời gian tối thiểu tuyến tính tối ƣu ln bão hịa khi nó chuyển đổi tại vị trí giữa các giá trị cực trị, cho nên đƣợc gọi là điều khiển Bang-bang.
Nếu bộ điều khiển là một vector có m phần tử, theo nguyên lý cực tiểu ta chọn các thành phần ui(t) bằng 1, nếu các thành phần biT(t) là giá trị âm, và bằng -1 nếu biT(t) là giá trị dƣơng, với bi là cột thứ i của B. Phƣơng pháp điều khiển này tạo thành một giá trị:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T T i i i t Bu t u t b t (1.96) càng nhỏ càng tốt với mọi tt0,T. Ta có thể viết: ( ) sgn( T ( )) u t B t (1.97) nếu chúng ta định nghĩa hàm sgn cho vector w nhƣ sau:
v = sgn(w) nếu vi = sgn(w) cho mỗi i (1.98) vi, wi là những thành phần của v và w.
Thành phần biT(t) của hàm chuyển đổi BT(t) có thể bằng zero trên một khoảng thời gian hữu hạn. Nếu điều đó xảy ra, thành phần ui(t) của bộ điều khiển tối ƣu không định nghĩa đƣợc bởi biểu thức (1.93). Đó gọi là điều kiện kỳ dị. Nếu điều đó khơng xảy ra, thì bộ điều khiển thời gian tối ƣu đƣợc gọi là bình thƣờng.
Nếu hệ thống là bất biến theo thời gian, ta sẽ có đƣợc quả đơn giản và bộ điều khiển thời gian tối ƣu là duy nhất.
Hình 1.3: Hàm chuyển đổi mẫu và bộ điều khiển tối ƣu.
Hệ thống bất biến theo thời gian trong biểu thức (1.88) có thể đạt đƣợc nếu chỉ có một ma trận
1
n n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 cấp n. Nếu bi là cột thứ i của BRn x n , khi đó hệ thống là bình thƣờng nếu: 1 n U b Ab A b (1.100) cấp n cho mỗi giá trị i = 1, 2, …, m ; mà khi thành lập cho mỗi giá trị riêng biệt u, uRm.
Giả sử hệ thống bình thƣờng và ta muốn dẫn x(t0) tiến đến trạng thái
cuối cố định x(T) với hàm điều khiển thỏa u(t) 1. Khi đó:
1. Nếu trạng thái cuối x(T) bằng zero, khi đó sẽ tồn tại bộ điều khiển thời gian tối thiểu nếu hệ thống khơng có cực với phần thực dƣơng.
2. Cho bất kỳ giá trị x(T) cố định, nếu tồn tại đáp án cho bài tốn tối ƣu thời gian thì nó là duy nhất.
3. Cuối cùng, nếu hệ thống có n cực thực và nếu tồn tại bộ điều khiển tối ƣu thời gian thì mỗi thành phần ui(t) của bộ điều khiển tối ƣu thời gian thay đổi n-1 lần.
1.2.4. Kết luận
Phƣơng pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange thuận lợi khi giải bài tốn tối ƣu mà phiếm hàm có dạng phi tuyến, cịn tín hiệu điều khiển là những hàm trơn mà ta có thể dự đốn trƣớc dựa trên bản chất vật lý của chúng. Phƣơng pháp này gặp nhiều khó khăn khi áp dụng cho các trƣờng hợp mà tín hiệu điều khiển có thể là hàm gián đoạn. Trên thực tế ta thƣờng gặp bài tốn tối ƣu mà tín hiệu điều khiển lại là hàm liên tục từng đoạn, cho nên phƣơng pháp biến phân cổ điển bị hạn chế khả năng sử dụng trong thực tế rất nhiều.
Đối với hệ thống gián đoạn tốt nhất ta nên áp dụng phƣơng pháp quy hoạch động của Belman. Đặc biệt với các bài toán tối ƣu phức tạp dùng máy tính số tác động nhanh giải quyết bằng phƣơng pháp này rất có hiệu quả. Tuy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
31
nhiên, do hàm mơ tả tín hiệu điều khiển tìm đƣợc theo bảng số liệu rời rạc nên biểu thức giải tích của tín hiệu điều khiển chỉ là gần đúng. Phƣơng pháp quy hoạch động còn gặp hạn chế khi áp dụng đối với hệ thống liên tục vì rất khó giải phƣơng trình Belman.
Ngun lý cực tiểu Pontryagin áp dụng tốt cho các bài tốn tối ƣu có điều kiện ràng buộc bất kể điều kiện ràng buộc cho theo hàm liên tục hoặc hàm gián đoạn. Nhƣng đối với bài tốn tối ƣu phi tuyến thì ngun lý cực tiểu
Pontryagin lại gặp khó khăn, đặc biệt trong việc xác định các hàm phụ i( )t
để cho hàm H đạt cực đại.