Phương pháp này được tiến hành theo các bước:
1) Nghiên cứu mối tương quan riêng biệt (cặp) giữa X1 và từng biến Xi để tìm ra qui luật phụ thuộc của chúng. Kết quả của bước này cho ta m−1 quan hệ hàm:
x1 = f2(x2) x1 = f3(x3) ...
x1 = fm(xm)
Ở đây fi(xi) là hồi qui II của x1 lên xi: m1(xi) ≈ fi(xi)
2) Xác lập qui tắc liên kết các fi(xi), (i=2..m), sao cho qui tắc đó có thể biểu diễn được sự phụ thuộc của X1 vào các Xi. Tức là cần tìm được một toán tử tác dụng L nào đó sao cho:
x1 = m1(x2,...,xm) ≈ f(x2,...,xm) trong đó f(x2,...,xm) = L{ f1(x1), f2(x2),..., fm(xm)}
Trong trường hợp L là toán tử tuyến tính ta có thể biểu diễn:
f(x2,...,xm) = αi i i i m f x( ) = ∑ 2 (5.6.1) 3) Xây dựng phương trình hồi qui x$1 =f x x( 2, 3,...,xm), tức là tìm các hệ
số hồi qui thực nghiệm, theo nguyên lý bình phương tối thiểu:
R = (xt f xt xt xtm) t n 1 2 3 2 1 − = ∑ ( , ,..., ⎯⎯→ min
183
phi tuyến thông qua việc đặt biến mới để đưa hàm phi tuyến f(x2,...,xm) về dạng tuyến tính. Người ta gọi cách làm này là tuyến tính bên trong nhưng phi tuyến bên ngoài.
Để dễ hình dung ta hãy lấy ví dụ sau làm minh hoạ. Giả sử cần xây dựng phương trình hồi qui giữa Y với X1 và X2:
Y = f(X1, X2)
Các bước cần tiến hành là:
1) Lập ma trận số liệu ban đầu {Yt, Xt1, Xt2, t=1..n} và xây dựng các quan hệ Y=f1(X1), Y = f2(X2) từ tập số liệu thực nghiệm. Có thể tiến hành bước này bằng phương pháp đồ thị kết hợp tính toán liên tiếp. Để đơn giản, ta giả thiết rằng các quan hệ này có dạng sau:
f1(x1) = a x12 + bx1 + c f2(x2) = αe−x2
2) Chọn qui tắc liên kết là tổ hợp tuyến tính: f(x1,x2) = A f1(x1) + B f2(x2)
Khi đó, khai triển ra ta được:
f(x1,x2) = Aa x12+ Abx1 + Ac + Bαe−x2
Hay f(x1,x2) = βo + β1x12 + β2x1 + β3e−x2
3) Xây dựng phương trình hồi qui: Đây là bước xác định các hệ sô βi
(i=0..3) trong phương trình trên đây. Muốn vậy, ta đặt biến mới: u = x12, v = x1 và w = e−x2
rồi đưa phương trình về dạng f(x1,x2) = g(u,v,w) = βo + β1u + β2v + β3w. Rõ ràng đây là một phương trình tuyến tính đối với u, v, w. Sử dụng các công thức đã trình bày trong các mục trước ta dễ dàng tìm được:
y = βo + β1x12 + β2x1 + β3e−x2 (5.6.2)