Các đ−ờng cong đơn vị tức thời (IUH)
Diễn toán đ−ờng cong đơn vị trong một thời gian hữu hạn có thể đ−ợc xây dựng nếu nh− thời gian m−a hiệu quả D xấp xỉ bằng không còn các đại l−ợng khác là hằng số. Dòng chảy đ−ợc tạo ra do l−ợng m−a lúc đó gọi là đ−ờng cong đơn vị tức thời. IUH là một hàm quan hệ giữa một l−u vực cụ thể với đơn vị l−ợng m−a hiệu quả thay đổi.
Hình 2.16. Đ−ờng cong dựa vào IUH
IUH đ−ợc coi rằng, một l−u vực có một hàm duy nhất phụ thuộc vào thời gian hoặc các điều kiện ban đầu. Hàm l−ợng ra Q(t), hoặc tổng l−ợng m−a. Nó sinh ra toàn bộ
l−ợng xuất l−u dựa vào toàn bộ l−ợng nhập l−u lúc đó i(τ). Nếu l−ợng nhập vào là khá đầy đủ về tổng l−ợng i(t)dt, sau đó thêm độ phân bố i(τ)u(t-τ)dτ để thành tỷ lệ l−ợng ra tại thời điểm t. Diễn toán tỷ lệ l−u l−ợng Q đến thời điểm t là:
Q(t) = ∫ i(τ)u(t-τ)dτ (2.30)
ở đây, i(τ) là l−ợng m−a hiẹu quả tại thời điểm τ (hình 2.16) và u(t-τ) là một hàm trọng l−ợng của c−ờng độ m−a xảy ra ở thời điểm (t- τ) tr−ớc đó. Tích phân đ−ợc coi nh− là tích phân tổng hợp, coi l−ợng thoát nh− là một hàm liên tục theo thời gian. Ph−ơng trình (2.3) là biểu diễn dạng của ph−ơng trình (2.30)
Sự không hợp lý của ph−ơng pháp này là về mặt toán học có thể thấy trong quan hệ đ−ờng cong S (phần 2.3). Xem xét dạng đ−ờng cong S với c−ờng độ dơn vị l−ợng m−a là một chuỗi số liệu vô tận trong toàn bộ thời gian τ các tung độ đ−ờng cong S trở thành ph−ơng trình 2.31.
S(t) = τ[ u(t) + u(t-τ) +u(t-2τ) +...] (2.31)
τ : cũng bằng độ sâu cho một đơn vị c−ờng độ. Khi τ tiến đến 0 trong giới hạn của IUH,
S(t) = ∫ u(t)dt (2.32)
Trong đó, đ−ờng cong S là tích phân của IUH, và IUH là đạo hàm bậc một của đ−ờng cong S . Độ dốc của đ−ờng cong S, dS/dt là tỷ lệ % tung độ của IUH.
IUH đã từng đ−ợc sử dụng rộng rãi mặc dù nó giống UH trong đó quan hệ m−a - dòng chảy có thể không tuyến tính và dựa vào các điều kiện ban đầu. Mô hình không tuyến tính cho đ−ờng quá trình đơn vị đã đ−ợc xây dựng trong tài liệu và đ−ợc Chow (1964) và Raudkivi (1979) mở rộng hơn.
Các mô hình tuyến tính
Nash (1958) đã nghiên cứu mô hình lý luận của một l−u vực nh− một thác n−ớc của n bể chứa trong hệ thống, với mỗi quan hệ tuyến tính kho chứa - l−u l−ợng S = KQ, K = thời gian trễ trung bình. Các phép biến đối của ph−ơng pháp này dựa vào n bể chứa, là tr−ờng hợp đặc biệt của ph−ơng pháp Muskingum (ch−ơng 4). Các ph−ơng trình liên tục đ−ợc kết hợp với quan hệ của các kho chứa nh− sau:
I – Q = dS/dt = K.dQ/dt (2.33)
hoặc
Q + K.dQ/dt = I . (2.34)
Việc sử dụng rộng rãi et/k để giải các ph−ơng trình khác nhau
d(Qet/K)/dt = I(et/K)/K hoặc (2.35)
Qet/K = 1/K.∫(Iet/K)dt + C1 (2.36)
Với một l−ợng nhập tức thơì của l−u l−ợng đơn vị trong bể chứa. Q = e-t/K[1/K∫et/Kδ(0)dt + C1 ]
= 1/K(e-t/K) , t>0 (2.37) ở đây tích phân là một biến đổi Laplace của hàm đối với tr−ờng hợp đơn giản của hàm tại t = 0.
L(δ(0)) = ∫δ(0)e-ptdt = eP0 = 1.
Tuy nhiên sự tác động của một bể tuyến tính với l−ợng nhập là một b−ớc nhảy đột ngột tại thời điểm mà l−ợng nhập giảm rất nhanh. Nếu bể này cho phép dòng chảy chảy vào bể thứ 2 , ở đây Q1 là l−ợng nhập, Q2 là l−ợng tháo, thì:
Q1 – Q2 = KdQ2/dt (2.38)
giải
Q2 = 1/K(t/K)e-t/K. (2.39)
Với n bể chứa
Qn = 1/KΓ(n)*(t/K)n-1e-t/K, (2.40) ở đây Γ(n) là hàm gama và ph−ơng trình 2.40 là hàm mật độ của phân bố gama đ−ợc trình bày ở ch−ơng 3. Gray (1962) cũng đã xây dựng đ−ờng cong đơn vị của ông với 2 tham số phân bố gama. Nash (1958) đã đ−a ra giả thiết mô hình này biểu diễn ph−ơng trình tổng quát của IUH.
Đ−ờng cong S từ mô hình của Nash có thể biến đổi thành 2.32 nh− sau:
S(t) = ∫u(t)dt = 1/K∫(t/K)n-1e-t/K/(n-1)! dt (2.41) là hàm phân bố gama Γ(t/K, n-1).
IUH có thể đ−ợc hiểu nh− là sự phân bố tần suất theo thời gian của các phần tử n−ớc tại l−u vực cửa ra. L−u vực đ−ợc cho với một c−ờng độ l−ợng m−a đồng nhất trên toàn l−u vực. Giá trị mong đợi hoặc thời gian trung bình là thời gian trễ của tâm của IUH và i(t) - đ−ờng quá trình l−ợng m−a nhập l−u:
E(t) = ∫u(t)dt = nK∫ (t/K)ne-t/K/n! dt , hoặc
E(t) = nK (2.42)
E(t) cũng là momen bậc một của IUH khoảng t = 0. Đại l−ợng Var(t) có thể đ−ợc biến đổi nh− sau:
Var(t) = E(t2)- [E(t)]2 = ∫u(t)t2dt – (nK)2
= K2n(n+1) – n2K2 = K2n. (2.43) Tuy nhiên các giá trị n và K trong mô hình Nash(1959) có thể đ−ợc tính từ ph−ơng pháp moment ở ch−ơng 3. n=(à’ 1Q - à’ 1i) )2 / (à2Q - à2i) (2.44) và K = (à2Q - à2i) / (à’ 1Q - à1i’) . (2.45) ở đây: à’ 1Q và à’
l−u. à2Q và à2i là momen trung tâm bậc 2 của quan hệ l−ợng nhập l−u và l−ợng xuất l−u. Nash đã phân tích các khu vực ở Anh quốc và đã tìm ra các quan hệ cho kết quả rất tốt: à’ i = 27.6(A/S)0.3 và à2/(à’ 1) = 0.41 / L0.1 (2.46) ở đây : A = diện tích(mi2), S = độ dốc (phần nghìn), L = độ dài kênh (mi),và à’
1 = nK,và à2 = nK2. Quan hệ thứ nhất có liên quan nhiều chiều tới (R) của 0.90, quan hệ thứ 2 có R= 0.45.
Năm 1959, Dooge đã cố gắng để tạo ra mô hình lý luận chung cho đ−ờng cong đơn vị. Từ một đ−ờng cong đơn vị với hệ tuyến tính ông đã đồng ý rằng chỉ có bể chứa tuyến tính và kênh tuyến tính là các thành phần của mô hình. Trong l−u vực thực tế có cả bể chứa, giá trị ban đầu, các thành phần biến đổi. Các ảnh h−ởng biến đổi đ−ợc xét cùng với kênh tuyến tính, còn các kho chứa đ−ợc xét cùng với các bể chứa tuyến tính (mô hình Nash). Do tính tuyến tính có tính chồng chất nên các kênh và các bể chứa có thể đ−ợc thay thế hoặc đ−ợc xem xét lại mà không chịu tác động của hệ thống. Hình dạng đ−ờng quá trình đã đ−ợc hình thành dựa vào các kênh tuyến tính còn lại không thay đổi, cho l−ợng nhập l−u I = f(t), l−ợng xuất l−u là Q = f(t-τ), Tuy nhiên mối quan hệ bể chứa tuyến tính thông qua kênh tuyến tính có dạng:
Q = (1/K)exp[-(t- τ)/K] , t > τ (2.47) Diskin(1964) đã đơn giản hoá mô hình của Dooge. Ông đã thiết lập quan hệ t−ơng ứng giữa l−u vực và 2 bể chứa bậc thang song song. Kulandaiswamy (Chow, 1964) đã tạo ra một hàm không tuyến tính sử dụng bể chứa không tuyến tính, dựa vào sự mở rộng của ph−ơng pháp Muskingum, Ông đã giả thiết:
S = Σ an(I.Q)dnQ/dtn + Σbm (Q.I)dmI/dtm (2.48) Quan hệ không tuyến tính có thể t−ơng ứng với l−u vực trong thực tế nh−ng nó cũng không đ−ợc sử dụng nhiều do nó rất khó thu thập, tính toán các hệ số cần thiết nh− trong ph−ơng trình 2.48.
2.7
Các ph−ơng pháp sóng động lực đối với dòng chảy tràn
Henderson và Wooding (1964-1965) dã phát triển học thuyết về dòng chảy tràn và đ−ờng quá trình dòng chảy. Các dòng chảy đ−ợc giả thiết rằng đều thoả mãn ph−ơng trình liên tục và ph−ơng trình chuyển động (đạo hàm toàn phần của khái niệm sóng động lực đ−ợc mô tả trong ch−ơng 4). Các ph−ơng trình liên tục và ph−ơng trình chuyển động làm giảm năng l−ợng sóng động lực trên mặt đất. Các ph−ơng trình đó có dạng nh− sau:
∂y/∂t + ∂Q/∂x = i – f =ie (2.49)
q = αym = (1.49/N)(√ S0) y5/3 , (2.50) ở đây:
y = y(x,t) = độ sâu dòng chảy tràn (ft)
q = q(x,t) = tỷ lệ dòng chảy tràn trên một đơn vị chiều rộng (ft2/s) ie = tỷ lệ l−ợng m−a hiệu quả (ft/s)
α = hệ số ảnh h−ởng, = (1.49/N)(√ S0) đ−ợc tính từ ph−ơng trình Manning
m = 5/3 lấy từ ph−ơng trình Manning N = hệ số nhám ảnh h−ởng
S0 = độ dốc trung bình dòng chảy mặt y0 = độ sâu dòng chảy mặt
Ph−ơng trình 2.50 là một dạng của ph−ơng trình Manning, đ−ợc áp dụng để tính toán dòng chảy tràn, sử dụng ph−ơng trình Manning với giá trị N của dòng chảy mặt (xem bảng 4.2). Ph−ơng pháp giải hai vấn đề cơ bản, điều kiện liên tục và ph−ơng trình l−u l−ợng đồng nhất (nh− của ph−ơng trình Manning) đối với ph−ơng trình liên tục. Các ph−ơng pháp giải các ph−ơng trình (2.49) và (2.50) dùng ph−ơng pháp đặc tr−ng đ−ợc mô tả chi tiết bởi Lighthill và Whitham (1955), Eagleson (1970), Overton và Meadow(1976),và Raukivi( 1979). áp dụng ph−ơng pháp sóng động lực đòi hỏi phải sử dụng ph−ơng pháp số bởi vì l−ợng m−a và các đặc tr−ng l−u vực không đồng nhất (ch−ơng 4).
Một số những hiểu biết về hình dạng sóng động lực có thể xem trong hình 2.17 của Wooding(1956). Nó cho biết l−u l−ợng của l−u vực dựa vào l−ợng m−a đồng nhất, ổn định và thấm ổn định. T’ là tỷ lệ thời gian m−a so với T tới thời gian tập trung tc. Cho T’ = 2, l−u l−ợng tăng lên cho đến khi t = tc .
ảnh h−ởng của l−ợng thấm ổn định f’ = f/i trên l−u l−ợng q’= qL /(αda) dựa vào l−ợng m−a ổn định với c−ờng độ m−a xác định (Wooding, 1965) và thời gian m−a bằng thời gian tập trung hoặc thời gian di chuyển lớn nhất trong l−u vực. L−ợng ra là một hằng số cho đến khi t = 2tc hoặc đến khi l−ợng m−a hiệu quả kết thúc. L−ợng xuất l−u giảm xuống d−ới đỉnh khi T’ = 0.5. trong thời gian m−a rơi các ảnh h−ởng tổn thất giảm dần l−u l−ợng xuất l−u lớn nhất t−ơng đ−ơng với tỷ lệ f/i. ở đây, f là tốc độ thấm còn i là c−ờng độ m−a rơi. Các ph−ơng trình miêu tả chi tiết đồ thị trong hình 2.17 có thể tìm thấy trong Eagleson (1970). Overton và Meadow(1976), và Raukivi (1979).
Ph−ơng pháp sóng động lực đ−ợc sử dụng để xây dựng đ−ờng quá trình dòng chảy mặt, nó có thể đ−ợc bổ sung nhằm tạo ra đ−ờng quá trình chung. Sau đó nó có thể đ−ợc mô phỏng giống đ−ờng quá trình của kênh hoặc dòng chảy.
Trong những năm gần đây, ph−ơng pháp sóng động lực đã từng cộng thêm một vài biến số mô hình tính trên máy tính, nh− mô hình HEC-1 của Trung tâm Thuỷ văn công trình Mỹ. Các khái niệm sử dụng một số các yếu tố nh− dòng chảy tràn, các kênh nhỏ hoặc các ống dẫn và các kênh chính để mô tả toàn bộ l−u vực. Các ph−ơng pháp số hiện (phần 4.6) đ−ợc sử dụng để giải các ph−ơng trình (2.49) và ( 2.50) đối với mỗi yếu tố và dòng chảy tràn trở thành hệ thống đầu vào. Hệ thống này cuối cùng tạo nên đ−ờng quá trình cho một kênh chính. Ch−ơng 4 đã trình bày một cách chi tiết các b−ớc biến đổi của ph−ơng pháp sóng động học, và ch−ơng 5 trình bày chi tiết các l−u vực nghiên cứu cụ thể.
Hình 2.17. a,b,và c
2.8