2.1. VÀNH NOETHER:Định nghĩa2.1.1 Định nghĩa2.1.1
Một tập hợp các tập con A của một tập A thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu không tồn tại một dây chuyền vô hạn tăng thực sự của các tập con của
A.
Một tập con B của A là phần tử tối đại của A nếu không tồn tại tập con trong A thực sự chứa B.
Mệnh đề 2.1.2 Cho A là một môdun, những điều kiện sau là tương đương: a. A có ACC trên các môdun con.
b. Mọi họ các môdun con của A đều có phần tử tối đại. c. Mọi môdun con của A đều hữu hạn sinh.
Chứng minh:
) )
a ⇒b : Giả sử A là một họ khác rỗng các môdun con của A mà không có phần tử tối đại.
Chọn A1 ∈ A. Vì A1 không là tối đại nên tồn tại A2 sao cho A2 ⊃ A1. Tiếp tục quá trình này chúng ta sẽ có một dây chuyền tăng thực sự A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂...các môdun con của A, điều này mâu thuẫn với điều kiện ACC.
) )
b ⇒c Lấy B là một môdun con của A, và B là một họ tất cả các môdun con hữu hạn sinh của B. Chú ý rằng B chứa 0 và vì thế khác rỗng. Do b) nên tồn tại một phần tử tối đại C của B.
Nếu C ≠Bchọn một phần tử x∈B C\ và lấy C’ là môdun con B sinh bởi C và x. Khi đó 'C ∈ B và C’⊃C, mâu thuẫn với tính tối đại của C. Do đó C=B, từ đó B hữu hạn sinh.
) )
Lấy B là hợp của các Bn. Do c) nên tồn tại một tập hữu hạn X các phần tử sinh của B.
Vì X là hữu hạn nên nó chứa trong Bn nào đó, từ đó Bn=B. Do đó Bm=Bn với mọi
m≥n, xây dựng điều kiện ACC với các môdun con của A.
Định nghĩa 2.1.3
Một môdun A là Noether nếu và chỉ nếu các điều kiện của mệnh đề 2.1.2 đươc thỏa mãn.
Một vành R là Noether phải ( trái) nếu và chỉ nếu RR môdun phải ( RR môdun trái) là Noether.
Ví dụ:
1) Vành số nguyên Z là vành Noether vì tất cả các idean của nó đều idean chính.
2) Vành đa thức k[x] xác định trên trường k là vành Noether. 3) Không gian vecto hữu hạn chiều trên trường k là vành Noether.
Mệnh đề 2.1.4
Cho B là một môdun con của môdun A. Khi đó A là vành Noether nếu và chỉ nếu B và A/B đều Noether.
Chứng minh:
Đầu tiên giả sử A là Noether. Vì bất kì dây chuyền tăng các môdun con của B cũng là một dây chuyền tăng các môdun con của A, do đó B là Noether.
Nếu C1 ⊆C2 ⊆…là một dây chuyền tăng các môdun con của A/B, mỗi Ci có dạng Ai/B với Ai là các môdun con của A mà chứa B, và A1⊆ A2 ⊆…
Vì A là Noether, nên tồn tại n để Ai=An với mọi i≥n, và khi đó Ci=Cn với mọi
Ngược lại, giả sử B và A/B là Noether. Lấy A1 ⊆ A2 ⊆…là một dây chuyền tăng các môdun con của A. Có các dây chuyền tăng các môdun con trong B và trong A/B: 1 2 1 2 ... ( ) / ( ) / ... A B A B A B B A B B ∩ ⊆ ∩ ⊆ + ⊆ + ⊆
Do đó tồn tại n sao cho Ai∩ =B An ∩B và (Ai +B) /B=(An +B) /B với mọi i≥n
, và từ đó Ai+B=An+B.
Vậy với mọi i≥n, chúng ta kết luận rằng:
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i n n i n n n
A = ∩A A +B = ∩A A +B = A + A ∩B = A + A ∩B = A
Như vậy A là Noether.
Hệ quả 2.1.5
Bất kì tổng trực tiếp của các môdun Noether là Noether.
Chứng minh:
Ta chỉ cần chứng minh tổng trực tiếp của 2 môdun Noether A1 và A2 là Noether. Môdun A= A1⊕A2 có môdun con B= A1⊕0sao cho B≅ A1 và A B/ ≅ A2. Do B và A/B đều Noether nên A cũng là Noether theo mệnh đề 2.1.4.
Hệ quả 2.1.6
Nếu R là vành Noether phải, tất cả các R-môdun phải hữu hạn sinh đều Noether.
Chứng minh:
Nếu A là R-môdun phải hữu hạn sinh thì A≅F K/ với F là một R-môdun phải hữu hạn sinh và môdun con K ⊆F.
Vì F đẳng cấu với tổng trực tiếp hữu hạn của các bản sao của môdun Noether RR, nên nó là Noether theo hệ quả 2.1.5. Do đó theo mệnh đề 2.1.4, A phải Noether.
Hệ quả 2.1.7.
Cho S là một vành con của vành R. Nếu S là Noether phải và R là hữu hạn sinh như một S-môdun phải thì R là Noether phải.
Chứng minh:
Theo hệ quả 2.1.6, R là Noether như một S-môdun phải. Vì tất cả các idean phải của R cũng là S-môdun phải, do đó điều kiện ACC trên các idean phải thỏa mãn, nên R là Noether phải.
Mệnh đề 2.1.8. Nếu R là một đại số môdun hữu hạn trên vành giao hoán S thì R là vành Noether.
Chứng minh:
Ảnh của S trong R là một vành con Noether S’ của tâm của R sao cho R là S’- môdun (phải hoặc trái) hữu hạn sinh . Từ đó theo hệ quả 2.1.5 ta có điều phải chứng minh.