Tuy nhiên, như ta thấy ngay sau đây, phân bố dừng theo thời gian của vị trí di động có thể vẫn thu được và mô phỏng dễ dàng theo dạng đóng. Gọi Prev(t) là vị trí điểm định hướng trước thời điểm t, Next(t) là điểm định hướng sau thời điểm t (hình 3.6).
Một dấu hiệu là nghịch lý Feller, phân bố dừng theo thời gian của Prev(t) và
Next(t) là không đều trong A, thậm chí kể cả khi tồn tại phân bố Palm. Thực vậy, ở một thời điểm bất kỳ, khả năng tìm thấy M(t) trong đoạn lớn nhiều hơn là một đoạn nhỏ, và khả năng các điểm định hướng trước và sau gần mép hơn gần tâm của A. Một lần nữa, công thức đảo lại cho ta phân bố của (Prev(t),M(t),Next(t)).
Định lý 3.5
Phân bố dừng theo thời gian của (Prev(t),M(t),Next(t)) có dạng đóng sau: 1. (Prev(t),M(t),Next(t)) có hàm mật độ cùng nhau trên AA đưa ra bởi:
với K2 là hằng số.
2. Phân bố của M(t) là đều trên đoạn [p,n] khi cho Prev(t) = p, Next(t) = n.
Chú ý rằng kết quả này là đúng cho bất kỳ miền A lồi và biên đóng. Như ta thấy sau này, không cần biết giá trị của K2 để dùng trong mô phỏng.
Mật độ xác suất của vị trí node
Từ định lý 3.5, ta có biểu thức về mật độ của phân bố dừng theo thời gian cho vị trí M(t), cũng như cho Prev(t)và Next(t).
Định lý 3.6
Mật độ xác suất của phân bố dừng theo thời gian của vị trí node M(t) là: fM(t)(M) = K2aM aM aM aM d
0
)
( (3.18)
với aM(θ) bằng khoảng cách từ điểm MA tới biên của A theo chiều tạo thành một góc θ với một chiều cố định bất kỳ và K2 được xác định từ định lý 4.5.