Hình 4. 25: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và vI cho trường hợp 11 với 0vI 0 5.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 V I C e ff C FFT C MTA CPA0 bound HSU bound HSL 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 VI C e ff C FFT C MTA CPA0 bound HSU bound HSL
Hình 4. 26: Biểu đồ quan hệ giữa Ceffvà vI cho trường hợp 11 với vI 0 7.
Bảng 4.12: Xấp xỉ phân cực, xấp xỉ Mori-Tanaka, mô phỏng FFT đối với vật liệu ba pha có cấu trúc hình học tuần hoàn với các thông số CM =1, C1= 5,
C2=2. Pha cốt liệu hình ellipse với tỉ lệ các bán trục là a22a1
I
v v1 v2 HSL CMTA CPA0 CFFT HSU
0.0192 0.0079 0.0113 1.018231 1.018325 1.018326 1.0188 1.028783 0.0766 0.0314 0.0452 1.074689 1.07505 1.075066 1.0761 1.116315 0.1725 0.0707 0.1018 1.176436 1.177196 1.177286 1.1786 1.268432 0.3067 0.1257 0.181 1.336813 1.337979 1.338308 1.3409 1.49447 0.479 0.1963 0.2827 1.580978 1.582248 1.583224 1.5951 1.809714 0.6899 0.2827 0.4072 1.959455 1.959658 1.962312 2.0204 2.239831 0.9008 0.3691 0.5317 2.468008 2.464439 2.470628 2.727947 0.939 0.3848 0.5542 2.579525 2.574774 2.581932 2.823618 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 V I C e ff CFFT CMTA C PA0 bound HSU bound HSL
Hình 4. 27: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và vI cho trường hợp 12
Hình 4. 28: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và vI cho trường hợp 12 với 0 56. vI 0 6.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 V I C e ff C FFT C MTA CPA0 bound HSU bound HSL 0.56 0.565 0.57 0.575 0.58 0.585 0.59 0.595 0.6 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.8 V I C e ff CFFT C MTA C PA0 bound HSU bound HSL
Hình 4. 29: Biểu đồ quan hệ giữa Ceff và vI cho trường hợp 12 với vI 0 8.
4.3. SO SÁNH VÀ KẾT LUẬN CHƯƠNG 4
Từ các bảng tính và hình vẽ trong mục 4.1 và mục 4.2 chúng ta có thể nhận thấy:
Trong trường hợp vật liệu hai pha trong không gian hai chiều, hai phương pháp xấp xỉ cho ra kết quả là trùng nhau. Các hình vẽ từ 4.2 đến 4.5 cho thấy phương pháp xấp xỉ và phương pháp mô phỏng FFT đều cho kết quả nằm trong giới hạn Hashin-Strickman. Phương pháp xấp xỉ cho kết quả sát đường bao Hashin- Strickman. Phương pháp số FFT được tính với thể tích cốt liệu vI giới hạn do giả thiết các cốt liệu không chồng lấn. Bảng 4.4 và hình vẽ 4.5 là kết quả tính toán cho trường hợp hệ số dẫn của pha nền cao hơn hệ số dẫn cốt liệu. Từ hình 4.5 ta có thể nhận thấy, hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổng hợp giảm khi thể tích cốt liệu tăng lên. Do đó trong thực tế ta có thể tùy chọn vào yêu cầu vật liệu tổ hợp để chọn các loại cốt liệu cũng như vật liệu nền có hệ số dẫn phù hợp. Ví dụ như muốn giảm hệ số dẫn của vật liệu tổ hợp chúng ta có thể chọn vật liệu nền có hệ số dẫn cao hơn hệ số dẫn của cốt liệu, ngược lại nếu muốn tạo ra vật liệu với hệ số dẫn cao thì trong thực tế thường chọn cốt liệu có hệ số dẫn lớn hơn vật liệu nền. 0.8 0.805 0.81 0.815 0.82 0.825 0.83 0.835 0.84 0.845 0.85 2.22 2.24 2.26 2.28 2.3 2.32 2.34 2.36 V I C e ff CFFT C MTA C PA0 bound HSU bound HSL
Trong trường hợp xét đối với vật liệu ba pha trong không gian hai chiều, khi thay đổi các tỉ lệ thể tích giữa các cốt liệu hay thay đổi về tỉ lệ các cạnh của cốt liệu, nhìn chung với mỗi trường hợp vật liệu có hệ số dẫn khác nhau thì hai phương pháp xấp xỉ Mori-Tanaka, phương pháp xấp xỉ phân cực và phương pháp mô phỏng FFT cho ra các kết quả khác nhau, tuy nhiên chúng hầu hết đều nằm trong đường bao HS. Vì tỉ lệ thể tích các hạt cốt liệu là nhỏ nên kết quả tính giữa hai phương pháp xấp xỉ mặc dù khác nhau nhưng khác nhau không nhiều, thể hiện ở các biểu đồ hình 4.8, hình 4.11, hình 4.14, hình 4.17, hình 4.20, hình 4.23, hình 4.26, hình 4.28. Tương tự như trong trường hợp vật liệu hai thành phần, phương pháp mô phỏng FFT chỉ cho kết quả tính toán trong bảng và trong hình vẽ đồ thị chỉ đến một trị số vI nhất định thể hiện trong các biểu đồ hình 4.7, hình 4.10, hình 4.16, hình 4.19, hình 4.22, hình 4.25. Trong trường hợp 12, nhìn vào biểu đồ hình 4.29 ta có thể nhận thấy hệ số dẫn tính được theo phương pháp xấp xỉ Mori- Tanaka nằm ngoài đường bao dưới Hashin-Strickman khi tỉ lệ cốt liệu lớn hơn 0.8. Điều này có thể cho thấy trong một số trường hợp cụ thể thì việc xác định hệ số dẫn theo phương pháp xấp xỉ Mori-Tanaka có khả năng vi phạm đường bao HS nếu chúng ta tăng tỉ lệ thể tích cốt liệu.
KẾT LUẬN
Trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống hiện nay, thường sử dụng rất nhiều vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (vật liệu composite). Do đó, đồng nhất hóa các vật liệu không đồng nhất là nhiệm vụ cần thiết để xác định các tính chất vĩ mô của vật liệu nhằm ứng dụng vật liệu đó phù hợp trong thực tế. Vì vậy việc đơn giản hóa quá trình tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng cách đưa các mô hình phức tạp về các mô hình đơn giản hơn là rất quan trọng. Việc tính toán bằng các phương pháp xấp xỉ vẫn là những cách tiếp cận tốt để xác định các hệ số dẫn của vật liệu không đồng nhất nhiều thành phần, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian cũng như tính chính xác với bài toán có quy mô lớn thì việc sử dụng các phương pháp số như phương pháp mô phỏng FFT là cần thiết. Luận văn đã đưa ra một số phương pháp xấp xỉ và sử dụng phương pháp mô phỏng FFT để tính toán so sánh cho một số trường hợp vật liệu nhiều pha trong không gian hai chiều. Những kết quả này có thể được sử dụng trong thực tế để xác định hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu composite. Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài là mở rộng cho bài toán vật liệu nhiều pha trong không gian 3 chiều.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Thị Hải Duyên, Phạm Đức Chính (2017), “Xấp xỉ phân cực và xấp xỉ Mori-Tanaka tính hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần trong không gian hai chiều” Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội, 8-9/12/2017 (Đã gửi báo cáo).
[2] Phạm Đức Chính (1995), Đánh giá các tính chất cơ lý vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều pha, Luận án Phó tiến sĩ khoa học toán lý, Hà Nội.
[3] Phạm Đức Chính (1996), Đánh giá các tính chất cơ lý của vật liệu tổ hợp đẳng hướng và đa tinh thể, Luận án Tiến sĩ khoa học toán lý, Hà Nội.
Tiếng Anh
[4] AB Tran and DC Pham, (2015) "Polarization approximations for the macroscopic elastic constants of transversely isotropic multicomponent unidirectional fiber composites", Compos. Mater.
[5] A.B. Tran, J. Yvonnet, Q. C. He, C. Toulemonde, J. Sanahuja (2013), "A four-scale homogenization analysis of creep of a nuclear containment structure", Nuclear Engineering and Design, 265, pp.712–726.
[6] Batchelor, G.K. and Green, J.T. (1972), "The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field", J. Fluid Mech.56, 375.
[7] Bonnet G. (2007). Effective properties of elastic periodic composite media with fibers. J. Mech. Phys. Solids, 881-899.
[8] Brenner R. (2009). Numerical computation of the response of piezoelectric composites using Fourier transform. Phys. Rev. B, p. 184106.
[9] Brown W (1955). Solid mixture permitivities. J. Comput. Math, 23, 1514-1517.
[10] B.V.Tran, D.C.Pham and T.H.G.Nguyen (2015), "Equivalent- inclusion approach and effective medium approximations for elastic moduli of compound inclusion composites", Archive of Applied Mechanics. Volume 85. Issue 12. pp 1983–1995
[11] Carne, T.G. (1976), "Load absorption and interaction of two adjacent filaments in a fiber-reinfoced materials" J. Elasticity 6, pp.1.
[12] Chen, H.S. and Acrivos, A. (1978), "The effective elastic moduli of composite materials containing spherical inclusions at non-dilute concentrations"
Int. J. Solids Structures, 14, pp.349.
[13] D.C. Pham, Nguyen (2015) “Polarization approximations for macroscopic conductivity of isotropic multicomponent materials”, International Journal of Engineering Science 97 (2015) 26–39
[14] Eshelby. J. D (1957). The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems. Proc. Roy. Soc. London A, 241, 376- 386.
[15] Eshelby. J. D (1959). The elastic field outside an ellipsoidal inclusion.
Proc. Roy. Soc. London A, 252, 561-569.
[16] Francfort, G.A. and Murat, F. (1986), "Homogenization and optimal bounds in linear elasticity", Arch. Rational Mech. Anal., 94, pp.307-334.
[17] Hale, D.K. (1976), "The physical properties of composite materials"
J. Mater. Sci., 11, pp.2105-2141.
[18] Hashin Z. and Shtrikman S. (1963), A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. J. Mech. Phys. Solids
11,127-140.
[19] Hashin Z. and Shtrikman S. (1963), Conductivity of polycrystals.
Phys. Rev 11, 129-133.
[20] Hill R. (1952), The elastic behaviour of a crystalline aggregate. Pro. Phys. Soc A65, 349–354.
[21] Kroner E. Statistical Continuum Mechanics. Springer-Verlag, Wien, 1972.
[22] Le,K.C, & Pham,D.C. (1991). On bounding the effective conductivity of isotropic composite materials. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, 42, 614–622.
[23] Maxwell, J.C. (1892), A treatise on electricity and magnetism. V.1 Clavendon Press, Oxford, p.440.
[24] Michel J, Moulinec H, Suquet P. (1999). Effective properties of compositematerials with periodic microstructure: a computational approach.
[25] Milton G.W. The theory of composites. Cambridge University Press, 2002.
[26] Monchiet V, Bonnet G. (2013). A polarization-based fast numerical method for computing the effective conductivity of composites. International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, Emerald, 23 (7), 1256- 1271.
[27] Mori, T. and Tanaka, K. (1973), "Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions", Acta Metall., 21, pp.571- 574.
[28] Moulinec H, Suquet P. (1994). A fast numerical method for computing the linear and nonlinear properties of composites. CR. Acad. Sc. Paris II 318, 1417–1423.
[29] Pham D.C. (1996), Conductivity of disordered polycrystals. J. Appl. Phys 80, 2253–2259.
[30] Pham D.C. (2012), Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals. International Journal of Solids and Structures 49, 2646-2659.
[31] Pham Duc Chinh (2013), Essential Solid Machanics, Institute of Mechanics, VAST, Hanoi
[32] Rayleigh, L. (1892), "On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium", Philos. Mag., 34, pp.481.
[33] Reuss A. (1929), Berechnung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle. ZAMM 9, 49–58.
[34] Voigt W. (1928), Lehrbuch der Krystallphysik. Teuber, Leipzig.