Chương 2 : Mô hình làm trơn hàm mũ Holt-Winters
2. Làm trơn hàm mũ (Exponential smoothing)
2.1. Làm trơn hàm mũ dạng đơn giản (single exponential smoothing) smoothing)
Làm trơn hàm mũ dạng đơn giản được sử dụng cho các dự báo ngắn hạn, thường chỉ dự báo một tháng trong tương lai. Mô hình này giả sử rằng dữ liệu dao động xung quanh một giá trị trung bình ổn định chấp nhận được
(không có xu thế tăng hoặc giảm). Nghĩa là đối với chuỗi không thay đổi hoặc thay đổi rất chậm theo thời gian thì có thể áp dụng phương pháp này.
Công thức của phương pháp làm trơn hàm mũ dạng đơn giản:
1 1 (1 ) t t t y y y 0 1 (2.1)
hay viết cách khác: yt yt1(yt1yt1), trong đó:
t
y : giá trị dự báo tại chu kỳ t
1
t
y : giá trị thực tế thu thập được tại chu kỳ trước đó
1
t
y : giá trị dự báo tại chu kỳ trước đó : hằng số làm trơn
Khi ứng dụng đệ quy cho mỗi quan sát trong chuỗi, mỗi giá trị mới được làm trơn (khi dự báo) được tính toán bằng trọng số trung bình nhân với quan sát hiện tại cộng với trọng số 1 nhân với quan sát đã được làm trơn trước đó; quan sát được làm trơn trước đã được tính toán lần lượt từ giá trị quan sát trước và giá trị được làm trơn trước của quan sát trước đó, v.v …
Vì vậy, theo kết quả, mỗi giá trị được làm trơn sẽ có trọng số trung bình của quan sát trước đó, nơi mà các trọng số giảm dần theo hàm mũ phụ thuộc vào giá trị của tham số . Nếu 1 (một) thì quan sát trước đó được hoàn toàn bỏ qua; nếu 0 (không), khi đó quan sát hiện tại được bỏ qua hoàn toàn; và giá trị được làm trơn hoàn toàn bao gồm các giá trị được làm trơn trước đó (được lần lượt tính toán từ các giá trị được làm trơn trước …, và cứ như vậy; tất cả các giá trị được làm trơn sẽ bằng giá trị ban đầu S0). Giá trị khởi tạo ban đầu của St có vai trò quan trọng trong tính toán cho tất cả các giá trị sau đó. Đặt S0 y1 là một phương án chọn giá trị khởi tạo. Một phương án khác có thể lấy trung bình của 4 hoặc 5 giá trị quan sát đầu tiên. Với giá trị nhỏ, việc chọn giá trị khởi tạo ban đầu cho St là rất quan trọng.
2.2. Làm trơn hàm mũ bậc hai (double exponential smoothing)
Phương pháp này được sử dụng khi dữ liệu có tính xu thế. Làm trơn hàm mũ với xu thế phức tạp hơn so với làm trơn hàm mũ đơn giản với hai thành phần phải được cập nhật lại tại mỗi mức chu kỳ và mức xu thế. Tại mỗi mức này, giá trị ước lượng được làm trơn cho dữ liệu ở cuối mỗi kỳ. Thành phần xu thế được làm trơn bằng ước lượng của mức tăng trung bình tại cuối mỗi kỳ. Công thức cho làm trơn hàm mũ bậc hai như sau:
) )( 1 ( 1 1 t t t t y S b S 0 1 (2.2) 1 1) (1 ) ( t t t t S S b b 0 1 (2.3) t t n t S nb y (2.4) trong đó: n t
y : giá trị dự báo bước tiếp theo bắt đầu từ chu kỳ t, n1,2,...
t
y : giá trị thực tế thu thập được tại chu kỳ t
t
S : giá trị dự báo cơ sở tại chu kỳ t
t
b : giá trị dự báo xu thế tại chu kỳ t , : hằng số làm trơn
Chú ý rằng giá trị hiện tại của chuỗi được sử dụng để tính toán giá trị được làm trơn này được thay thế trong lúc làm trơn hàm mũ bậc 2.
Giá trị khởi tạo: có nhiều cách để chọn giá trị khởi tạo cho St và bt:
1
S được đặt bằng y1
Có 3 cách được khuyến nghị lựa chọn giá trị khởi tạo cho b1:
1 2 1 y y b 3 / )] ( ) ( ) [( 2 1 3 2 4 3 1 y y y y y y b ) 1 /( ) ( y y n b
2.3. Làm trơn hàm mũ bậc ba (triple exponential smoothing) smoothing)
Phương pháp này được sử dụng khi trong dữ liệu có tính xu thế và tính mùa vụ. Để theo dõi được tính mùa vụ, ta cần phải đưa thêm vào phương trình thứ ba. Sau đây chúng ta giới thiệu phương trình thứ ba để theo dõi tính mùa vụ. Kết quả của hệ các phương trình này được gọi là phương pháp làm trơn Holt-Winters (HW). Có hai mô hình Holt-Winters hay được áp dụng tuỳ theo đặc trưng tăng trưởng của mùa vụ (Chương 2, mục 1.1) đó là:
- Mô hình mùa vụ nhân (Multiplicative Seasonal Model) - Mô hình mùa vụ cộng (Additive Seasonal Model)