4 Thực nghiệm và đánh giá
2.5 Bao đóng có thể chấp nhận trong mô hình tranh cãi
Ngữ nghĩa (tin cậy) của một mô hình tranh cãi được định nghĩa bởi khái niệm của phần mở rộng ưu tiên (preferred extension).
Định nghĩa 2.1.4. [25] Một phần mở rộng ưu tiên của một mô hình tranh cãi AF là tập bao đóng có thể chấp nhận lớn nhất (đối với bao hàm tập) của AF.
Ví dụ 2.1.2. (tiếp tục Ví dụ 2.1.1) Ta có thể dễ dàng thấy rằng AF có chính xác một phần mở rộng ưu tiên E “ ta1, a2, a3, c, d2u.
Ví dụ 2.1.3. (Nixon diamond). Sự nổi tiếng của ví dụ Nixon diamond có thể biểu diễn như một mô hình tranh cãi AF “ xAR, attcksy với AR “ tA, Bu, và attacks “
tpA, Bq,pB, Aqu với A biểu diễn cho lập luận “Nixon là một người chống lại chủ nghĩa hòa bình vì ông là người của Đảng Cộng hòa”. Và B biểu diễn cho lập luận “Nixon là một người hòa bình vì ông là người theo giáo phái Quaker”. Mô hình tranh cãi có hai phần mở rộng ưu tiên, một là Nixon là một người hòa bình và Nixon là người theo giáo phái Quaker.
Bổ đề 2.1.4. (Bổ đề cơ bản) Cho S là một tập bao đóng có thể chấp nhận của các lập luận, lập luận A và A1 có thể chấp nhận bởi S thì:
(i) S1 “SY tAu là bao đóng có thể chấp nhận, và
(ii) A1 là có thể chấp nhận bởi S1.
Chứng minh. (i) chúng ta cần chỉ ra rằngS1 là duy nhất không chứa xung đột. Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại một lập luận B P S sao cho A tấn công B hoặc B tấn công A. Từ khả năng chấp nhận của S và có thể chấp nhận của A, có một lâp luận B1 trong S sao cho B1 tấn công B hoặc B1 tấn công A. Vì S là không chứa xung đột, suy ra B1 tấn công A, Do đó có một lập luận B2 trong S sao cho B2 tấn công B1. Mâu thuẫn!
(ii) Hiển nhiên.
Những định lý dưới đây được rút ra trực tiếp từ bổ đề cơ bản. Định lý 2.1.5. Cho AF là một mô hình tranh cãi
(i) Tập của tất cả tập bao đóng có thể chấp nhận được của AF tạo thành một thứ tự ưu tiên đầy đủ đối với bao hàm tập.
(ii) Đối với mỗi tập bao đóng có thể chấp nhận được S của AF, sẽ tồn tại một phần mở rộng ưu tiên E của AF sao cho S ĎE.
Định lý 2.1.5 chỉ ra một thực tế là tập rỗng luôn là một bao đóng có thể chấp nhận. Chúng ta có hệ quả tất yếu sau đây:
Hệ quả 2.1.6. Mỗi một mô hình tranh cãi có ít nhất một phần mở rộng ưu tiên.
Do đó, ngữ nghĩa mở rộng ưu tiên luôn được xác định cho mọi mô hình tranh cãi. Định nghĩa 2.1.5. [25] Một tập lập luận không chứa xung đột S được gọi là phần mở rộng ổn định khi và chỉ khi S tấn công mỗi lập luận không thuộc về S.
p@A PArgqrA R S ñ pDB P SqpattackspB, Aqs Bổ đề 2.1.7. S là phần mở rộng ổn định khi và chỉ khi:
S “ tA|A không bị tấn công bởi Su
Mối quan hệ giữa phần mở rộng ổn định và phần mở rộng ưu tiên được làm rõ trong bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.8. Mỗi phần mở rộng ổn định là một phần mở rộng ưu tiên, nhưng không phải là ngược lại.
Chứng minh. Rõ ràng mỗi phần mở rộng ổn định là một phần mở rộng ưu tiên, ta chỉ ra rằng điều ngược lại là không đúng. Thật vậy, chúng ta xây dựng mô hình tranh cãi sau: Cho AF “ xAR, attcksy với AR “ tAu và attacks “ tpA, Aqu. Rõ ràng rằng tập rỗng là một phần mở rộng ưu tiên của AF và nó không ổn định.
2.1.2 Ngữ nghĩa cố định và ngữ nghĩa cơ sở (hoài nghi)
Lập luận có thể đặc trưng bởi lý thuyết điểm cố định cung cấp cách để giới thiệu ngữ nghĩa cơ sở (hoài nghi)
Định nghĩa 2.1.6. [25] Hàm đặc trưng, ký hiệu là FAF của mô hình tranh cãi AF “ xAR, attcksy được xác định như sau:
FAF “ 2AR Ñ2AR
FAFpSq “ tA|A có thể chấp nhận bởi Su
Nhận xét. Chúng ta sẽ viết F thay thế cho FAF cho ngắn.
Bổ đề 2.1.9. Một tập tranh cãi không xung đột S là bao đóng có thể chấp nhận khi và chỉ khi S ĎFpSq.
Chứng minh. Nếu S là không xung đột thì FpSq cũng không xung đột. Vì vậy, chúng ta chỉ cần chứng minh thuộc tính này. Giả sử rằng có A và A1 trong FpSq sao cho A tấn công A1. Vì vậy sẽ tồn tại B trong S sao cho B tấn công A, có B1 ở trong S sao cho B1 tấn công B, điều này mâu thuẫn. Vậy FpSq là không xung đột.
Dễ dàng để thấy rằng, nếu một lập luận A được chấp nhận bởiS, thì A cũng được chấp nhận bởi mọi tập cha của S. Do đó ta có:
Bổ đề 2.1.10. FAF là đơn điệu (bởi phép bao hàm tập).
Ngữ nghĩa hoài nghi của mô hình tranh cãi được xác định bởi khái niệm của phần mở rộng cơ sở như sau:
Định nghĩa 2.1.7. [25] Phần mở rộng cơ sở của một mô hình tranh cãiAF, ký hiệu là GEAF, là điểm cố định nhỏ nhất của FAF. Ví dụ 2.1.11. (tiếp tục Ví dụ 2.1.1) ta dễ dàng để nhận thấyFAFpφq “ ta1u, FAF2 pφq “ ta1, a2u, FAF3 pφq “ ta1, a2, cu, FAF4 pφq “ ta1, a2, c, a3u, FAF5 pφq “ ta1, a2, c, a3, d2u, FAF6 pφq “FAF5 pHq. Do đó GEAF “ ta1, a2, a3, c, d2u, chú ý rằng GEAF cũng là phần mở rộng ưu tiên duy nhất của AF.
Ví dụ 2.1.12. (tiếp tục Ví dụ 2.1.3) Từ AF “ xAR, attcksy với AR “ tA, Bu, và
attacks “ tpA, Bq,pB, Aqu, ta thấy rằng phần mở rộng cơ sở là rỗng.
Khái niệm phần mở rộng đầy đủ sẽ cung cấp kết nối giữa phần mở rộng ưu tiên (ngữ nghĩa tin cậy) và phần mở rộng cơ sở (ngữ nghĩa hoài nghi)
Định nghĩa 2.1.8. [25] Một tập bao đóng có thể chấp nhận của các lập luậnS được gọi là phần mở rộng đầy đủ khi và chỉ khi mỗi lập luận được chấp nhận bởi S thuộc về S.
Khái niệm của phần mở rộng đầy đủ nắm bắt các niềm tin chắc chắn của tác tử, những thứ mà chúng có niềm tin và có thể bảo vệ.
Mệnh đề 2.1.13. Một tập lập luận không chứa xung đột E được gọi là phần mở rộng đầy đủ khi và chỉ khi E “FAFpEq
Mối quan hệ giữa phần mở rộng ưu tiên, phần mở rộng cơ sở và phần mở rộng đầy đủ được cho ở định lý sau:
Định nghĩa 2.1.9. [25]
(i) Mỗi phần mở rộng ưu tiên là một phần mở rộng đầy đủ, nhưng không có điều ngược lại.
(ii) Phần mở rộng cơ sở là phần nhỏ nhất (theo bao hàm tập) của phần mở rộng đầy đủ.
Chứng minh.
(i) Rõ ràng là từ định nghĩa điểm cố định của phần mở rộng đầy đủ, mỗi phần mở rộng ưu tiên là một phần mở rộng đầy đủ. Ví dụ Nixon diamond đã cung cấp một ví dụ với điều ngược lại là không đúng vì tập rỗng là phần mở rộng đầy đủ nhưng không phải là phần mở rộng ưu tiên.
(ii) Hiển nhiên.
Định nghĩa 2.1.10. [25] Một mô hình tranh cãi AF “ xAR, attcksy là hữu hạn khi và chỉ khi với mỗi lập luận A, có hữu hạn các lập luận ở trong AR tấn công A. 2.1.3 Điều kiện cho sự trùng giữa ngữ nghĩa khác nhau
Mô hình tranh cãi có cơ sở
Phần này sẽ cung cấp ở các điều kiện đủ cho sự trùng nhau giữa ngữ nghĩa cở sở, ngữ nghĩa ưu tiên cũng như ngữ nghĩa ổn định.
Định nghĩa 2.1.11. [25] Một mô hình tranh cãi là có cơ sở khi và chỉ khi tồn tại một chuỗi hữu hạn A0, A1, . . . , An sao cho với mỗi i, Ai`1 tấn công Ai.
Định lý sau sẽ chỉ ra mô hình tranh cãi có cơ sở có chính xác một phần mở rộng Định lý 2.1.14. Mỗi mô hình tranh cãi có cơ sở có đúng một phần mở rộng đầy đủ là cơ sở, ưu tiên và ổn định.
Chứng minh. Giả sử ngược lại là tồn tại một mô hình tranh cãi có cơ sở là phần mở rộng cơ sở nhưng không phải là phần mở rộng ổn định. Cho AF “ xAR, attcksy sao cho
S “ tA|A PARzGEAF và A không bị tấn công bởi GEAFu là không rỗng. Bây giờ, chúng ta chỉ ra rằng mỗi lập luận A trong S là bị tấn công bởi chính S. cho A P S, vì A là không được chấp nhận bởi GEAF, sẽ có một tấn công của B chống lại A sao cho B không bị tấn công bởi GEAF. Từ định nghĩa của S, rõ ràng rằng B không thuộc GEAF. Do đó B thuộc S, do đó tồn tại một chuỗi vô hạn A1, A2, . . . sao cho với mỗi i, Ai`1 tấn công Ai. Mâu thuẫn!
Mô hình tranh cãi rõ ràng
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện trùng giữa phần mở rộng ổn định và phần mở rộng ưu tiên. Nhìn chung sự tồn tại của một phần mở rộng ưu tiên không ổn định do sự tồn tại của một số “bất thường” trong mô hình tranh cãi tương ứng1. Ví dụ, trong mô hình tranh cãi xtAu,tpA, Aquy 2 có một phần mở rộng ưu tiên rỗng là không ổn định. Nên nó là rất cần thiết để tìm điều kiện đủ để tránh các bất thường.
Định nghĩa 2.1.12. [25]
(i) Một mô hình tranh cãi AF được gọi là rõ ràng nếu mỗi phần mở rộng ưu tiên của AF là ổn định.
(ii) Chúng ta nói rằng một mô hình tranh cãi AF là cơ sở tương đối nếu phần mở rộng cơ sở trùng với giao điểm của tất cả các phần mở rộng ưu tiên.
Điều này được rút ra trực tiếp từ định nghĩa sự tồn tại phần mở rộng ổn định nhỏ nhất trong mô hình tranh cãi có cơ sở.
Chúng ta giả sử về một cuộc trao đổi giữa bạn và tôi về một đề xuất C. Bạn bắt đầu bằng cách đưa về phía tôi một lập luận A0 hỗ trợ cho C. Tôi không đồng ý với C, vì vậy tôi đưa ra một lập luận A1 tấn công lập luận A0 của bạn. Để bảo vệ A0 và C, bạn lại đưa ra một lập luận A2 tấn công lập luận A1 của tôi. Tôi lại đưa ra lập luận A3 để tấn công lại A2. Nếu chúng ra dừng tại thời điểm này, A0 đã bị thủ tiêu. Điều đó có nghĩa rằng A3 đã đóng vai trò quyết định trong việc đánh bại A0
mặc dù A3 không trực tiếp tấn công A0. A3 biểu diễn cho một tấn công gián tiếp chống lại A0. Nhìn chung chúng ta nói rằng một lập luận B gián tiếp tấn công A nếu tồn tại một chuỗi hữu hạn A0, . . . , A2n`1 sao cho p1qA “ A0 và B “ A2n`1 và
p2q với mỗi i,0 ď i ď 2n, Ai`1 tấn công Ai. Chúng ta nói rằng một lập luận B gián tiếp bảo vệ A nếu tồn tại chuỗi hữu hạn A0, . . . , A2n sao cho p1qA “ A0 và B “A2n,
p2q với mỗi i,0ďi ď2n, Ai`1 tấn công Ai. Một lập luận B được gọi là gây tranh cãi (controversial) với A nếuB vừa gián tiếp tấn công A và vừa gián tiếp bảo vệ A. Một lập luận là gây tranh cãi nếu nó là gây tranh cãi với một lập luận nào đó.
Định nghĩa 2.1.13. [25]
(i) Một mô hình tranh cãi là không tranh cãi nếu không tồn tại lập luận gây tranh cãi.
(ii) Một mô hình tranh cãi là gây tranh cãi có giới hạn nếu không tồn tại chuỗi vô hạn các lập luận A0, . . . , An, ... sao cho Ai`1 là gây tranh cãi với Ai.
Rõ ràng rằng mỗi mô hình tranh cãi không gây tranh cãi là mô hình gây tranh cãi có giới hạn nhưng không phải là ngược lại.
Định lý 2.1.15.
(i) Mỗi mô hình gây tranh cãi có giới hạn là rõ ràng.
1Sự tồn tại của một vài "bất thường" không có nghĩa là sẽ có một vài lỗi trong mô hình tranh cãi tương ứng. 2Mô hình tranh cãi này tương ứng với chương trình logicp&p
(ii) Mỗi mô hình tranh luận không gây tranh cãi là rõ ràng và là cơ sở tương đối. Chứng minh.
(i) Giả sử rằng tồn tại một mô hình tranh luận gây tranh cãi có giới hạn AF là không rõ ràng. Cho E là một phần mở rộng ưu tiên của AF và không ổn định. Chúng ta xác định:
AR1 “ tA1|A1 P ARzE và A không bị tấn công bởi Eu
Rõ ràng, AR1 là không rỗng. Cho attacks1 là hạn chế của attacks trong AR1. Cho AF1 “ xAR1, attcks1y. Từ Bổ đề 2.1.16, tồn tại phần mở rộng đầy đủ không rỗng E1 của AF1. Ta thấy rằng E YE1 một lần nữa là phần mở rộng của AF. Mâu thuẫn!
(ii) Rút ra từ Bổ đề 2.1.16 và Bổ đề 2.1.17 sau đây.
Để chứng minh cho Bổ đề 2.1.16 và Bổ đề 2.1.17 chúng ta cần một vài ký hiệu mới. Một lập luận A trở thành mối đe dọa của tập lập luận S nếuA tấn công S và A không bị tấn công bởi S. Một tập lập luận D bảo vệ tập lập luận S nếu D tấn công các mối đe dọa vào S.
Bổ đề 2.1.16. Cho AF là một mô hình tranh cãi gây tranh cãi có giới hạn. Khi đó tồn tại ít nhất một phần mở rộng đầy đủ không rỗng E của AF.
Chứng minh. Nếu phần mở rộng cơ sở của AF là không rõ thì bổ đề đã được chứng minh. Bây giờ chúng ta giả sử rằng phần mở rộng cơ sở của AF là rỗng. Khi đó dẫn đến mỗi lập luận A trong AF bị tấn công bởi một vài lập luận khác (nếu không phần mở rộng cơ sở sẽ không rỗng). Cho A là một lập luận sao cho không tồn tại B gây tranh cãi với A. Sự tồn tại của một lập luận rõ ràng là đảm bảo bởi tranh cãi có giới hạn (hạn chế) của mô hình tranh cãi. Xác định E0 “ A. Với mỗi số tự nhiên i ą 0. Xác định của tập Ei như sau: Ei “Ei´1YDi´1 khi Di´1 là bảo vệ tối thiểu Ei´1. Bây giờ chúng ta chứng minh bằng quy nạp đối với mỗi i:
Ei là không chứa các xung đột, và mỗi lập luận B P Ei gián tiếp bảo về Ap˚q
Rõ ràng điều này là đúng trong trường hợp i “ 0. Cho i ą 0 và giả sử rằng (*) đúng cho mỗi i´1. Từ thực tế mỗi lập luận trong AF bị tấn công bởi một vài lập luận, rõ ràng rằng sẽ tồn tại một bảo vệ tối thiểu Di´1 của Ei´1. Từ giả thuyết quy nạp rằng mỗi lập luận trong Ei´1 gián tiếp bảo vệ A. Không khó khăn để thấy rằng tất cả lập luận trong Di´1 gián tiếp cũng bảo vệ A. Như vậy từ giả thuyết quy nạp, mỗi lập luận trong Ei gián tiếp bảo vệ A. Bây giờ giả sử rằng Ei là có xung đột, khi đó sẽ tồn tại hai lập luận B và B1 trong Ei sao cho B tấn công B1. Vì mỗi lập luận trong Ei gián tiếp bảo vệ A nên B rõ ràng gây tranh cãi với A. Mâu thuân! Do đó, Ei là không chứa xung đột.
Cho F “ Ť
i
Ei, rõ ràng F là có thể chấp nhận. Chúng ta xác định E là phần mở rộng đầy đủ tối thiểu chứa F. Do đó E là phần mở rộng mong muốn.
Bổ đề 2.1.17. Cho AF là một mô hình tranh cãi không gây tranh cãi và A là một lập luận sao cho A không bị tấn công bởi phần mở rộng cơ sở GE của AF và A R GE. Khi đó:
(i) Tồn tại một phần mở rộng đầy đủ E1 sao cho AP E1, và.
(ii) Tồn tại một phần mở rộng đầy đủ E2 sao cho E2 tấn công A. Chứng minh. Cho
AR1“ tA|A P ARzGE và A1 không bị tấn công bởi GEu.
Do A PAR1, do đó AR1 là không rỗng. Cho attacks1 giới hạn bởi attacks trong AR1. Cho AF1 “ xAR1, attcks1y.
(i) Tương tự như chứng minh của Bổ đề 2.1.16, chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại một phần mở rộng đầy đủ E0 của AF1 sao cho A P E0. Cho E1 “GEYE0. Rõ