Bài 1. Chứng minh cỏc tập hợp sau là tập lồi, sau đú mụ tả bao đúng, miền trong và biờn của chỳng:
a. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + x2 = 3, x1 + x2 + x3 ≤ 6}, b. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12+ x22 + x32 ≤ 4, x1 + x2=1}. b. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12+ x22 + x32 ≤ 4, x1 + x2=1}.
Bài 2. Cho S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12 + x22 + x32≤ 1, x12 – x2≤ 0} và y = (1, 0, 2)T. Tỡm khoảng cỏch từ y đến S và điểm cực tiểu duy nhất tương ứng x* ∈ S ứng với khoảng cỏch đú. Viết phương trỡnh của một siờu phẳng tỏch.
Bài 3. Cho S1 và S2 là cỏc tập lồi rời nhau trong Rn. Chứng minh rằng tồn tại cỏc vộc tơ p1 và p2 khỏc vộc tơ 0 sao cho p1Tx1 + p2Tx2≥ 0 với mọi x1 ∈ S1 và x2 ∈ S2. Hóy suy ra kết quả tổng quỏt hơn cho trường hợp nhiều tập lồi rời nhau.
Bài 4. Tỡm cỏc điểm cực biờn và hướng cực biờn của cỏc tập lồi đa diện sau:
a. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + x2 + x3 ≤ 10, –x1 + 2x2 = 4, x1, x2, x3 ≥ 0}. b. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + 2x2 ≥ 2, –x1 + x2 = 4, x1, x2 ≥ 0}. b. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + 2x2 ≥ 2, –x1 + x2 = 4, x1, x2 ≥ 0}.
c. S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: –x1 + 2x2 ≤ 3, x1 + x2 ≤ 2, x2 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0}, sau đú biểu thị điểm (1, 1/2) thành tổ hợp lồi của cỏc điểm cực biờn và hướng cực biểu thị điểm (1, 1/2) thành tổ hợp lồi của cỏc điểm cực biờn và hướng cực biờn.
Bài 5. Nếu f: Rn → R là hàm khả vi cấp một thỡ ta gọi xấp xỉ tuyến tớnh của nú là biểu thức
T
f (x)+ ∇f (x) (x x)− .Tương tự, nếu f là hàm khả vi cấp hai thỡ ta gọi xấp xỉ toàn phương
của nú là T 1 T
f (x) f (x) f (x) (x x) (x x) H(x)(x x) 2
= + ∇ − + − − .
Cho f(x) = exp(x12 + x22) – 5x1 + 10x2, hóy tỡm cỏc biểu thức xấp xỉ tuyến tớnh và xấp xỉ toàn phương của f(x) và cho biết chỳng là hàm lồi hay hàm lừm hay khụng lồi khụng lừm, tại sao?
Bài 6. Xột bài toỏn tối ưu:
Max f(x) = 3x1 – x2 + x32, với cỏc ràng buộc x1 + x2 + x3 ≤ 0
– x1 + 2x2 + x32 = 0.