Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN KHOẢNG
2.4. Phương pháp tính toán khoản gC AI
Phương pháp tính toán khoảng Chebyshev Approximation Interval (C AI) [26] được hai tác giả Tô Văn Khánh (UET/VNU-HN) và Mizuhito Ogawa (JAIST) giới thiệu vào năm 2012. Phương pháp tính toán khoảng C AI là một dạng mới của phương pháp tính toán khoảng Affine Interval được phát triển dựa trên phương pháp tính xấp xỉ Chebyshev.
Định nghĩa 2.4.1: C AI của biến x biểu diễn dưới dạng sau:
ẋ = a̅0+ ∑ a̅iɛi
n
i=1
+ ∑ a̅i+nɛi+n
n
i=1
+ a̅2n+1ɛ⫨
Với ɛi ∈ [−1 , 1] (noise symbols), ɛ⫨ ∈ [−1 , 1] (fixed error noise symbols), ɛi+1 ∈ [0 , 1] sử dụng biểu diễn cho giá trị tuyệt đối |ɛi| của ɛi ,
a̅i được biểu diễn dưới dạng CI.
Ý tưởng chính của phương pháp này như sau:
Sử dụng một noise symbols mới ɛi+1 ∈ [0 , 1] để thay cho giá trị tuyệt đối của |ɛi|(ɛi+1 = |ɛi| ).
Giá trị xấp xỉ của x2 theo phương pháp tính xấp xỉ Chebyshev sẽ được tính bằng giá trị tuyệt đối của các noise symbols.
Với x ∈ (−1,1) , Giá trị sấp xỉ Chebyshev của x2và x|x| lần lượt như sau:
|x| − 1
x − 1
4 ≤ x|x| ≤ x + 1
4
Giá trị sấp xỉ Chebyshev của x2và x|x| được mô tả cụ thể ở biểu đồ ở hình 1. Tương tự nếu áp dụng cho noise symbols ɛ sẽ tìm được giá trị xấp xỉ ɛ 2 và
ɛ|ɛ| lần lượt như sau:
ɛ 2 = |ɛ||ɛ| = |ɛ| + (−1
4, 0) ɛ|ɛ| = ɛ + (−1
4,1
4 )
Hình 1: Đồ thị biểu diễn giá trị xấp xỉ Chebyshev của x2và x|x| [28].
Định nghĩa 2.4.2: Biểu diễn hai số x, y dưới dạng C IA như sau:
ẋ = a̅0+ ∑ a̅iɛi
n
i=1
+ ∑ a̅i+nɛi+n
n i=1 + a̅2n+1ɛ⫨ ẏ = b̅0+ ∑ b̅iɛi n i=1 + ∑ b̅i+nɛi+n n i=1 + b̅2n+1ɛ⫨
Với c̅ ∈ [−1 , 1]. Các phép toán của C IA gồm { + , − , × ,÷ } như sau :
ẋ + ẏ = (a̅0 + b̅0) + ∑(a̅i+ b̅i)ɛi
2n
i=1
+ (c̅ a̅2n+1+ c̅ b̅2n+1) ɛ⫨
ẋ − ẏ = (a̅0− b̅0) + ∑(a̅i− b̅i)ɛi
2n
i=1
ẋ × ẏ = K0+ K1ɛi + K2ɛi+n+ Kɛ⫨ .Với { + , − , × } sử dụng của CI và K0, K1, K2, K được tính theo công thức sau :
K0 = a̅0b̅0+ ∑(a̅ib̅i(−1 4, 0) + a̅ib̅i+n(− 1 4, 1 4 ) n i=1 + b̅ia̅i+n(−1 4, 1 4 ) + a̅i+nb̅i+n(0,1
4 ))
K1 = ∑(a̅0b̅i+ a̅ib̅0 + b̅ia̅i+n + a̅i+nb̅i)
n
i=1
K2 = ∑(a̅0b̅i+n + a̅i+nb̅0+ a̅ib̅i+ a̅i+nb̅i+1)
n
i=1
K = (c̅ a̅0b̅2n+1+ c̅ b̅0a̅2n+1) + ∑ ∑ c̅ a̅ib̅i
n j=1,i # j n i=1 + ∑ ∑ c̅ a̅ib̅i+n n j=1,i # j + ∑ c̅ a̅ib̅2n+1 n i=1 n i=1 + ∑ ∑ c̅ a̅i+nb̅i n j=1,i # j n i=1
+ ∑ ∑ c̅ a̅i+nb̅i+n
n
j=1,i # j n
i=1
+ ∑ c̅ a̅i+nb̅2n+1+ c̅ a̅2n+1b̅2n+1
n
i=1
ẋ ÷ ẏ = ẋ ×1
Chú ý chỉ số ɛ⫨ được lan truyền từ nguồn không xác định trước và hệ số của nó được tính bằng cách nhân với hệ số khác với c̅ = [−1,1]. Và 1
ẏ được tính bằng phương pháp xấp xỉ Chebyshev.
Nhận xét: Phương pháp tính sấp xỉ Chebyshev được nhiều tác giả giới thiệu trước đây như Stolfy, Miyajima ..., áp dụng không chỉ với một chỉ số noise symbols mà mới nhiều chỉ số noise symbols khác nhau. Với phương pháp này giá trị của x2 sẽ được tính bằng giá trị trị tuyệt đối của các noise symbols. C IA phát huy được hiệu quả trong các tính toán sử dụng cùng một biểu tượng noise symbols để tăng hiệu quả trong các tính toán lớn như các đa thức Taylor.
Ví dụ 2.4.3 Với x ∈ ( −3 , 1) tính f = x3− 3x + x2. Biến x được biểu diễn dưới dạng C IA như sau: x ̇ = −1 + 2ɛ
f ̇ = x3̇ − 3ẋ + x2̇ = (−1 + 2ɛ) × (−1 + 2ɛ) × (−1 + 2ɛ) − 3(−1 + 2ɛ) + (−1 + 2ɛ) × (−1 + 2ɛ) = (1 − 4ɛ+ 4ɛ2) × (−1 + 2ɛ) − (3 + 6ɛ) + (1 − 4ɛ+ 4ɛ2) = (1 − 4ɛ+ 4(|ɛ| + (−1 4, 0))) × (−1 + 2ɛ) − (3 + 6ɛ) + (1 − 4ɛ+ 4(|ɛ| + (−1 4, 0))) = (1 − 4ɛ+ 4|ɛ| + (−1,0)) × (−1 + 2ɛ) − (3 + 6ɛ) + (1 − 4ɛ+ 4|ɛ| + (−1,0)) = ((0,1) − 4ɛ+ 4|ɛ|) × (−1 + 2ɛ) − (3 + 6ɛ) + ((0,1) − 4ɛ+ 4|ɛ|) = ((−1,0) + (0,2)ɛ + 4ɛ− 8ɛ2− 4|ɛ| + 8|ɛ|ɛ) − (3 + 6ɛ) + ((0,1) − 4ɛ+ 4|ɛ|) = ((−1; 0) + (0; 2)ɛ + 4ɛ− 8 (|ɛ| + (−1 4, 0)) − 4|ɛ| + 8 (ɛ+ (−1 4, 1 4 ))) − (3 + 6ɛ) + ((0,1) − 4ɛ+ 4|ɛ|) = ((−1,0) + (0,2)ɛ + 4ɛ− 8|ɛ| + (−2; 0) − 4|ɛ| + 8ɛ+ (−2; 2)) − (3 + 6ɛ) + ((0,1) − 4ɛ+ 4|ɛ|) = ((−3,4) + (12,4)ɛ − 12|ɛ| ) − (3 + 6ɛ) + ((0,1) − 4ɛ+ 4|ɛ|) = (0,8) + (2,4)ɛ − 8|ɛ|
Áp dụng cách tính giá trị của |ɛ| trong hai khoảng lần lượt là ɛ ∈ [−1 ,0] vàɛ ∈ [0 , 1] : Với ɛ ∈ [−1, 0], f ̇ = (0, 8) + (2, 4)ɛ+ (8, 8)ɛ = (0, 8) + (10, 12)ɛ. Kết quả của f ̇ = (−12, 8) Với ɛ ∈ [0 , 1], f ̇ = (0, 8) + (2, 4)ɛ − (8, 8)ɛ = (0, 8) + (−6, −4)ɛ. Kết quả của f ̇ = (−6, 8)
Với ɛ ∈ [−1 ,1] kết quả của f ̇ = (−6; 8) ∪ (−12; 8) = (−12; 8) . Trong khi đó kết quả của CI, AF1 và AF2 lần lượt như sau:
CI: f ∈ (−33,27)
AF1: f ∈ (−25, 31)
AF2: f ∈ (−13 ,19)
Khi tính f = x3− 3x + x2 với x = −1 + 2ɛ với kĩ thuật AF2 thì x3 sẽ được đưa vào ɛ⫨. Trong khi với kĩ thuật C IA sẽ được tính xấp xỉ bằng ɛ để cho phép giữ được giá trị ban đầu của x. Như vậy C IA sẽ giữ được giá trị ban đầu với các biểu thức có bậc số lớn (...bậc ≥ 3) , còn AF2 chỉ giữ được giá trị ban đầu của các biểu thức có bậc bằng hai.