3 TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO
3.3 Một số vấn đề cần bàn luận
Trong hệ thống MIMO, khối phát trong cấu trúc khai thác CSIT đầy đủ bao gồm mã hóa kênh, mã hóa STBC và tiền mã hóa. Các kỹ thuật này có chung một mục đích là giảm tỷ lệ lỗi, tăng dung lượng và hiệu suất đường truyền.
Với cấu trúc STBC hoàn hảo, trong một hệ thống có tiền mã hóa tuyến tính (lúc đó ta phân tích và xem xét HF như là kênh hiệu dụng) thì phía thu vẫn có thể sử dụng giải mã hình cầu, đây mà một lợi thế của mã lưới. Hiện nay, các nghiên cứu tiền mã hóa tuyến tính choSTBC giả thiết đã có mã STBC, và xem đây không phải là tham số thiết kế. Tôi nghĩ rằng, việc thiết kế đồng thời mã STBC và tiền mã hóa tuyến tính có thể thực hiện được vì hai kỹ thuật này có một số tiêu chí giống nhau (ví dụ xác suất lỗi cặp). Nếu thiết kế đồng thờiSTBC và tiền mã hóa tuyến tính thì có thể làm giảm những ràng buộc khá khắt khe của mãSTBC hoàn hảo, do đó số lượng các bộ mã thỏa mãn yêu cầu thiết kế hệ thống sẽ nhiều hơn.
Khi có thêm mã hóa kênh, số bits thực mang thông tin trong một ký hiệu là ít so với kích thước ký hiệu nhưng lại yêu cầu phía thu xử lý nhiều hơn. Do đó, nếu sử dụng cấu trúc lưới, ta có thể áp dụng giải mã hình cầu nhằm giảm khối lượng tính toán ở phía thu.
Khi sử dụng mã lưới, thông tin phát có cấu trúc lưới, một câu hỏi đặt ra là nếu trong môi trường truyền là fading sâu, phía thu chỉ thu được ma trận với số chiều nhỏ hơn ma trận phía phát thì ta có thể dựa vào cấu trúc lưới để khôi phục lại những thông tin đã mất hay không? Ở đây, kỹ thuật lấy mẫu nén (compressed sensing) có thể được áp dụng cho việc khôi phục thông tin đã mất.
KẾT LUẬN
Với việc thực hiện luận văn này, tôi đã có được những kiến thức khá chi tiết về mã lưới cho kênh fading Rayleigh đồng thời có một cách nhìn khá toàn diện hệ thống thông tin không dây MIMO, hoàn thiện mục tiêu bước đầu tìm hiểu về hệ thống thông tin không dây.
Để nắm bắt vấn đề một cách chi tiết, một việc quan trọng là tìm hiểu công cụ toán học của việc xây dựng mã lưới và mã STBC cho kênh fading Rayleigh đơn antenna và MIMO fading Rayleigh.
Luận văn tập trung tìm hiểu mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna, đặc biệt là mã STBC hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO; luận văn cũng đã bước đầu mô phỏng được hệ thống trong trường hợp đơn giản. Kết hợp với những tìm hiểu trong thời gian tới về tiền mã hóa tuyến tính, có thể dẫn ra một ý tưởng nhỏ cho việc kết hợp thiết kế STBC và tiền mã hóa tuyến tính. Đây có thể là hướng nghiên cứu tiếp theo của bản thân trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] C. R. J. Boutros, E. Viterbo and J.-C. Belfiore, “Good lattice constellations for both rayleigh fading and gaussian channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 42, pp. 502–518, 1996.
[2] X. Giraud and J. C. Belfiore, “Constallation mached to the rayleigh fading channel,”
IEEE Transactions on Information Theory, vol. 42, pp. 106–114, 1996.
[3] J. Boutros and E. Viterbo, “Signal space diversity: A power and bandwidth efficient diversity technique for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on Informa- tion Theory, 1998.
[4] F. O. E. Bayer-Fluckiger and E. Viterbo, “New algebraic constructions of rotated zn-lattice constellations for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on In- formation Theory, 2004.
[5] A. P. Mai Vu, “Mimo wireless linear precoding,” IEEE Signal Processing Magazine, pp. 87–105, 2007.
[6] M. Vu, “Exploiting transmit channel side information in mimo wireless systems,” Ph.D. dissertation, Stanford University, 2006.
[7] F. Oggier and E. Viterbo, “Algebraic number theory and code design for rayleigh fad- ing channels,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, vol. 1, 2004.
[8] F. Oggier, “Algebraic methods for channel coding,” Ph.D. dissertation, Ecole Poly- technique Federare De Lausanne, 2005.
[9] M. Pohst, Computational Algebraic Number Theory. Verlag, 1993.
[10] E. Viterbo and E. Biglieri, “A universal lattice decoding algorithm for lattice codes,” pp. 611–614, 1993.
[11] F. O. J. C. Belfiore and E. Viterbo, “Cyclic division algebras: a tool for space-time coding,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, 2007.
[12] N. S. Vahid Tarokh and A. R. Calderbank, “Space-time codes for high data rate wireless communication: Performance criterion and code construction,” IEEE Trans- actions on Information Theory, vol. 44, pp. 744–765, 1998.
[13] J.-C. Belfiore and G. Rekaya, “Quaternionic lattices for space-time coding,”ITW2003, 2003.
[14] G. R. Jean-Claude Belfiore and E. Viterbo, “The golden code: A 2 x 2 full-rate space-time code with nonvanishing determinants,”IEEE Transactions on information theory, vol. 51, pp. 1432–1436, 2005.
[15] J.-C. B. Yi Hong, Emanuele Viterbo, “Golden space-time trellis coded modulation,”
IEEE Transactions on Information Theory, 2007.
[16] J. H. Conway and N. J. A. Sloane,Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer- Verlag, New York, 1988.
[17] H. Cohn,Advanced Number Theory. Dover Publications, New York, 1980.
Phụ lục A.
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI
Phần phụ lục này trình bày cơ sở toán học của mã lưới: Những khái niệm cơ bản về lý thuyết lưới [7, 16] và lý thuyết số đại số (Algebraic number theory) [7, 17, 18] là cơ sở của mã lưới cho hệ thống đơn antenna; đại số vòng chia được (Cyclic Division Algebras)[11] là công cụ xây dựng mã STBC cho hệ thống MIMO.
Một số định nghĩa toán học cơ bản
Định nghĩa 1.Cho G là một tập hợp với một toán tử trong (ký hiệu là +).
G×G −→ G
(a, b) 7−→ a+b Hợp(G,+) được gọi là một nhóm nếu:
1. Toán tử có tính chất kết hợp: a+ (b+c) = (a+b) +c ∀a, b, c∈G 2. Tồn tại phần tử trung hòa 0mà a+ 0 = 0 +a=a ∀a ∈G
3. ∀a ∈Gthì tồn tại phần tử ngược −a mà a−a=−a+a= 0
Nhóm G được gọi là Abelian nếu a+b =b+a ∀a, b∈G (Tức là toán tử có tính chất giao hoán).
Định nghĩa 2.
Cho (G,+) là một nhóm và H là tập con không rỗng của G. Ta nói rằng H là một nhóm con củaG nếu (H,+) là một nhóm trong đó + là toán tử trong được kế tục từG.
Một điểm thú vị của cấu trúc nhóm là một điều chắc chắn rằng với hai thành phần bất kỳ nào trong nhóm thì tổng của chúng luôn thuộc nhóm đó. Và do đó ta nói rằngG là một nhóm đóng dưới toán tử nhóm+.
Định nghĩa 3. Cho v= (v1, v2, ..., vm) là một tập vector độc lập tuyến tính thuộc Rn (m≤n). Tập hợp điểm Λ = ( x= m X i=1 λivi, λi ∈Z )
được gọi là một lưới với số chiềum và {v1, v2, ..., vm} được gọi là cơ sở của lưới. Có rất nhiều cách chọn cơ sở của một lưới đã cho.
Một lưới là tập hợp các điểm rời rạc trong Rn. Điều này có thể dễ dàng thấy được vì nó là các tổ hợp tuyến tính nguyên củav1,v2, ...,vm. Mặt khác, nó là một nhóm con của (Rm,+), do đó tổng hoặc hiệu của hai vector trong một lưới vẫn thuộc lưới đó.
Định nghĩa 4.Ô chứa tất cả các điểm
θ1v1+θ2v2+...+θnvn, 0≤θi <1
được gọi là một ô cơ sở của lưới.
Cho tọa độ của các vector cơ sở như sau:
v1 = (v11, v12, . . . , v1n) v2 = (v21, v22, . . . , v2n) . . . . vm = (vm1, v22, . . . , vmn) trong đó n ≥m Định nghĩa 5. Ma trận M = v11 v12 . . . v1n v21 v22 . . . v2n ... ... ... ... vm1 vm2 . . . vmn
được gọi là ma trận sinh (generator matrix) của lưới.
Ma trận G= M MT được gọi là ma trận Gram của lưới, trong đó (.)T là biểu diễn của ma trận chuyển vị.
Một cách ngắn gọn, lưới có thể được định nghĩa qua ma trận sinh của nó như sau:
Λ ={x=λM |λ∈Zm}
Định nghĩa 6.
Định thức của lưới được định nghĩa là định thức của ma trận G
det (Λ) = det (G)
Đây là đại lượng bất biến của lưới, bởi vì nó không phụ thuộc vào việc chọn các cơ sở của lưới.
Vì ma trận G được xác định bằng G = M MT, trong đó M chứa các vector cơ sở
{vi}ni=1, do đó phần tử(i, j) của G chính là tích trong hvi,vji=vivT i . Định nghĩa 7.
Một lưới Λ được gọi là lưới nguyên nếu ma trận Gram của nó có các hệ số nguyên. Trong trường hợpm =n (lúc này lưới được gọi là có bậc đầy đủ−full-rank lattice), ma trận M là ma trận vuông và ta có:
det (Λ) = (det (M))2
Định nghĩa 8.
Đối với lưới có bậc đầy đủ, căn bậc hai của định thức là volume của ô cơ sở, và cũng được gọi là volume của lưới và được ký hiệu là vol(Λ)
Cho Λ là một lưới với số chiều n được định nghĩa bởi đa thức sinh M. Định nghĩa 9.
Cho B là một ma trận nguyên kích thước n×n. Một lưới con Λ0 của Λ được định nghĩa là:
Λ0 ={x=λBM |λ∈Zm}
Vì một lưới có cấu trúc nhóm, do đó Λ0 là một nhóm con của Λ. Định nghĩa 10.
Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Cho a∈G. Tập con: a+H ={a+h, h∈H} Tương ứngH+a={h+a, h∈H}
được gọi là tập cộng bên trái (bên phải) của Gvới module H.
Nếu G có tính chất Abilian thì việc phân biệt tập cộng bên trái hay bên phải của Gmodule H là không cần thiết.
Định nghĩa 11.
Cho một lướiΛ, một lưới tỷ lệ (scaled lattice) có thể nhận được bằng cách nhân tất cả các vector của lưới với một hệ số:
Λ0 =c.Λ
trong đó c∈R. Nếu c∈Z thì Λ0 là một lưới con của Λ. Định nghĩa 12.
Nếu một lưới có thể nhận được từ một lưới khác bằng một phép quay, phép đối xứng hoặc là thay đổi tỷ lệ thì chúng ta gọi nó là các lưới tương đương (equivalent).
Một số vấn đề về lý thuyết số đại số Trường số đại số
Định nghĩa 13.
Cho A là tập hợp với hai toán tử trong, biểu diễn là + và ·. Tập hợp (A,+,·) là một vành nếu:
1. (A,+) là một nhóm Abelian
2. Toán tử · có tính chất kết hợp và có phần tử trung hòa 3. Có tính chất phân phối giữa phép + và phép ·
Vành A là giao hoán nếu a·b=b·a, ∀a, b∈A. Tập hợp các phần tử thuộc A có phần tử nghịch đảo của phép· được gọi là tập units của A và được ký hiệu là A∗.
Định nghĩa 14.
Cho A là một vành mà A∗ =A\ {0}, ta nói rằng A là không giao hoán. Nếu A có tính chất giao hoán thìA được gọi là một trường.
Ví dụ khác: Các trường có thể xây dựng từ trường Q. Ví như số √
2 không phải là phần tử của Q. Chúng ta có thể tạo ra trường mới bằng thêm tất cả các bội số và lũy thừa √
2 vào Q. Và do đó trường mới chứa cả Q và √
2, biểu diễn là Q √ 2
. Chúng ta gọi đây là mở rộng củaQ.
Định nghĩa 15.
Cho K và Llà hai trường. NếuK ⊆Lthì ta nói rằngLlà một mở rộng trường của K và biểu diễn làL/K.
Chú ý rằng nếu ta cóL/K thìLcó bản chất là một không gian vector trênK. Theo như ví dụ trên, nếux∈Q √
2
thì x=a+b√
2, như vậy 1,√
2 là các vector cơ sở còn a và b là các thành phần vô hướng. Như vậy Q √
2
có thể coi là không gian vector với số chiều bằng2.
Định nghĩa 16.
Cho L/K là một mở rộng trường. Số chiều của L khi được coi như là không gian trên K được gọi là bậc (degree) của L trên K và ký hiệu là [L:K]. Nếu [L:K] là hữu hạn thì ta nói L là một mở rộng hữu hạn của K.
Định nghĩa 17.
Một mở rộng trường của Qđược gọi là một trường số (number field). Trở tại với ví dụ trước, nhận thấy rằng√
2là một nghiệm của phương trìnhX2−2 = 0. Như vậy, để xây dựng Q √
2
, chúng ta thêm vào Q các nghiệm của phương trình với các hệ số nguyên. Số√
2 được gọi là algebraic. Định nghĩa 18.
Cho L/K là một mở rộng trường và choα∈L. Nếu tồn tại đa thức lồi bất khả quy hệ số khác 0 : p ∈ K[X] mà p(α) = 0 thì α được gọi là algebraic trên K. Đa thức này được gọi là minimal polynomial của α trên K và được ký hiệu là pα
Ví dụ đa thức X2−2 = 0 làminimal polynomial của √
2 trên Q. Định nghĩa 19.
Nếu tất cả các thành phần củaK làalgebraic, chúng ta nói rằngK là một mở rộng đại số của Q.
Xét trường Q √ 2
=
a+b√
2 , a, b ∈ Q. Đơn giản để thấy rằng α ∈ Q √ 2
là nghiệm của đa thứcpα(X) =X2−2aX+a2−2b2 với các hệ số hữu tỉ. Như vậy Q √
là một mở rộng đại số củaQ.
Chú ý: Có thể chứng minh rằng mở rộng hữu hạn là một mở rộng đại số do đó ta gọi một trường số là algebraic number field (trường số đại số).
Định lý 1. Nếu K là một trường số, thì K = Q(θ), θ ∈ K được gọi là phần tử nguyên thủy (primitive element).
Như là một hệ quả, K là không gian vector sinh ra từ Q bởi các lũy thừa của θ. Nếu K có bậc n thì {1, θ, θ2, . . . , θn−1} là một cơ sở của K và bậc của đa thức tối thiểu của θ là n.
Định nghĩa 20.
Chúng ta nói rằng α ∈ K là một algebraic nguyên nếu nó là một nghiệm của một đa thức lồi với các hệ số thuộc Z. Tập hợp các algebraic nguyên của K được gọi là một vành nguyên của K, ký hiệu là OK.
Thực tế là các algebraic nguyên của trường K tạo nên một vành, tuy nhiên chúng ta không đề cập đến cách chứng minh ở đây.
Định lý 2.
Nếu K là một trường số thì K =Q(θ) đối với một algebraic nguyên θ ∈OK
Nói cách khác, chúng ta luôn có thể tìm thấy phần tử nguyên thủy là algebraic nguyên, do đó, đa thức tối thiểupθ(X)có các hệ số thuộc Z.
Cơ sở nguyên và phép nhúng chính tắc
Trong phần tiếp theo, chúng ta xem xét cấu trúc của OK là vành nguyên của một trường số. Chúng ta cũng xác định hai thành phần bất biến của một trường số đó là biệt thức (discriminant) và ký số (signature). Trong trường hợp đặc biệt K =Q √
2
,OK có cơ sở trên Z, lúc đó chúng ta gọiOK là Z−module.
Định lý 3.
Cho K là một trường số với bậcn. Vành nguyên OK của K tạo nên mộtZ−module tự do bậc n.
Điều này có nghĩa là: Nếu K là một trường số thìOK có cơ sở nguyênn thành phần trên Z.
Định nghĩa 21.
Cho {ωi}ni=1 là một cơ sở của Z−module OK, thì chúng ta có thể viết phần tử của
OK dưới dạng Pn
i=1aiωi với ai ∈Z. Ta nói rằng {ωi}ni=1 là một cơ sở nguyên của K. Định nghĩa 22.
Cho K/Q và L/Q là hai mở rộng trường của Q. Chúng ta gọi ϕ : K → L là Q−
homomorphism nếu ϕ là một phép đồng cấu vành thỏa mãn: ϕ(a) = a với mọi a ∈ Q. Nhắc lại rằng nếuA vàB là hai vành, một phép đồng cấu vành là ψ :A→B thỏa mãn:
• ψ(a+b) =ψ(a) +ψ(b) • ψ(a.b) =ψ(a).ψ(b) • ψ(1) = 1
Định nghĩa 23.
MộtQ-homomorphism ϕ:K →C được gọi là một phép nhúng (embedding) của K vàoC.
Định lý 4.
Cho K =Q(θ) là một trường số bậc n trên Q. Có chính xác n phép nhúng của K vào C: σi : K → C, i = 1, ..., n được định nghĩa bằng σi = θi trong đó θi là các nghiệm phân biệt thuộcC của đa thức tối thiểu θ trên Q.
Chú ý rằngσ1 =θ1 =θvà do đóσ1 là ánh xạ đồng nhất (identity map):σ1(K) = K. Khi chúng ta áp dụng phép nhúng σi đối x bất kỳ thuộc K thì x = Pn
k=1akθk ak∈Q chúng ta nhận được (Áp dụng tính chất phép đồng cấu) σi(α) =σi n X k=1 akθk ! = n X k=1 akθki
và như vậy là ảnh củax qua phép nhúng được xác định duy nhất trong C bởi θi