Dùng ph−ơng pháp tốn tử để tìm ph−ơng trình sai phân của hệ ĐK tự

5- Câu hỏi và bài tập

3.9- Dùng ph−ơng pháp tốn tử để tìm ph−ơng trình sai phân của hệ ĐK tự

Bảng 3.2 cho ta những chỉ dẫn tham

khảo để chọn b−ớc cắt mẫu đối với các biến hoặc quá trình khác nhau.

Đối với hệ thống điều khiển nên chọn b−ớc cắt mẫu nh− sau: T < Tmin

10 ^,

trong đó T_min là hằng số thời gian nhỏ nhất trong hàm truyền của hệ thống. Chọn b−ớc cắt mẫu theo quy tắc này cũng t−ơng đ−ơng nh− chỉ dẫn đối với mục hệ thống điều khiển trong bảng 3.2.

3.9- Dùng ph−ơng pháp tốn tử để tìm ph−ơng trình sai phân của hệ ĐK tự

động

động

Chúng ta đã biết rằng ph−ơng trình máy tính có dạng ph−ơng trình sai phân tuyến tính. Vì vậy để mơ phỏng hệ điều khiển tự động ng−ời ta phải tìm cách viết đ−ợc ph−ơng trình sai phân của hệ. Có hai cách tìm ph−ơng trình sai phân:

- Từ ph−ơng trình vi tích phân của hệ ng−ời ta viết thành ph−ơng trình sai phân t−ơng ứng - Đó là ph−ơng pháp Runge-Kutta. Ph−ơng pháp này chính xác nh−ng phức tạp.

- Dùng ph−ơng pháp tốn tử, ta có sơ đồ quan hệ giữa W(s) và W(z) nh− sau:

Nh− vậy theo sơ đồ trên ta có q trình tìm ph−ơng trình sai phân của một hệ điều khiển tự động có hàm truyền W(s). Từ hàm truyền Laplace W(s) sử dụng phép đổi biến 2 z 1

s

T z 1

− =

+

ta đ−ợc hàm truyền gián đoạn W(z). Từ W(z) tìm ng−ợc lại đ−ợc ph−ơng trình sai phân y(k) để viết ph−ơng trình mơ phỏng hệ điều khiển tự động trên máy tính.

Bảng 3.2

Loại biến hoặc q trình B−ớc cắt mẫu (s) L−u l−ợng 1 ữ 3 Mức 5 ữ 10 áp suất 1 ữ 5 Nhiệt độ 10 ữ 45 Ch−ng cất 10ữ180 Sấy 20 ữ 45 Hệ thống điều khiển 0,001 ữ 0,1

Hệ liên tục PT vi phân Biến đổi Laplace PT đại số W(s)

Đổi biến 2 z 1 s T z 1 − = +

PT sai phân ^{Biến đổi Z PT đại số W(z)} Hệ gián đoạn

Vì hàm truyền W(s) của hệ điều khiển tự động t−ơng đối dễ tìm nên ph−ơng pháp này rất thuận tiện cho việc tìm ph−ơng trình sai phân. Ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng pháp tốn tử.

3.10- Khái niệm về tốn tử tích phân số

Ph−ơng pháp toán tử đ−ợc dùng rất rộng rãi để tìm ph−ơng trình sai phân của hệ điều khiển tự động. Tích phân của một q trình liên tục đ−ợc biểu diễn nh− sau:

t

0

y(t)=

∫

Biến đổi Laplace hai vế của (3.24) với điều kiện đầu bằng khơng ta có:

= ^U(s)

Y(s)

s ^(3.25)

Vậy ta có hàm truyền của khâu tích phân lý t−ởng hay cịn gọi là tốn tử tích phân:

= ^Y(s)=¹

W(s)

U(s) s ^(3.26)

Sơ đồ cấu trúc của tốn tử tích phân nh− trên hình 3.5-a. Có nhiều ph−ơng pháp để chuyển hàm truyền liên tục của tốn tử tích phân sang hàm truyền gián đoạn. Sau đây sẽ trình bày ph−ơng pháp Tustin hay cịn gọi là ph−ơng pháp hình thang.

Từ 3.24 có thể suy ra đạo hàm của tín hiệu ra chính là tín hiệu vào. Trong tr−ờng hợp tín hiệu gián đoạn ta có thể viết:

y(k+1) - y(k) = [u(k+1)+y(k)]T/2 (3.25)

trong đó vế phải của 4.25 chính là diện tích hình thang có hai cạnh đáy u(k), u(k+1) và chiều cao là T trên hình 4.3b.

Biến đổi Z ph−ơng trình 4.25 ta có:

zY(z) - Y(z) = [zU(z) - U(z)]T/2 (3.26)

Y(z)(z-1) = (z+1)U(z)T/2

Vậy hàm truyền số trong tr−ờng hợp này chính là tốn tử tích phân số:

+ = = + Y(z) T z 1 I(z) U(z) 2 z 1 ^(3.27)

Từ (3.26) và (3.27) ta có t−ơng đ−ơng giữa hai tốn tử liên tục và số:

+ = − 1 T z 1 s 2 z 1 ^hay − = + 2 z 1 s T z 1 ^(3.28)

Cơng thức 3.28 có tên là cơng thức Tustin. Cơng thức này chính là cơng thức (3.23). Hình 3.6 biểu diễn sơ đồ cấu trúc của tốn tử tích phân số.

Nh− vậy, từ hàm truyền W(s), thay s bằng biểu thức 3.28 ta đ−ợc W(z). Dùng ph−ơng pháp biến đổi ảnh và gốc ta tìm đ−ợc

ph−ơng trình sai phân, từ đó viết ch−ơng trình mơ phỏng hệ liên tục trên máy tính. Thơng th−ờng ng−ời ta dùng ph−ơng pháp Tustin vì nó đơn giản và cho độ chính xác khá cao.

1 s U(s) u(t) Y(s) y(t) (a) T u(t) t kT 0 (k+1)T (b) Hình 3.5- Cách tính tốn tử Tustin T z 1 2 z 1 + − U(z) [U(k)] Y(z) [Y(k)] Hình 3.6- Sơ đồ cấu trúc của tích phân số

3.11- Ví dụ minh họa

Cho hệ điều khiển tự động sau có sơ đồ cấu trúc nh− trên hình 3.7 với các tham số nh− sau: u(t) = 1(t);

K₁ = 100; T₁ = 0,01; K₂ = 0,5; T₂ = 0,02.

B−ớc cắt mẫu chọn T = 0,001 Hãy mơ hình hóa hệ trên máy tính, viết ch−ơng trình trên máy tính bằng ngơn ngữ Pascal với các yêu cầu cụ thể sau:

- Tìm hàm quá độ.

- In ra 100 kết quả bằng số. - Vẽ đ−ờng cong quá độ y(t).

- Dùng phần mềm Matlab để kiểm tra kết quả tính.

Giải

1. Tìm ph−ơng trình sai phân của hệ

Ta có hàm truyền hệ kín nh− sau: + + = = + + + + + + + 1 1 2 1 3 2 1 2 _{1 2 1 2 1 2} 1 2 K 1 s (T s 1)(T s 1) K W(s) K K 1 _{T T s (T T )s s K K} 1 s (T s 1)(T s 1) Thay ₌ − + 2 z 1 s

T z 1^{ta nhận đ−ợc hàm truyền gián đoạn của hệ W(z):}

+ + + = = + + + 3 3 2 3 2 KT (z 3z 3z 1) Y(z) W(z) Az Bz Cz D U(z)^{, trong đó:} A = 8T₁T₂ + 4T₁T + 4T₂T + 2T² + K₁K₂T³ B = 24T₁T₂ - 4T₁T - 4T₂T + 2T² + 3K₁K₂T³ C = 24T₁T₂ - 4T₁T - 4T₂T - 2T2 + 3K₁K₂T3 D = 8T₁T₂ + 4T₁T + 4T₂T - 2T2 + 3K₁K₂T3 Ta có hàm sai phân sau:

Az3Y(z)+Bz2Y(z)+CzY(z)+DY(z) = K₁T3[z3U(z)+3z2U(z)+3zU(z)+U(z)]

Dùng tính chất dịch gốc của biến đổi Z ta tìm đ−ợc ph−ơng trình sai phân t−ơng ứng với ph−ơng trình trên:

AY[k+3]+BY[k+2]+CY[k+1]+DY[k]=K₁T³(U[k+3]+3U[k+2]+3U[k+1]+U[k]) Vì tín hiệu vào là tín hiệu nhảy cấp u(t) = 1(t) nên ta có:

U[k+3]=U[k+2]=U[k+1]=U[k]=1

Vậy ta có: AY[k+3]+BY[k+2]+CY[k+1]+DY[k] = 8K₁T3

Cuối cùng ta tìm đ−ợc ph−ơng trình sai phân của hệ điều khiển tự động là: Y[k+3] = (-BY[k+2]-CY[k+1]-DY[k] + 8K₁T3)/A

Từ ph−ơng trình sai phân ta viết ch−ơng trình máy tính để tìm đáp ứng ra y(t) của hệ khi tín hiệu vào là hàm nhảy cấp 1(t). ở phần sau là ch−ơng trình mơ hình hóa của hệ đã cho đ−ợc viết bằng ngôn ngữ Pascal.

1 s 1 1 2 K (T s 1)(T s 1)+ + K₂ u(t) u(t)

2. Ch−ơng trình Pascal program MO_HINH_HOA; uses crt,graph;var a,b,c,d,max,k1,k2,t1,t2,t,tm,tod,xicma:real; gd,gm,k,km,ky,i:integer; y:array[0..1000]of real; st:string; BEGIN clrscr; k1:=100; k2:=0.5; t1:=0.01; t2:=0.02; t:=0.002; y[0]:=0; y[1]:=0; y[2]:=0; a:=8*t1*t2+4*t1*t+4*t2*t+2*t*t+k1*k2*t*t*t; b:=-24*t1*t2-4*t1*t-4*t2*t+2*t*t+3*k1*k2*t*t*t; c:=24*t1*t2-4*t1*t-4*t2*t-2*t*t+3*k1*k2*t*t*t; d:=-8*t1*t2+4*t1*t+4*t2*t-2*t*t+k1*k2*t*t*t; for k:=0 to 997 do begin y[k+3]:=(-b*y[k+2]-c*y[k+1]-d*y[k]+8*k1*t*t*t)/a; {in ra 100 gia tri}

end;

writeln('100 gia tri cach nhau'); for k:=1 to 100 do

begin

write('y[',k*10:3,']=',y[k*10]:5:4); if (k mod 6)=0 then writeln; if k=102 then readln; end; writeln; {tim gia tri ymax} max:=y[0]; for k:=0 to 1000 do if y[k]>max then begin max:=y[k]; km:=k; end;

{Tim khoang thoi gian on dinh Tod} k:=1000;

while abs((y[k]-(1/k2))/(1/k2))<=0.05 do k:=k-1;

tod:=k*t;

{in cac gia tri ra man hinh}

writeln('Thoi gian on dinh la Tod:',tod:8:4); xicma:=(max-1/k2)*100/(1/k2);

writeln('Gia tri cuc dai la ymax=',max:8:4);

writeln('Do qua dieu chinh xicma=',xicma:8:4,'%'); writeln('Thoi gian dat cuc dai la tm=',km*t:8:4); {Ve hinh}

write('Hay cho he so gian truc y:ky='); readln(ky); gd:=detect;

initgraph(gd,gm,'C:\TP\BGI'); setbkcolor(white);

setcolor(blue); outtextxy(53,5,'Y');

outtextxy(600,360,'t(s)'); {Ve cac truc toa do}

outtextxy(240,390,'KHAO SAT QTQD HE THONG'); str(max:8:4,st);

outtextxy(20,410,'GIA TRI CUC DAI LA:Ymax='+st); str(km*t:8:4,st); outtextxy(320,410,'THOI GIAN DE DAT CUC DAI:Tmax='+st); str(xicma:8:4,st);

outtextxy(20,430,'DO QUA DIEU CHINH LA: xicma%='+st); str(Tod:8:4,st);

outtextxy(320,430,'THOI GIAN ON DINH LA: Tod='+st); setcolor(5);

line(50,350,620,350); {Ve truc toa do} line(50,5,50,350);

line(50,5,47,15); {Ve mui ten truc y} line(50,5,53,15);

line(620,350,615,347); {Ve mui ten truc t}

line(620,350,615,353); for k:=1 to 6 do {Khac do truc t} begin

str(100*(k-1)*t:2:1,st); outtextxy(k*100-60,357,st); line(k*100-50,347,k*100-50,353); end;

for k:=0 to 10 do {khac do truc y} begin

str(k/(5*k2):4:2,st);

outtextxy(5,345-round(ky*k/(5*k2)),st);

line(47,350-round(ky*k/(5*k2)),53,350-round(ky*k/(5*k2))); end;

str(max:6:4,st); outtextxy(round(tm/t)+60,340-round(ky*max),'Ymax='+st); str(1/k2:2:1,st); outtextxy(560,335-round(ky/k2),'Yod='+st); outtextxy(km+50,330,'Tmax'); outtextxy(round(tod/t)+50,330,'Tod'); outtextxy(round(tod/t)+70,315-round(ky/k2),'5%Yod'); moveto(50,350); setlinestyle(Dottedln,0,1); line(round(tod/t)+49,350-round(ky*y[round(tod/t)]),round(tod/t)+49,350); line(50,350-round(ky*max),km+50,350-round(ky*max)); line(km+50,350-round(ky*max),km+50,350);

line(50,350-round(1.05*ky/k2),620,350-round(1.05*ky/k2)); {duong sai so} line(50,350-round(0.95*ky/k2),620,350-round(0.95*ky/k2));

setlinestyle(SolidLn,0,1);

line(50,350-round(ky/k2),620,350-round(ky/k2)); {duong on dinh} line(round(tod/t)+100,350-round(1.05*ky/k2),round(tod/t)+100,330- round(1.05*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(1.05*ky/k2),round(tod/t)+97,340-round(1.05*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(1.05*ky/k2),round(tod/t)+103,340- round(1.05*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(0.95*ky/k2),round(tod/t)+100,370- round(0.95*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(0.95*ky/k2),round(tod/t)+97,360-round(0.95*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(0.95*ky/k2),round(tod/t)+103,360- round(0.95*ky/k2)); {Ve do thi} for k:=1 to 560 do begin if GraphResult<>grOK then halt(1); setlinestyle(SolidLn,$C3,ThickWidth); setcolor(Blue);lineto(k+50,350-round(ky*y[k])); end; delay(1000);

repeat until keypressed; closegraph;

END.

Chạy ch−ơng trình cho ta kết quả nh− sau:

Các kết quả tính tốn đ−ợc chạy bằng ch−ơng trình mô phỏng y[10] = 0.04337 y[20] = 0.29299 y[30] = 0.75050 y[40] = 1.31746 y[50] = 1.87936 y[60] = 2.34186 y[70] =2.64644 y[80] = 2.77405 y[90] = 2.74026

y[100] = 2.58526 y[110] = 2.36174 y[120] = 2.12303 y[130] = 1.91377 y[140] = 1.76399 y[150] = 1.68700 y[160] = 1.68067 y[170] = 1.73107 y[180] = 1.81739 y[190] = 1.91701 y[200] = 2.00984 y[210] = 2.08120 y[220] = 2.12331 y[230] = 2.13507 y[240] = 2.12090 y[250] = 2.08878 y[260] = 2.04810 y[270] = 2.00773 y[280] = 1.97460 y[290] = 1.95293 y[300] = 1.94404 y[310] = 1.94674 y[320] = 1.95810 y[330] = 1.97431 y[340] = 1.99153 y[350] = 2.00656 y[360] = 2.01725 y[370] = 2.02267 y[380] = 2.02301 y[390] = 2.01929 y[400] = 2.01301 y[410] = 2.00581 y[420] = 1.99914 y[430] = 1.99403 y[440] = 1.99105 y[450] = 1.99025 y[460] = 1.99132 y[470] = 1.99366 y[480] = 1.99660 y[490] = 1.99951 y[500] = 2.00188 y[510] = 2.00343 y[520] = 2.00405 y[530] = 2.00383 y[540] = 2.00300 y[550] = 2.00182 y[560] = 2.00058 y[570] = 1.9995 y[580] = 1.99874 y[590] = 1.99836 y[600] = 1.99834 y[610] = 1.99862 y[620] = 1.99907 y[630] = 1.99959 y[640] = 2.00007 y[650] = 2.00044 y[660] = 2.00065 y[670] = 2.00070 y[680] = 2.00062 y[690] = 2.00045 y[700] = 2.00024 y[710] = 2.00003 y[720] = 1.99986 y[730] = 1.99975 y[740] = 1.99971 y[750] = 1.99972 y[760] = 1.99979 y[770] = 1.99987 y[780] = 1.99996 y[790] = 2.00004 y[800] = 2.00009 y[810] = 2.00012 y[820] = 2.00012 y[830] = 2.00010 y[840] = 2.00007 y[850] = 2.00003 y[860] = 1.99999 y[870] = 1.99997 y[880] = 1.99995 y[890] = 1.99995 y[900] = 1.99996 y[910] = 1.99997 y[920] = 1.99998 y[930] = 2.00000 y[940] = 2.00001 y[950] = 2.00002 y[960] = 2.00002 y[970] = 2.00002 y[980] = 2.00002 y[990] = 9.00001 y[1000] = 2.00000

3. Ch−ơng trình Matlab

Dùng phần mềm Matlab vẽ đ−ờng đặc tính quá độ của hệ điều khiển tự động nhằm đối chứng với kết quả của ch−ơng trình mơ phỏng.

K1 = 100; K2 = 0.5; T1 = 0.01; T2 = 0.02; Num = K1;%Tu so cua ham truyen W(s) Den = [T1*T2,T1+T2,K1*K2];

step(Num,Den)

title('Dac tinh qua do cua he DKTD') xlabel('t (s)') ylabel('y(t)') Kết qủa mô phỏng bằng Matlab nh− hình 3.9 4. Nhận xét về kết quả mơ phỏng

Ch−ơng trình cho kết quả là tín hiệu ra y(k) d−ới dạng số, cứ cách 10 số in ra một số liệu. Ch−ơng trình cũng cho kết quả d−ới dạng đồ thị đ−ờng cong quá độ của hệ điều khiển tự động và tính các đặc tính quá độ nh−: y_max, y_ôđ, σ_max, T_max, T_ôđ. Kết quả cho thấy hai đ−ờng cong do

Hình 3.8- Kết quả mơ phỏng bằng ngơn ngữ Pascal

ch−ơng trình mơ hình hóa và phần mềm Matlab vẽ ra trùng nhau, điều đó chứng tỏ thuật tốn mơ hình hóa là đúng.

3.12- Câu hỏi và bài tập

1. Hãy trình bày ph−ơng pháp tìm hàm sai phân của hệ điều khiển tự động liên tục. 2. Tìm hàm sai phân của hệ liên tục có hàm truyền sau:

= + + 2 K W(s) s(s 2a Ks K)

3. Hãy dùng máy tính mơ phỏng và khảo sát quá trình quá độ của hệ liên tục có sơ đồ cấu trúc nh− hình 4.8 với các thơng số sau:

K₁ = 50; K₂ = 0,2; T₁ = 0,5; T₂ = 0,1 B−ớc cắt mẫu T = 0,01; số b−ớc tính k = 1000 Yêu cầu: - Tính và in ra các chỉ tiêu đánh giá chất l−ợng sau đây:

+ Giá trị cực đại của tín hiệu ra: y(k)_max. + Độ quá điều chỉnh: δ_max. + Giá trị ổn định của tín hiệu ra: y(k)_ôđ. + Thời gian đạt giá trị y(k)_max: T_max. + Thời gian đạt giá trị y(k)_ôđ: T_qđ.

- Dùng Matlab vẽ đ−ờng cong quá trình quá độ của hệ trên. So sánh các kết quả và rút ra các kết luận về ph−ơng pháp mô phỏng.

1 1 2 K (T s 1)(T s 1)+ + K₂ u(t) u(t)

Hình 4.10- Sơ đồ cấu trúc của hệ ĐKTĐ

Ch−ơng 4 - Mơ hình hóa các hệ ngẫu nhiên

4.1- Khái niệm về mơ hình hóa các hệ ngẫu nhiên

Hệ ngẫu nhiên là hệ trong đó có các biến ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên đ−ợc đặc tr−ng bởi luật phân phối xác suất.

Thực chất của ph−ơng pháp này xây dựng mơ hình xác suất là xây dựng trên máy tính hệ thống S với các quan hệ nội tại của nó trong đó có các biến ngẫu nhiên. Đầu vào của hệ có tác động mang tính ngẫu nhiên nh− số l−ợng các sự kiện xảy ra, thời gian giữa các sự kiện hoặc tác động của môi tr−ờng xung quanh E. Trên cơ sở đó phân tích các tín hiệu đầu ra ng−ời ta nhận đ−ợc dáng điệu phản ứng của hệ thống. Ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc gọi là ph−ơng pháp mô phỏng (Simulation). Mỗi một lần thực hiện phép thử ng−ời ta thu đ−ợc một lời giải chứa đựng những thông tin về dáng điệu của hệ thống S. Nếu số phép thử N đủ lớn thì kết quả thu đ−ợc bằng cách lấy trung bình theo xác suất sẽ ổn định và đạt độ chính xác cần thiết.

Ph−ơng pháp mô phỏng th−ờng đ−ợc dùng để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên nh−ng đồng thời trong một số tr−ờng hợp cũng có thể dùng để giải các bài toán đối với hệ tiền định.

4.2- Cơ sở lý thuyết xác suất

1- Phép thử và biến cố

Khi thực hiện một số điều kiện nào đó ta nói rằng đã thực hiện một phép thử. Cịn hiện t−ợng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đ−ợc gọi là biến cố.

Ví dụ: Hành động tung một con súc sắc là thực hiện một phép thử còn việc xuất hiện mặt nào đó đ−ợc gọi là biến cố.

Có 3 loại biến cố:

- Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử.

- Biến cố khơng thể có (V): là biến cố nhất định khơng xảy ra khi thực hiện phép thử. - Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra khi thực hiện phép thử.

1- Xác suất của một biến cố

Xác suất P(A) của biến cố A là một con số đặc tr−ng cho khả năng khách quan để xuất hiện biến cố A khi thực hiện phép thử.

1- Quan hệ giữa các biến cố:

- Tích các biến cố: Biến cố A đ−ợc gọi là tích của các biến cố A₁, A₂, …, A_n nếu A xảy ra khi cả n biến cố A_i (i = 1ữ n) cùng đồng thời xảy ra: A = A₁, A₂, …, A_n.

Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 mơn, điều kiện để đỗ tốt nghiệp là khơng có mơn nào bị điểm liệt.

- Tổng các biến cố: Biến cố A đ−ợc gọi là tổng của các biến cố A₁, A₂, …, A_n nếu A xảy ra khi có ít nhất 1 trong số n biến cố A_i (i = 1ữ n) xảy ra: A = A₁+ A₂+ …+ A_n.

Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 mơn, HS sẽ tr−ợt tốt nghiệp nếu có một mơn bị điểm liệt.

- Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B đ−ợc gọi là xung khắc với nhau nếu chúng

Các biến cố A₁, A₂, …, A_n đ−ợc gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong chúng cũng xung khắc với nhau. Các biến cố A₁, A₂, …, A_n đ−ợc gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn.

Ví dụ: Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ khi tung một con súc sắc thì A, B là hệ đầy đủ.

- Biến cố đối lập: A và A đ−ợc gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo thành hệ đầy đủ các biến cố hay nói cách khác là một và chỉ một trong hai biến cố phải xảy ra sau phép thử.

4.2.2- Định nghĩa xác suất

Ví dụ: Tung một con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Tìm P(A).

Khi thực hiện phép thử có 6 tr−ờng hợp đồng khả năng xảy ra, tuy nhiên chỉ có một kết quả. Trong đó có 3 tr−ờng hợp mà nếu chúng xảy ra sẽ làm cho biến cố xảy ra (đó là các tr−ờng hợp 2, 4, 6 chấm). Các tr−ờng hợp làm cho biến cố xảy ra đ−ợc gọi là các tr−ờng hợp thuận lợi cho biến cố.

P(A) = 3/6 = 0,5

Định nghĩa cổ điển về xác suất: Nếu trong một phép thử có tất cả n tr−ờng hợp đồng

khả năng xảy ra trong đó có m tr−ờng hợp thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A đ−ợc định nghĩa là P(A) = m/n.

Các tính chất của xác suất:

- Xác suất của biến cố ngẫu nhiên hoặc bất kỳ: 0 < P(A) < 1. - Xác suất của biến cố chắc chắn: P(A) = 1 (m = n).

- Xác suất của biến cố khơng thể có: P(A) = 0 (m = 0).

Định nghĩa thống kê về xác suất: Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số

giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử đ−ợc thực hiện.

Gọi số lần xuất hiện biến cố A là k và tần số xuất hiện biến cố A là f(A), ta có: f(A)=k/n. Nếu tần số xuất hiện biến cố A luôn luôn dao động xung quanh một số xác định p nào đó khi