Cho (X, τ) là không gian tôpô lồi địa phương. Với mỗif ∈X∗, tập hợp
V(f; 1) :={x∈X | |f(x)|<1}
là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, từ kết quả Định lý 1.9, họ V0 :={V(f; 1)|f ∈X∗}
sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τw trên X. Tôpô này nhận họ sau làm cơ sở lân cận gốc: V =n m \ i=1 V(fi;)|m ∈N∗; >0; fi ∈X∗, 1≤i≤mo.
Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trênX bảo đảm sự liên tục của tất cả các phiếm hàmf ∈X∗. Nói riêng, τw ⊂τ. Do đó, ta sẽ gọi τw
làtôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh làτ. Tương ứng với tôpô này ta có
các khái niệm mới trên X như tập mở yếu, tập đóng yếu,hội tụ yếu,compact yếu... Ta sẽ ký hiệuxλ
w
→x¯ để chỉ rằng dãy suy rộng (xλ) hội tụ yếu đến x¯ để phân biệt với ký hiệuxλ →x¯nói rằng (xλ)hội tụ mạnh đến x¯.
Mệnh đề 2.6. Cho dãy suy rộng (xλ) trong X và x¯∈X. Lúc đó,
xλ →w x¯⇐⇒f(xλ)→f(¯x); ∀f ∈X∗.
Mệnh đề 2.7. Nếu tôpô mạnh trên X là Hausdorff thì tôpô yếu cũng Hausdorff. Vì tôpô yếu là yếu hơn tôpô mạnh, nên mọi tập đóng yếu (mở yếu) đều đóng (mở). Điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Tuy vậy, đối với tập lồi thì hai khái niệm đóng và đóng yếu là tương đương. Điều này được thể hiện trong kết quả sau:
Mệnh đề 2.8. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu.
Hệ quả 2.5 (Bổ đề Mazur). Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn)là một dãy trong X hội tụ yếu đến x¯. Lúc đó, tồn tại một dãy (yn) hội tụ (mạnh) đến x¯ sao cho yn∈co{xk|k ∈N}, với mọi n∈N.