4 Phương pháp cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng
4.3 Phương pháp cho phương trình Parabol
Ta khảo sat số nghiệm mẫu của phương trình Parabol 1 chiều
ut=c2uxx, (với c là hằng số)
Phương trình này thường khảo sát x ở trong một khoảng xác định 0 ≤ x ≤ L, và
thời gian t≥ 0 và nhiệt độ ban đầu u(x,0) = f(x),(f cho trước) và điều kiện biên tại x = 0 và x =L tại mọi thời điểm t ≥ 0 sao cho u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. Ta có
thể giả sử c= 1, L= 1. Phương trình nhiệt là
ut = uxx, 0≤x≤1, t≥0 (4.34)
u(x,0) = f(x), điều kiện đầu (4.35)
u(0, t) = u(1, t) = 0, điều kiện biên (4.36) Một cách đơn giản ta xấp xỉ (4.34) xem (4.7)
1
k(ui,j+1−uij) =
1
h2(ui+1,j−2uij +ui−1,j). (4.37) Hình 11a đã chỉ ra lưới và mạng điểm tương ứng. Cở lưới là h theo phương x và k
theo phương t. Công thức (4.37) bao gồm 4 điểm chỉ ra hình 11b. ở bên trái ta sữ dụng thông số toán vi phân từ đây ta không có thông tin về giá trị t âm ban đầu. Từ (4.37) ta tính ui,j+1 tương ứng với tại thời điểm hàng j+ 1, trong số hạng của 3 số khácu đều tương ứng thời điểm hàng j, giải (4.37) cho ui,j−1 ta có:
ui,j+1 = (1−2r)uij +r(ui+1,j+ui−1,j), r= k
h2 (4.38)
Tính (4.38) bằng phương pháp tương minh đơn giản. Tuy nhiên, có thể thấy rằng nó có vai trò quy định tới sự hội tụ của phương pháp này có điều kiện
r = k
h2 ≤ 1
2 (4.39)
uij có hệ số dương trong (4.38) hay (r= 1
2) là có trong (4.38). Bằng trực giác (4.39) có nghĩa là đã dịch chuyển quá nhanh theo phương t.
Hình 11: (a): Lưới và các mắt lưới tương ứng (4.37), (4.38). (b): Bốn điểm trong (4.37), (4.38)
Phương pháp Crank - Nicolson
Điều kiện (4.39) là không thuận lợi cho rèn luyện. Thật vậy, để đạt đến kết quả đầy đủ, chính xác, ta có thể chọn h nhỏ, do đó k rất nhỏ. Chẳng hạn h = 0.1 thì
k ≤0.005. Và một sự chuyển đổi 1
2htăng lên bốn lần số các bước theo thời gian cần chỉ ra với giá trị t chắc chắn. Tương ứng ta sẽ tìm ra một phương pháp cơ sở làm thoả mản phương trình nhiệt.
Một phương pháp lợi dụng sự không hạn chế trên r= k
h2 gọi làphương pháp Crank - Nicolson. Dùng các giá trị của u tại sáu điểm trên hình 12.ý tưởng của phương pháp thay thế những thông số khác nhau ở vế phải của (4.37) bởi 1
2 nhân với tổng của hai thông số tại hàng hai của thời gian. Thay vì (4.37) ta có
1 k(ui,j−1 −uij) = 1 2h2(ui+1,j−2uij+ui−1,j + 1 2h2(ui+1,j+1−2ui,j+1+ui−1,j+1) (4.40) Nhân với 2k và viết r = k
h2 như trước, ta tập hợp các số hạng tương ứng để hàng thứ j+ 1 bên trái và số hạng của hàng thứ j bên phải
(2 + 2r)ui,j+1−r(ui+1,j+1+ui−1,j+1) = (2−2r)uij +r(ui+1,j+ui−1,j). (4.41) Dùng (4.41) như thế nào? Trong trường hợp tổng quát giá trị bên trái là không biết và ba giá trị bên phải là biết trong khoảng x, 0≤ x≤ 1 trong (4.34) thành n
đoạn, ta có n−1 khoảng mạng điểm ở mỗi hàng hình 11a. ở đây, hệ phương trình cho n−1 giá trị chưa biết u11, u21,· · · , un−1,1. ở hàng đầu các số hạng của các giá trị đầu là u00, u10,· · · , un0 và các giá trị biên u01.un1(= 0). Để đơn giản cho j = 1
j = 2, hơn thế nữa cùng với điều kiện này, mỗi hàng ta có hệ n−1 phương trình tuyến tính tính kết quả từ (4.41).
Mặc dùr= k
h2 không dài vượt quá giới hạn nhỏ hơn r vẫn đưa ra kết quqr tốt. Khi làm chọn k sao cho có thể lưu lại một số lượng công việc khảo sát và r không quá lớn. Đối với khoảng cách, tốt nhất nên chọnr = 1. (4.41) trở nên đơn giãn hơn
4ui,j+1−ui+1,j+1−ui−1,j+1 =ui−1,j+ui−1,j (4.42) Ví dụ 4.5. Nhiệt độ trên một thanh. Phương pháp Crank - Nicolson, phương pháp tường minh.
Khảo sát một thanh kim loại cách li với độ dài L = 1 và c2 = 1 trong phương trình nhiệt. Giả sử nhiệt độ cuối cùng của thanh đựơc giữ u = 00C và nhiệt độ tại một điểm nào đó vào thời điểm t = 0 là f(x) = sinπx. áp dụng phương pháp
Crank - Nicolson với h= 0.2 và r= 1, tìm nhiệt độ u(x, t) của thanh trong khoảng
0 ≤ t ≤ 0.2. So sánh các kết quả này với kết quả chính xác. áp dụng (4.38) với r thoả mãn (4.39) với r = 0.25và với các giá trị không thoả (4.39), r= 1 và r= 2.5.
Hình 12: Sáu điểm trong biểu thức Crank - Nicolson (4.40) và (4.41)
Giải bằng phương pháp Crank - Nicolson: vì r = 1, công thức (4.41)
được đưa ra từ (4.42). Do h= 0.2 và r = h
k2 = 1 và ta có k=h2 = 0.04. Từ đây có thể làm năm bước. Hình 13 diễn tả lưới. Ta cần các giá trị đầu
u10= sin 0.2π = 0.587785, u20= sin 0.4π = 0.951057.
Cũng cóu30=u20 và u40=u10 (gọiu10 có nghĩa tạiP10 trong hình 13).ở mỗi hàng trong hình 13 có bốn mạng điểm khởi đầu. Từ đây mỗi bước ta giải bốn phương trình với bốn ẩn chưa biết. Nhưng bên trong xảy ra sự phân tán nhiệt độ một cách đối xứng với giá trị tương ứng là tới x= 0.5 và u= 0 tại cả hai điểm cuối với mọi thời điểmt, ta cóu31=u21, u41 =u11 trong hàng đầu tiên và tương tự cho các hàng khác. Ước lược mỗi hệ để có 2 phương trình với 2 ẩn chưa biết. Từ (4.42) từ u31=u21 và u01= 0 với j = 0 có phương trình
(i= 1) 4u11−u21 = u00+u20= 0.951057 (i= 2) −u11+ 4u21−u21 = u10+u20= 1.538842
Nghiệm là u11= 0.399274, u21= 0.646039. Tương tự cho j = 1 ta có hệ
(i= 1) 4u12−u22 = u01+u21= 0.646039 (i= 2) −u12+ 3u22 = u11+u21= 1.045313
Nghiệm là u12= 0.271221, u22= 0.438844 sự phân tán nhiệt độ như hình 14. t x= 0 x= 0.2 x= 0.4 x= 0.6 x= 0.8 x= 1 0.00 0 0.588 0.951 0.951 0.588 0 0.04 0 0.399 0.646 0.646 0.399 0 0.08 0 0.271 0.439 0.439 0.271 0 0.12 0 0.184 0.298 0.298 0.184 0 0.16 0 0.125 0.202 0.202 0.125 0 0.20 0 0.085 0.138 0.138 0.085 0
So sánh với phương pháp chính xác. Bài toán trên là có thể giải được và cho nghiệm là
u(x, t) = sinπx e−π2t (4.43)
Nghiệm bằng phương pháp tường minh (4.38) với r = 0.25. Cho h = 0.2 và r k h2 = 0.25, ta có k = rh2 = 0.25·0.04 = 0.01. Từ đây ta có các bước của phương pháp Crank - Nicolson. Công thức (4.38) với r = 0.25 là
ui,j+1 = 0.25(ui−1,j+ 2uij +ui−1,j. (4.44) Hình 13: Lưới trong ví dụ 4.5 Ta có thể dùng tính chất đối xứng. Cho j = 0, ta cần u00= 0, u10 = 0.587785, u20 = u30= 0.951057và tính u11 = 0.25(u00+ 2u10−u20) = 0.531657 u21 = 0.25(u10+ 2u20+u30) = 0.25(u10+ 3u20) = 0.860239
Tất nhiên ta có thể quên các số biên u01 = 0, u02 = 0,· · · từ biểu thức này. Cho j = 1 ta tính
u12 = 0.25(2u11+u21) = 0.480888
u22 = 0.25(u11+ 3u21) = 0.778094
Hơn thế ta có hai mươi bước thực hiện, những giá trị số được biểu diễn chính xác chỉ khoảng giống như giá trị Crank - Nicolson CN (giá trị chính xác cho với 3 số thập phân. x= 0.2 x= 0.4 t CN Theo (4.44) Chính xác CN Theo (4.44) Chính xác 0.04 0.399 0.393 0.396 0.646 0.637 0.641 0.08 0.271 0.263 0.267 0.439 0.426 0.432 0.12 0.184 0.176 0.180 0.298 0.285 0.291 0.16 0.125 0.118 0.121 0.202 0.191 0.196 0.20 0.085 0.079 0.082 0.138 0.128 0.132
Sự thiếu sót của (4.38) với sự có mặt của (4.39). Biểu thức (4.38) với h = 0.2 và r= 1 - với sự xâm phạm của (4.39) là
ui,j+1 =ui−1,j −uij+ui−1,j
và cho ra các giá trị tầm thường, như theo dưới đây:
t x= 0.2 Chính xác x= 0.4 Chính xác 0.04 0.363 0.396 0.588 0.641 0.12 0.139 0.180 0.225 0.291 0.20 0.053 0.082 0.086 0.132
Hình 14: Phân phối nhiệt độ trên thanh trong ví dụ 4.5
Biểu thức (4.38) với độ rộng r= 2.5(và h= 0.2 như trước) cho những kết quả hoàn toàn vô lý như sau
t x= 0.2 Chính xác x= 0.4 Chính xác 0.1 0.0265 0.2191 0.0429 0.3545 0.3 0.0001 0.0304 0.0001 0.0492 0.5 0.0018 0.0042 -0.0011 0.0068
4.4 Phương pháp cho phương trình Hypebol
Trong mục này ta khảo sát bài toán có liên quan đến phương trình Hypebol, phương trình sóng như sau:
utt = uxx, 0≤x≤1, t≥0 (4.45)
u(x,0) = f(x), điều kiện đầu chuyển động (4.46)
ut(x,0) = g(x), vận tốc ban đầu (4.47)
u(0, t) = u(L, t) = 0, các điều kiện biên (4.48) Chú ý là phương trìnhutt =c2uxx và trong khoảng khácxcó thể rút về dạng (4.45) bởi phép dịch chuyển tuyến tính củax và t. Thay vào đạo hàm bởi những thông số
khác, ta đạt được
1
k2(ui,j+1−2uij +ui,j−1) = 1
h2(ui+1,j −2uij +ui−1,j) (4.49)
h là kích cở mạng theo x, k là kích cở mạng theo t. Phương trình vi phân này kết
hợp với năm điểm đã chỉ ra ở hình 15a. Gợi ý là lưới hình chữ nhật tương tự như phương trình Parabol trong mục trước. Ta chọnr∗ = k2
h2 = 1, thì loại đượcuij ta có
ui,j+1 =ui−1,j+ui+1,j−ui,j−1 hình 15b (4.50)
Hình 15: Các mắt lưới dùng trong (4.49) và (4.50). (a) dùng cho (4.49), (b) dùng
cho (4.50)
Có thể thấy rằng với 0 ≤ r∗ ≤ 1 thì phương pháp hiện tại là tốt. Vì thế từ (4.50) có thể lý giải các kết quả hợp lí bắt đầu từ những cơ sở không gián đoạn.
Phương trình (4.50) liên quan đến ba bướcj−1, j, j+ 1trái lại công thức trong trường hợp parabol lại qua hai bước, hơn thế ta có hai điều kiện đầu. Vì vậy ta dùng điều kiện đầu (4.47) như thế nào? Từut(x,0) = g(x) ta dẫn ra công thức vi phân
1
ở đây, gi =g(ih). Chot = 0, j = 0, phương trình (4.50) là
ui1 =ui−1,0 +ui+1,0−ui,−1.
Thay ui,−1 vào (4.51). Ta được ui1 = ui−1,0+ui+1,0−ui1+ 2kgi. và bằng đơn giãn hoá
ui1 = 1
2(ui−1,0+ui+1,0) +kgi. (4.52)
Ví dụ 4.6. Chuổi dao động
áp dụng phương pháp hiện tại cho nghiệm số vớih=k= 0.2để giải bài toán (4.45), (4.46), (4.47), (4.48), ở đây
f(x) = sinπx, g(x) = 0.
Giải: Lưới tương tự như trong hình 13. Đoạn giá trị t là 0.2,0.4,· · · (thay vì
0.04,0.08,· · ·). Các giá trị u00, u10,· · · là như ví dụ 4.5. Từ (4.52) và g(x) = 0 ta có ui1 = 1 2(ui−1,0+ui+1,0). dùng u10 =u40 = sin 0.2π = 0.587785, u20=u30= 0.951057. (i= 1) u11 = 1 2(u00+u20) = 1 2 ·0.951057 = 0.475528 (i= 2) u21 = 1 2(u10+u30) = 1 2 ·1.538842 = 0.769421
và u31 = u21, u41 = u11 do đối xứng trong ví dụ 4.5. Từ (4.50) với j = 1, dùng u01=u02=· · ·= 0 ta tính được
(i= 1) u12 = u01+u21−u10= 0.769421−0.587785 = 0.181636
(i= 2) u22 = u11+u31−u20= 0.475528 + 0.769421−0.951057 = 0.293892
và u32 = u22, u42 =u12 do đối xứng và hơn nữa ta có các giá trị do sự dịch chuyển u(x, t) của chuổi trên một nữa chu kì
t x= 0 x= 0.2 x= 0.4 x= 0.6 x= 0.8 x= 1 0.0 0 0.588 0.951 0.951 0.588 0 0.2 0 0.476 0.769 0.769 0.476 0 0.4 0 0.182 0.294 0.294 0.182 0 0.6 0 -0.182 -0.294 -0.294 -0.182 0 0.8 0 -0.476 -0.769 -0.769 -0.476 0 1.0 0 -0.588 -0.951 -0.951 -0.588 0 Các giá trị này chính xác với ba số thập phân. Nghiệm chính xác là
Chương 5
PHẦN KẾT LUẬN
Trong tiểu luận này chúng tôi đã trình bày tỉ mỹ các phương pháp cho phương trình vi phân cấp một: phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến, phương pháp Runge - Kutta, phương pháp nhiều nút, các phương pháp cho hệ phương trình vi phân và phương trình vi phân cấp cao, các phương pháp cho phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Các kết luận rút ra:
• Khi sử dụng các phương pháp trên và các phương pháp thông thường thì kết quả thu được là xấp xỉ như nhau.
• Tuỳ vào việc sử dụng các phương pháp mà chúng ta có các kết quả chính xác khác nhau, tuỳ điều kiện mà người ta cố tình sử dụng các phương pháp khác nhau để có kết quả như mong đợi.
• Phương pháp số thương đưa ra các công thức truy hồi, rất có lợi cho việc thiết lập các chương trình chạy trên máy vvi tính.
Do thời gian nghiên cứu còn ít nên trong tiểu luận không tránh khỏi các sai sót, kính mọng sự góp ý chân thành của quý thầy cô giáo và bạn đọc để cho tiểu luận được hoàn chỉnh hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS Nguyễn Gia Định người đã trực tiếp hướng dẫn chúng tôi môn học này, chân thành cảm ơn các học viên: Bùi Tiến Đạt, Trần Thị Thảo Nguyên, Hoàng Nguyễn Dương Cầm, Phan Thị Anh Thư,Và các học viên cao học khoá 2006 đã động viên, góp ý chân thành cho chúng tôi thực hiện đề tài này.
Nhóm học viên thực hiện
TT Họ và tên Chuyên ngành
1 Thái Ngọc ánh Quang học
2 Đinh Thị Quế Quyên Vật lý chất rắn 2 Phạm Bá Tuấn Vật lý chất rắn
Tài liệu tham khảo
[1] GS. Tạ Văn Đĩnh, "Phương pháp tính", Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Đinh Văn Phong, "Phương pháp số trong cơ học" Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội 2000.
[3] P. Danko, A. Popov, T. Kogevnikova "Exercices et problèmes des mathématiques supérieues" E’Ditions mir. Moscou