Bài toán chia hết 3.1Lý thuyết cơ bản
3.1 Lý thuyết cơ bản
3.2 Phương pháp giải các bài toán chia hết 31
Phạm Quang Toàn (Phạm Quang Toàn)
Chia hết là một đề tài quan trọng trong chương trình Số học của bậc THCS. Đi kèm theo đó là các bài toán khó và hay. Bài viết này xin giới thiệu với bạn đọc những phương pháp giải các bài toán chia hết: phương pháp xét số dư, phương pháp quy nạp, phương pháp đồng dư, v.v...
3.1 Lý thuyết cơ bản
3.1.1 Định nghĩa về chia hết
Định nghĩa 3.1 Cho hai số nguyêna vàb trong đó b6= 0, ta luôn tìm được hai số nguyênq và r duy nhất sao cho
a=bq+r
với0≤r < b.
Trong đó, ta nóialà số bị chia, blà số chia, q là thương,r là số dư.△
Như vậy, khiachia chobthì có thể đưa ra các số dưr ∈ {0; 1; 2;· · ·;|b|}. Đặc biệt, vớir= 0thì a=bq, khi đó ta nóiachia hết chob(hoặcalà bội của b, hoặcb là ước củaa). Ta kí hiệu b|a. Còn khi akhông chia
30 3.1. Lý thuyết cơ bản
hết chob, ta kí hiệub∤a.
Sau đây là một số tính chất thường dùng, chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
3.1.2 Tính chất
Sau đây xin giới thiệu một số tính chất về chia hết, việc chứng minh khá là dễ dàng nên sẽ dành cho bạn đọc. Ta có với a, b, c, d là các số nguyên thì:
Tính chất 3.1– Nếua6= 0 thì a|a,0|a.
Tính chất 3.2– Nếub|athì b|ac.
Tính chất 3.3– Nếub|avà c|bthì c|a.
Tính chất 3.4– Nếuc|avà c|bthì c|(ax±by)với x, ynguyên.
Tính chất 3.5– Nếub|avà a|b thìa=bhoặc a=−b.
Tính chất 3.6– Nếuc|avà d|b thìcd|ab.
Tính chất 3.7– Nếub|a, c|athì BCNN(b;c)|a.
Tính chất 3.8– Nếuc|abvà UCLN(b, c) = 1 thìc|a.
Tính chất 3.9– Nếup|ab,p là số nguyên tố thìp|ahoặcp|b.
Từ tính chất trên ta suy ra hệ quả
Hệ quả 3.1– Nếu p | an với p là số nguyên tố, n nguyên dương thì