b) Mô tả thuật toán
5.1. Cây và một số tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.Ta gọi cây là đồ thị vô hƣớng liên thông không có chu trình. Đồ thị không liên thông đƣợc gọi là rừng.
Nhƣ vậy, rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó là một cây. Ví dụ. Rừng gồm 3 cây trong hình 7.1.
T1 T2 T3
Hình 5.1 . Rừng gồm 3 cây T1, T2, T3.
Cây đƣợc coi là dạng đồ thị đơn giản nhất của đồ thị. Định lý sau đây cho ta một số tính chất của cây.
Định lý. Giả sử T= <V, E> là đồ thị vô hƣớng n đỉnh. Khi đó những khẳng định sau là tƣơng đƣơng
a) T là một cây;
b) T không có chu trình và có n-1 cạnh; c) T liên thông và có đúng n-1 cạnh;
d) T liên thông và mỗi cạnh của nó đều là cầu;
e) Giữa hai đỉnh bất kỳ của T đƣợc nối với nhau bởi đúng một đƣờng đi đơn; f) T không chứa chu trình nhƣng hễ cứ thêm vào nó một cạnh ta thu đƣợc đúng
một chu trình;
Chứng minh. Định lý đƣợc chứng minh định lý thông qua các bƣớc (a) =>(b) =>(c) => (d) =>(e) => (f) => (a). Những bƣớc cụ thể của quá trình chứng minh bạn đọc có thể tìm thấy trong các tài liệu [1], [2].
Định nghĩa 2. Cho G là đồ thị vô hƣớng liên thông. Ta gọi đồ thị con T của G là một cây khung của G (Cây bao trùm) nếu T thoả mãn hai điều kiện:
a) T là một cây;
b) Tập đỉnh của T bằng tập đỉnh của G.
Trong lý thuyết đồ thị, ngƣời ta qua tâm đến hai bài toán cơ bảnvề cây:
Bài toán 1. Cho đồ thị vô hƣớng G =<V,E>. Hãy xây dựng một cây khung của đồ thị bắt đầu tại đỉnh uV.
Bài toán 2. Cho đồ thị vô hƣớng G =<V,E> có trọng số. Hãy xây dựng cây khung có độ dài nhỏ nhất.
Bài toán 1 đƣợc giải quyết bằng các thuật toán tìm kiếm cơ bàn: thuật toán DFS hoặcBFS. Bài toán 2 đƣợc giải quyết bằng thuật toán Kruskal hoặc PRIM.