9. Cấu trúc của Luận án
2.2.1. Kỹ thuật phân tích mode biến phân
Kỹ thuật phân tích mode biến phân (VMD) là phương pháp để phân tích thành các tín hiệu con, còn gọi là các mode, được đề xuất bởi Dragomiretskiy and Zosso [46] năm 2014. VMD xác định tần số trung tâm và băng thông của mỗi mode bằng cách tìm kiếm một lời giải tối ưu cho một mô hình biến phân để các mode có thể tách biệt nhau về mặt tần số. VMD thực hiện bằng cách xây dựng bài toán biến phân và giải bài toán biến phân đó.
a. Xây dựng bài toán biến phân
Một tín hiệu ( ) được phân tích thành mode ( ) với = 1,2, … , , mỗi mode là một tín hiệu có băng thông hạn chế và có một tần số trung tâm. Trước hết,
tín hiệu giải tích của mỗi mode, ( ( ) + ( ) ∗ ( )) với ( ) là hàm Dirac, được biểu diễn bởi một hàm giá trị phức và không có thành phần tần số âm, được tạo ra bởi biến đổi Hilbert để phổ của chúng là đơn hướng. Kết đến, giải điều chế tín hiệu trên về dạng tín hiệu băng cơ sở tương ứng bằng cách nhân tín hiệu giải tích của các mode với một số mũ, [( ( ) + ( ) ∗ ( ))] ∗ − . Cuối cùng, băng thông tín hiệu của mỗi mode được ước lượng bằng cách tính bình phương 2-norm đạo hàm của tín hiệu giải tích đã được giải điều chế. Bài toán biến phân có ràng buộc được xây dựng như sau:
2 min {∑ ‖ [( ( ) + )∗ ( )]− ‖ } (2.1) , 2 =1 Với ràng buộc: ∑( ) = ( ) Trong đó, { } ≔ { 1,2, … , } là tập hợp tất cả các mode, { } ≔
{ , , … , } là tần số trung tâm của mỗi mode, ∑ ≔ ∑ là tổng của các
1 2 =1
mode, 2-norm được ký hiệu là ‖ ( )‖22 =< ( ), ( ) > = ∫∞ ∗()() . −∞
b. Giải bài toán biến phân
Bằng cách sử dụng một hằng số phạt và các nhân tử Langrangian ( ), bài boán biến
phân có ràng buộc (2.1) được chuyển về bài toán không có ràng buộc (2.2). Trong đó thành
phần thứ hai được đưa vào để đảm bảo độ chính xác việc khôi phục tín hiệu trong trường hợp có nhiễu Gauss, và ở trong thành phần thứ ba các nhân tử Lagrangian được đưa vào để thực thi điều kiện của bài toán có ràng buộc.ℒ{ ( ), , ( )}
2 2 = ∑ ‖ [( ( ) + ) ∗ ( )] − ‖ + ‖ ( ) − ∑ ( )‖ 2 (2.2) =1 =1 2 + ( ), ( ) − ∑〈 ( )〉 =1
Phương pháp ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers) được sử dụng để cập nhật các giá trị +1, +1, à +1 và tìm điểm “yên ngựa” của Lagrangian mở rộng trên. Bài toán tìm giá trị của +1 có thể được biểu diễn bởi công thức (2.3) như sau:
2 +1 = { ‖ [( ( ) + )∗ ( )]− ‖ ∈ 2 ( ) 2 +‖ ( )−∑ ( )+ ‖ } 2 2
Trong đótương ứng với +1 và ∑ ( ) tương ứng với ∑
+1
Công thức (2.3) có thể được chuyển đổi từ miền thời gian sang miền bởi biến đổi Parseval Fourier:
(2.3) ( ). tần số (2.4) +1 2 = { ‖ [(1 + ( + )) . ( + )]‖ , ∈ 2 (2.4) + ‖ ( ) − ∑ ( ) + ( ) ‖2 } 2 2
Chúng ta thay thế của thành phần thứ nhất với − để có được công thức (2.5) như sau:
+1 = { ‖ ( − )[(1 + ( )). ( )]‖2 , ∈ 2 (2.5) + ‖ ( ) − ∑ ( ) + ( ) ‖2 } 2 2
Công thức (2.5) được chuyển về tích phân trong khoảng tần số không âm như
sau: ∞ +1 = {∫ 4 ( − )2| ( )|2 , ∈ 0 2 (2.6) + 2 |( )−∑ ( )+ ( ) | 2
Tại bước này lời giải cho bài toán tối ưu (2.6) như sau:
+1
( ) − ∑ ≠ ( ) +( ( )/2)
( ) = 1 + 2 ( − ) (2.7)
Tương tự vậy, bài toán tìm giá trị cho tần số trung tâm cũng được chuyển về miền tần số bởi công thức (2.8).
∞
+1 ={∫ ( − )2| ( )|2 }} (2.8)
0
Giá trị các tần số trung tâm được cập nhật như sau:
∫∞ | ( )|2 +1 = 0 (2.9) ∫∞| ( )|2 0
Trong đó, +1( ) tương ứng với bộ lọc Wiener của dư lượng hiện tại( ) − ∑ ≠ ( ), +1 là tần số trung tâm của phổ tần số của mode hiện tại, và phần thực của biến đổi Fourier của { ( )} là { ( )}.
Nói tóm lại thuật toán VMD cập nhật tất các VMD mode đồng thời ở trên miền tần số và sau đó chuyển về miền thời gian bằng biến đổi Fourier. Quá trình thực
Thuật toán 2.1: VMD
Đầu vào: Tín hiệu theo thời gian (t)
Đầu ra: Các VMD mode
1: Khởi tạo: { 1}, { 1}, = 0 2: Lặp 3: ← + 1 4: = 1: 5:Cập nhật : +1( ) ← ( ) + [ ( ) − ∑ +1( )] 6: Đến khi: ‖ +1− ‖2 ∑ 2 < 2 ‖ ‖ 2
c. Lựa chọn tham số cho VMD
Trước khi thực hiện phân tách tín hiệu thành các VMD mode, các tham số của VMD, đó là: : số VMD mode, :
hằng số phạt, : tốc độ cập nhật, : điều kiện hội tụ cần được xác định. Trong đó và có ảnh hưởng lớn đến việc phân tách tín hiệu gốc thành các VMD mode và nó phụ thuộc vào từng dạng tín hiệu được phân tách, do đó luận án đề xuất sử dụng
Thuật toán 2.2để xác định các tham số này. Các tham số còn lại được được lựa chọn là các giá trị được chuẩn hóa bởi [46] trong dải 0: 1 − 6.
Cơ sở của việc lựa chọn tham số và để đảm bảo hai yếu tố. Thứ nhất là khả năng bảo tồn tất cả các đặc tính của tín hiệu gốc ở các VMD mode. Mục đích của việc phân tách VMD là tách được các thông tin chứa trong tín hiệu gốc và chúng ta mong muốn rằng các VMD mode có thể chứa tất cả các thông tin của tín hiệu gốc. Tính chất này có thể được xác định thông qua việc xác định độ giống nhau giữa tín hiệu khôi phục từ các VMD mode và tín hiệu hiệu gốc thông qua hệ số số tương quan Pearson. Tín hiệu khôi phục được tính là tổng của tất cả các VMD mode có được sau khi sử dụng VMD để phân tách tín hiệu gốc. Các giá trị của và cho hệ số tương quan trên lớn nhất là các giá trị cần lựa chọn. Yếu tố thứ hai là việc phân tách của VMD tránh được sự chồng lẫn về mặt tần số ở các VMD mode. Khi nhỏ, sẽ không
có đủ số VMD mode được phân tách và do đó các thành phần của tín hiệu có thể bị trộn trong cùng một VMD mode. Khi lớn, sẽ có nhiều hơn số VMD mode được phân tách và có thể dẫn tới thành phần tín hiệu của một mode có thể nằm trong nhiều VMD mode khác nhau. Do đó, giá trị phù hợp của của số VMD mode cần được lựa chọn sao cho mỗi VMD mode chứa được một dải tần số riêng biệt của tín hiệu gốc. Để xác định được tính chất này có thể thực hiện thao tác đơn giản là so sánh phổ tần số của tín hiệu gốc và phổ tần số của các VMD mode thông qua biểu diễn phổ của chúng nhờ phép biến đổi FFT. Căn cứ vào phân tích này, các bước để
thực hiện lựa chọn các tham số và của VMD được mô tả bởi Thuật toán 2.2.
Thuật toán 2.2: Lựa chọn tham số cho VMD. Đầu vào:Tập vết điện năng tiêu thụX
Đầu ra:Tham số ,
1: Khởi tạo: Dải giá trị cho :,và :,, các bước thay đổi
giá trị của và : ,
2: Xác định tín hiệu trung bình, , của các vết điện năng tiêu thụ để giảm nhiễu
3: Xác định và biểu diễn phổ của bởi phép biến đổi FFT.
For =
to For =to
Xác định các VMD mode của thông qua biến đổi VMD. Xác định tín hiệu khôi phục, , từ các VMD mode bằng cách cộng dồn
tất cả các VMD mode.
4: Tính tương quan Pearson giữa và .
Tính và biểu diễn phổ của các VMD mode. So sánh phổ của các VMD mode với phổ của để xác định sự phân tách về mặt tần số của các VMD mode và tín hiệu gốc.
End for End for
5: Chọn cặp giá trị ( , ) có hệ số tương quan Pearson lớn nhất giữa và và