Phương pháp chung:
Bước 1: Toán học hóa bài toán.
* Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài toán. * Từ điều kiện của bài toán thiết lập được 1 hàm số phụ thuộc vào 1 biến. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của bài toán.
Chúng ta thường dùng công cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng công cụ khác nhưng có thể khó khăn hơn.
Bước 3: Kết luận bài toán ban đầu.
Một số ví dụ: Ví dụ 1:
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480−20n(gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? Lời giải:
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng f(n) = nP (n) = 480n−20n2(gam).
(Biến số n lấy các giá trị nguyên dương được thay thế bởi biến số x lấy các giá trị trên khoảng (0; +∞)).
Ta có: f0(x) = 480−40x = 0⇔ x = 12. Bảng biến thiên: x f0(x) f(x) 0 12 +∞ + 0 − 2880 2880
Từ bảng biến thiên, trên (0; +∞), hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm
x = 12. Từ đó, suy ra f(n) đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12.
Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.
Ví dụ 2:
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc của cá bơi khi nước đứng yên là v
(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức
E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Lời giải:
Vận tốc cá bơi khi ngược dòng là v−6 (km/h).
Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300 km là t = 300
v−6 (giờ). Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là:
E(v) =cv3. 300 v−6 = 300c. v3 v−6(jun), v > 6. Ta có: E0(v) = 600cv2 v−9 (v−6)2 = 0⇔ v = 9∨v = 0 (loại do v > 6).
Bảng biến thiên: v E0(v) E(v) 6 9 +∞ − 0 + +∞ +∞ E(9) E(9) +∞ +∞
Từ bảng biến thiên, để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) là 9 (km/h).
Ví dụ 3:
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức:
G(x) = 0,025x2(30−x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.
Lời giải: Ta có: G(x) = 0,75x2 −0,025x3vớix > 0. G0(x) = 1,5x−0,075x2 = 0 ⇔ x = 20∨x = 0 (loại do x > 0). Bảng biến thiên: x G0(x) G(x) 0 20 +∞ + 0 − 100 100
Từ bảng biến thiên, suy ra M ax(0,+∞)G(x) =G(20) = 100.
là 20 mg. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100. Ví dụ 4:
Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x
cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ...) được cho bởi công thức C(x) = 0,0001x2−0,2x+ 10000, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng.
1)
a) Tính tổng chi phí T (x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí. b) Tỉ số M (x) = T (x)
x được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí
khi xuất bản x cuốn. Tính M (x) theo x và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất.
2) Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp của báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là:
L(x) =−0,0001x2+ 1,8x−1000. b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?
c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó.
Lời giải: 1)
a) Tổng chi phí cho x cuốn tạp chí là:
T (x) =C(x) + 0,4x = 0,0001x2+ 0,2x+ 10000.
b) Ta có: M(x) = 0,0001x+ 10000
x + 0,2 với x = 1,2, .... (1)
định bởi công thức (1) với mọi x > 0 ) và tìm x > 0, trong đó hàm số M đạt giá trị nhỏ nhất trên (0,+∞). Ta có: M0(x) = 0,0001− 10000 x = 0⇔ x = 10000. Bảng biến thiên: x M0(x) M (x) 0 10000 +∞ − 0 + 2.2 2.2
Từ bảng biến thiên, suy ra M in(0,+∞)M(x) = M(10000) = 2,2.
Vậy chi phí trung bình cho x cuốn tạp chí thấp nhất khi x = 10000 (cuốn). Chi phí cho mỗi cuốn khi đó là 2,2 vạn đồng = 22 000 (đồng).
2)
a) Tổng số tiền thu được khi bánxcuốn tạp chí (xnguyên dương ) là2x+9000 (vạn đồng).
Số tiền lãi khi bán x cuốn là:
L(x) = 2x+ 9000−T (x) =−0,0001x2 + 1,8x−1000. b) Có lãi khi L(x) > 0, −0,0001x2+ 1,8x−1000> 0. ⇔ 0,9− √ 0,71 0,0001 < x < 0,9 +√ 0,71 0,0001 . ⇔ 9000−√71000000 < x < 9000 +√ 71000000. .
Vì x lấy giá trị nguyên dương và
9000−√71000000 > 573,85và9000 +√
Nên 573< x < 17427.
c) Ta xét hàm số: L(x) = −0,0001x2 + 1,8x − 1000;x ∈ (0; +∞) và tìm
x > 0 để tại đó L(x) đạt giá trị lớn nhất trên (0; +∞). Ta có: L0(x) =−0,0002x+ 1,8 = 0 ⇔ x = 9000. Bảng biến thiên: x L0(x) L(x) 0 9000 +∞ + 0 − 7100 7100
Từ bảng biến thiên, suy ra M ax(0,+∞)L(x) =L(9000) = 7100.
Vậy muốn lãi nhiều nhất thì phải in 9000 cuốn. Khi đó tiền lãi thu được là: 7100 vạn đồng = 71 000 000 (đồng).
KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số ứng dụng, luận văn đã hoàn thành và đạt được những kết quả cụ thể sau:
Trình bày các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và liệt kê một số phương pháp thường dùng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Trình bày một cách chi tiết các phương pháp dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được nêu trong luận văn và các ví dụ minh họa.
Nêu ra một số ứng dụng của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vào giải toán và một số ví dụ minh họa.
Từ những kiến thức thu nhận được thông qua luận văn, kết hợp với việc giảng dạy thực tế, chúng tôi dự định sẽ nghiên cứu sâu hơn cho các trường hợp nâng cao của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong toán học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Vũ Hữu Bình (2007), Nâng cao và phát triển toán 9, NXB Giáo Dục. [2] Doãn Minh Cương (2003), Toán ôn thi đại học, NXB Đại Học Sư Phạm. [3] Hoàng Chúng (1993), Các bài toán cực trị, NXB Giáo Dục.
[4] Lê Hồng Đức (2002),Phương pháp giải các dạng toán THPT - Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, NXB Giáo Dục.
[5] Trần Văn Hạo (2005), Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học, NXB Giáo Dục.
[6] Nguyễn Thái Hòe (2004), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXB Giáo Dục.
[7] Phan Huy Khải (1995) Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, NXB Giáo dục.
[8] Phạm Trọng Thư ( 2007),Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số, NXB Đại Học Sư Phạm.
DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC" suPHAM.
S6:b-S/QD-DHSP
CQNG HoA XA HQI CHU NGHiA Vq:T NAM DQc I~p - Tl}'do - Hanh plnic
DaNJng, ngay I7f thang ii. ndmJ{[j
QUYETDJNH
V~ vi~c giao d~ h\i va trach nhi~m hU'Ongdin lu~n van thac si
~UTRUONGTRUaNGD~IHQCSUPB4M
Can c~ Nghi dinh s6 32/CP ngay 04/4/1994 cua Chinh phu v~ viec thanh l~p
D<;1ihoc Da Nang;
Can cir Thong nr s6 OS/2014/TT-BGDDT ngay 20/3/2014 cua Bo Giao due va Dao t<;10v~ viec ban harm Quy cbSt6 chirc va hoat dQngcua dai hoc vung ~a·cac CCIso giao due dai h9C thanh vien;
Can cir Quyet dinh s6 6950/QD-DlIDN ngay 01/12/2014 cua Giam d6c Dai hoc Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiem vu, quyen han cua D<;1hi9C Da NfuIg, cac CCIsa giao due dai h9Cthanh vien va cac dan vi truethuoc;
Can cir Thong tu s6 15/2014/TT-BGDDT ngay 15/5/2014 cua BQ Giao due
va Dao t<;10v~ vi~c ban hanh Quy chS Dao t<;10trinh dQth~c S1;
Can clI QuySt dinh 1060/QD-DHSP ngay 0111112016 cua Hi~u trucmg Truong
D<;1hi9C Saph<;tm-DHDN v~ vi~c ban hanh Quy dinh dao t~o trinh dQth~cSI; , Xet d~ nghi clla Ban chu nhi~m Khoa Toan v~ vi~c ra Quyet dinh giao de tai va trach nhi~m huang dfrn lu~nvan th<;1csl;
Xet d~ngh! cua ong Truang Phong Dao t<;10, QUYETDJNH:
Noi nh~n: _Nhu Di~u3; -LUll: VT, DiiOtC;lO.