Định nghĩa 2.2.1. Ta gọi h† một Ψα,β - nghiệm cực tiểu hóa của bài toán (2) với dữ liệu chống nhiễu V¯ nếu và chỉ nếu
Ψα,β h†= min{Ψα,β(h) : FV¯(h) = 0} < ∞.
Định lý 2.2.1. (sự tồn tại nghiệm) Giả sử rằng α > 0, β > 0, Vδ ∈ H.
thì tồn tại một nghiệm cực tiểu h∗ = (x∗, u∗) của Θα,β,Vδ.
Chứng minh. Trong chứng minh này ta xétΘα,β,Vδ như là một hàm trênH, với Θα,β,Vδ(h) = FVδ(h) +αΦ1(x) +βΦ2(u) viết gọn lại là
Θα,β,Vδ(h) =FVδ(h) + Ψα,β(h).
Ta có Θα,β,Vδ là coercive. Vì FVδ bị chặn dưới đều và Ψα,β bị chặn dưới nên
inf Θα,β,Vδ < ∞.
Gọi {hk} là dãy cực tiểu, tức là Θα,β,Vδ(hk) → inf Θα,β,Vδ. Vì Θα,β,Vδ là coercive nên{hk}bị chặn. Do đó, tồn tại dãy con {hkn}của{hk}mà {hkn}
hội tụ đến h∗ ∈ H. Hơn nữa, FVδ,Ψα,β,Φ1 và Φ2 nửa liên tục dưới nên ta có: Θα,β,Vδ(h∗) = FV δ(h∗) + Ψα,β(h∗) ≤ lim inf n−→∞ FVδ (hkn) +αlim inf k→∞ {Φ1(hkn)}+ βlim inf k→∞ {Φ2(hkn)} ≤ lim inf n−→∞ {FV (hkn) +αΦ1(hkn) +βΦ2(hkn)} ≤ lim inf n−→∞(Θα,β,Vδ(hkn)).
Vì vậy h∗ là một cực tiểu của Θα,β,Vδ.
Định lý 2.2.2. (tính ổn định) Cho α > 0 và β > 0 cố định. Bài toán cực tiểu hóa (4) là ổn định yếu, có nghĩa là, với mọi cặp dãy ({hk},{Vk}) thỏa
Vδ −Vk −→0 và
hk ∈ argminh∈H1Θα,β,Vk(h),
{hk} có một dãy con hội tụ yếu, được ký hiệu lại là{hk}, sao cho nếu {hk} hội tụ yếu đến ˜h, thì ˜h là một cực tiểu của Θ
α,β,Vδ(h) và {Ψα,β(hk)} hội tụ đến Ψα,β(˜h).
Chứng minh. Với({hk},{Vk}) như trong định lý và mộtΨα,β -nghiệm cực tiểu h† ta có
FVk(hk) + Ψα,β (hk) ≤ FVk h†+ Ψα,β h†.
Với mọi h ∈ H1 ta đặt hàm Ffh : H −→ R, V 7→ Feh(V) := FV(h), theo điều kiện (b) của giả thiết, Feh là liên tục đều. Do Vδ −Vk−→ 0 và Ffh
là một hàm trên H bị chặn đều với mọi h ∈ H1, ta có FVk h† k là bị chặn. Vì vậy, ta có
Suy ra {hk} là bị chặn, vì vậy {hk} có một dãy con hội tụ yếu.
Với mỗi dãy con hội tụ yếu đó của {hk}, được ký hiệu lại bởi {hk} với giới hạn eh. Do FV và Ψα,β nửa liên tục dưới ta có
Θα,β,Vδ(eh) ≤ lim inf k−→∞ FVk (hk) + lim inf k→∞ Ψα,β(hk) ≤ lim sup k→∞ {FVk (hk) + Ψα,β(hk)} ≤ lim k→∞{FVk(h) + Ψα,β(h)} = FVδ(h) + Ψα,β(h),∀h ∈ H1.
Vì vậy eh là cực tiểu toàn cục của Θα,β,Vδ. Bây giờ ta giả sử {Ψα,β(hk)} ̸→ Ψα,β(eh). Tính liên tục dưới của Ψα,β suy ra
Ψα,β(eh) < lim sup k−→∞
Ψ (hk) =: c.
Điều này có nghĩa là tồn tại một dãy con của {hk}, được ký hiệu lại bởi {hk}, với mỗi {hk} −→ c. Ta được
lim
k−→∞FVk(hk) =FVδ(eh) + Ψα,β(eh)−c < FVδ(eh).
Điều này mâu thuẫn vớiFVδ là nửa liên tục dưới yếu. Do đó,{Ψα,β(hk)} → Ψα,β(eh).
Định lý 2.2.3. (Sự hội tụ) Cho ({Vk},{δk}) là một cặp dãy với δk −→ 0 đơn điệu, và Vk −V≤ δk. Chọn các dãy tham số chỉnh hóa {αk},{βk}, sao cho αk > 0 và βk > 0 với mọi k, và
αk −→ 0, đơn điệu, βk = cαk, δk
αk −→ 0, và εk
δk −→ 0, (6)
với một hằng số c > 0 và εk = FVk h† với h† một Ψ1,c - nghiệm cực tiểu. Khi đó mọi dãy {hk} các cực tiểu của Θαk,βk,vk có một dãy con hội tụ yếu và một giới hạn ˜h của mỗi dãy con hội tụ yếu đó là một Ψ1,c -nghiệm cực tiểu hóa.
Chứng minh. Với mọi hk là cực tiểu của Θαk,βk,vk và với h† là một Ψ1,c− nghiệm cực tiểu, ta có Θαk,βk,Vk (hk) =FVk(hk) + Ψαk,βk (hk) ≤ FVk h†+ Ψαk,βk h† ≤ εk+ Ψαk,βk h† với εk = FVk h†> 0. (**)
Do tính liên tục của Ffh† ta có εk −→ 0 khi δk −→ 0, và vì αk −→ 0 và
βk −→0 ta có Ψαk,βk h†−→ 0, do đó lim sup
k→∞
FVk (hk) = 0. (***) Hơn nữa, (**) suy ra
lim sup k−→∞ Ψαk,βk(hk) ≤ Ψ1,c h†. Vì vậy ta có lim sup k→∞ { FVk (hk) + Ψ1,c(hk)} = lim sup k−→∞ {Θαk,βk,Vk(hk) + Ψ1−αk,c−βk(hk)} ≤ lim k→∞ sup k→βk,Vk (hk) + lim sup k→∞ Ψ1−αk,c−βk (hk) ≤ lim sup k→∞ FVk (hk) + lim sup k→∞ Ψαk,βk(hk) + lim sup k→∞ Ψ1−αk,c−βk (hk) ≤ Ψ1,c h†< ∞.
Do đó lim supk→∞Θαk,βk,Vk (hk) ≤ c và tồn tại một c < ∞
với Θαk,βk,Vk (hk) ≤ c, với mọi k ≥ 1. Vì tính coercive của Θαk,βk,vk nên {hk} có một dãy con hội tụ, được ký hiệu lại bởi {hk}, với một giới hạn ˜
h. Do lim supk−→∞Ψαk,βk (hk) ≤ Ψ1,c h† nên FV(˜h) = 0. Do tính nửa liên tục dưới của Ψαk,βk và (**) nên ta có
Ψ1,c(˜h) ≤ lim inf
k→∞ Ψ1,c(hk) ≤ lim sup k→∞
Ψ1,c(hk) ≤ Ψ1,c h†≤ Ψ1,c(hs),
với mọi hs thỏa FV(hs) = 0. Từ đó ta có ˜h là một Ψ
α1,β1 -nghiệm cực tiểu.