Möc n y d nh cho vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ gi£-mð. Chùng minh chi ti¸t mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ gi£-mð v mèi quan h» giúa ¡nh x¤ gi£-mð vîi ¡nh x¤ âng, ¡nh x¤ mð, ¡nh x¤ th÷ìng.
ành ngh¾a 2.2.1 ([2]). Gi£ sûf : (X, τ) →(Y, σ)l mët ¡nh x¤. Khi â, 1) f ÷ñc gåi l ¡nh x¤ th÷ìng n¸u vîi måi U ⊂ Y m f−1(U) ∈ τ, ta
·u câ U ∈ σ.
2) f ÷ñc gåi l gi£-mð n¸u vîi måi y ∈ Y v vîi måi l¥n cªn mð U cõa f−1(y), ta câ y ∈ Intf(U).
3) f ÷ñc gåi l ¡nh x¤ mð (t÷ìng ùng, âng) n¸u £nh cõa méi tªp mð (t÷ìng ùng, âng) trong X l tªp mð (t÷ìng ùng, âng) trong Y. Nhªn x²t 2.2.2. Méi ¡nh x¤ gi£-mð l mët to n ¡nh.
Chùng minh. Gi£ sû y ∈ Y, khi â v¼ X l l¥n cªn mð cõa f−1(y) trong X v f l ¡nh x¤ gi£-mð n¶n
y ∈ Intf(X) ⊂ f(X).
Do â, tçn t¤i x ∈ X sao cho y = f(x). Nh÷ vªy, f l mët to n ¡nh. Bê · 2.2.3. Méi ¡nh x¤ mð v to n ¡nh l ¡nh x¤ gi£-mð.
Chùng minh. Gi£ sû f : (X, τ) →(Y, σ) l ¡nh x¤ mð v to n ¡nh, y ∈ Y v U l l¥n cªn mð cõa f−1(y). Khi â, f(U) mð trong Y. M°t kh¡c v¼ y ∈ f(U) n¶n ta suy ra r¬ng
y ∈ f(U) =Intf(U). Nh÷ vªy, f l ¡nh x¤ gi£-mð.
ành l½ 2.2.4. Méi ¡nh x¤ âng v to n ¡nh l ¡nh x¤ gi£-mð.
Chùng minh. Gi£ sû f : (X, τ) → (Y, σ) l mët ¡nh x¤ âng v to n ¡nh, y ∈ Y v A l mët l¥n cªn mð cõa f−1(y) trong (X, τ). B¥y gií, ta °t
C = Y \f(X \A). (2.2)
Khi â, v¼ A∈ τ n¶n X \A l tªp con âng trong (X, τ). M°t kh¡c, v¼ f l mët ¡nh x¤ âng n¶n f(X \A) l mët tªp âng trong (Y, σ). Nh÷ vªy, nhí c¡ch °t (2.2) ta suy ra C ∈ σ. Hìn núa, ta câ
Bði v¼ f−1(y) ⊂ A n¶n f−1(y)∩(X \A) =∅, k²o theo
{y} ∩f(X \A) = ∅. Nhí â, ta thu ÷ñc y ∈ Y \f(X \A) =C. Bði v¼ X \A ⊂f−1 h f(X \A) i n¶n ta câ f−1(C) =f−1hY \f(X \A)i = X \f−1 h f(X \A) i ⊂ X \(X \A) = A.
Nh÷ vªy, tçn t¤i l¥n cªn mð C cõa y sao cho f−1(C) ⊂ A. Do â, y ∈ C ⊂ f[f−1(C)] ⊂ f(A).
ành l½ 2.2.5 ([2]). Gi£ sû f : (X, τ) → (Y, σ) l ¡nh x¤ gi£-mð v li¶n töc. Khi â, n¸u X l khæng gian Fr²chet-Urysohn, th¼ Y công l khæng gian Fr²chet-Urysohn.
Chùng minh. Gi£ sû A ⊂ Y v y ∈ A. Khi â,
♣ Tçn t¤i x ∈ f−1(y)∩f−1(A). Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng
f−1(y)∩f−1(A) = ∅. (2.3) Khi â, f−1(y) ⊂ X \ f−1(A). Nh÷ vªy, X \ f−1(A) l l¥n cªn mð cõa f−1(y). Bði v¼ f l ¡nh x¤ gi£-mð n¶n fhX \ f−1(A)i l l¥n cªn cõa y trong Y. Bði v¼ y ∈ A n¶n
fhX \f−1(A)i∩A ̸= ∅. (2.4) Hìn núa, v¼ f−1(A) ⊂ f−1(A) n¶n
h
X \f−1(A)i∩f−1(A) ⊂ hX \f−1(A)i∩f−1(A) =∅,
k²o theo hX \f−1(A)i∩ f−1(A) = ∅. Suy ra
fhX \f−1(A)i∩A = ∅. (2.5) Tø m¥u thu¨n giúa (2.4) v (2.5) ta suy ra r¬ng tçn t¤i
x ∈ f−1(y)∩f−1(A).
♣ Bði v¼ x ∈ f−1(A) v X l khæng gian Fr²chet-Urysohn n¶n tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ f−1(A) sao cho xn →x. M°t kh¡c, v¼ f l ¡nh x¤ li¶n töc n¶n
f(xn) →f(x) = y.
Hìn núa, bði v¼ {f(xn)} ⊂ A n¶n ta suy ra r¬ng Y l mët khæng gian Fr²chet-Urysohn.
ành l½ 2.2.6 ([2]). Gi£ sû f : (X, τ) → (Y, σ) l mët ¡nh x¤ li¶n töc. Khi â,
1) N¸u f l ¡nh x¤ gi£-mð, th¼ f l ¡nh x¤ th÷ìng;
2) N¸u f l ¡nh x¤ th÷ìng, X l khæng gian d¢y v Y l khæng gian Fr²chet-Urysohn, th¼ f l ¡nh x¤ gi£-mð.
Chùng minh. (1) Gi£ sû f−1(U) ∈ τ v y ∈ U. Khi â, f−1(y) ⊂ f−1(U),
k²o theo f−1(U) l l¥n cªn mð cõa f−1(y). Bði v¼ f l ¡nh x¤ gi£-mð n¶n y ∈ Intf f−1(U) ⊂ U.
Nh÷ vªy, U ∈ σ, v f l ¡nh x¤ th÷ìng.
(2) Gi£ sû y ∈ Y l U l l¥n cªn mð cõa f−1(y). Ta chùng minh r¬ng y ∈ Intf(U). Thªt vªy, gi£ sû r¬ng y /∈ Intf(U). Khi â, v¼
Intf(U) =Y \Y \f(U)
n¶n ta suy ray ∈ Y \f(U). M°t kh¡c, v¼Y l khæng gian Fr²chet-Urysohn n¶n tçn t¤i d¢y {yn} ⊂ Y \f(U) sao cho yn →y. Hìn núa, v¼ tªp hñp
A= {yn : n ∈ N}
khæng âng trong Y v f l ¡nh x¤ th÷ìng n¶n f−1(A) khæng âng trong X. Bði v¼ X l khæng gian d¢y n¶n ta suy ra tçn t¤i d¢y {xk} ⊂ f−1(A) sao cho xk → x /∈ f−1(A).
◦ Gåi k1 = 1, tçn t¤i yn1 sao cho x1 ∈ f−1(yn1).
◦ Tçn t¤i k2, n2 ∈ N sao cho k2 > k1, n2 > n1 v xk2 ∈/ S
j≤n1
Thªt vªy, gi£ sû r¬ng xk ∈ S
j≤n1
f−1(ynj) vîi måi k > k1.
Khi â, v¼ {xk} l d¢y væ h¤n n¶n tçn t¤i n0 ≤ n1 v d¢y con {xkj} cõa
{xk} sao cho {xkj} ⊂ f−1(yn0). M°t kh¡c, v¼ f−1(yn0) âng trong X n¶n x ∈ f−1(yn0) ⊂f−1(A),
¥y l mët m¥u thu¨n. Nh÷ vªy, tçn t¤i k2 ∈ N sao cho xk2 ∈/ S
j≤n1
f−1(ynj).
Do â, tçn t¤i n2 ∈ N sao cho n2 > n1 v xk2 ∈ f−1(yn2).
◦ B¬ng quy n¤p, ta t¼m ÷ñc d¢y con {xkj} cõa {xk} v d¢y con {ynj}
cõa {yn} sao cho xkj ∈ f−1(ynj) vîi måi j ∈ N.
Bði v¼ {f(xkj)} l d¢y con cõa {ynj} n¶n f(xkj) →y. Hìn núa, v¼ f l ¡nh x¤ li¶n töc n¶n f(xkj) → f(x). Nhí t½nh ch§t Hausdorff cõa Y ta suy ra y = f(x), k²o theo x ∈ f−1(y). Bði v¼ U l l¥n cªn mð cõa x n¶n tçn t¤i j0 ∈ N sao cho
{x} ∪ {xkj : j ≥ j0} ⊂ U.
Suy ra r¬ng {ynj : j ≥ j0} ⊂ f(U), k²o theo {ynj} ⊂ f(U). i·u n y m¥u thu¨n vîi {yn} ⊂ Y \f(U).
ành l½ 2.2.7 ([4]). Gi£ sû f : (X, τ) → (Y, σ) l mët ¡nh x¤ li¶n töc. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng.
1) f l ¡nh x¤ gi£-mð;
2) f f−1(A) = A vîi måi A ⊂ Y;
4) N¸u A ⊂ Y v y ∈ A, th¼ tçn t¤i x ∈ f−1(y) sao cho vîi måi l¥n cªn V cõa x ta ·u câ y ∈ f(V)∩A;
5) N¸u A ⊂ Y v y ∈ A, th¼ tçn t¤i x ∈ f−1(y) sao cho vîi måi l¥n cªn V cõa x ta ·u câ f(V)∩A ̸= ∅;
6) N¸u A⊂ Y, y ∈ A v f−1(y) ⊂ V ∈ τ, th¼ f(V)∩A ̸= ∅.
Chùng minh. (1) =⇒ (2). Gi£ sû f l ¡nh x¤ gi£-mð v A ⊂ Y. Khi â, v¼ f li¶n töc n¶n theo ành l½ 1.4.5, ta câ
f f−1(A) ⊂ f(f−1(A)) ⊂ A. (2.6) B¥y gií, gi£ sû tçn t¤i y ∈ A\f f−1(A). Khi â, n¸u
f−1(y)∩f−1(A) ̸= ∅, th¼ tçn t¤i x ∈ f−1(y)∩f−1(A), k²o theo
y = f(x) ∈ f f−1(A),
¥y l mët m¥u thu¨n. Nh÷ vªy, f−1(y)∩f−1(A) = ∅, do â ta thu ÷ñc f−1(y) ⊂ X \f−1(A).
Bði v¼ f l ¡nh x¤ gi£-mð v X \f−1(A) ∈ τ n¶n ta câ
y ∈ Intf X \f−1(A) ⊂ Int f X \f−1(A) = Int(Y \A) = Y \A. i·u n y m¥u thu¨n vîi y ∈ A. Bði th¸, ta câ
A ⊂f f−1(A) ⊂ f(f−1(A)). (2.7) Nhí (2.6) v (2.7) ta suy ra f(f−1(A)) =A.
(2) =⇒(3). Gi£ sû r¬ng A ⊂Y v y ∈ A. Khi â, theo kh¯ng ành (2) ta suy ra r¬ng
Ta chùng minh r¬ng
f−1(y)∩f−1(A) ̸= ∅. (2.9) Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng f−1(y)∩f−1(A) = ∅. Khi â,
f−1(y) ⊂ X \f−1(A). Bði v¼ X \f−1(A) ∈ τ v f l ¡nh x¤ gi£-mð n¶n
y ∈ Int(f(X \f−1(A)))⊂ f(X \f−1(A)). (2.10) M°t kh¡c, theo Nhªn x²t 2.2.2, f l mët to n ¡nh, do â
f(X \f−1(A)) = Y \f(f−1(A)). (2.11) Tø (2.10) v (2.11) ta suy ra Y \f f−1(A) l l¥n cªn cõa y. Do â, nhí ành l½ 1.2.6 v (2.8) ta suy r¬ng ∅ ̸= h Y \f f−1(A) i ∩hf f−1(A) i ⊂ hY \f f−1(A)i∩hf f−1(A)i. i·u m¥u thu¨n n y chùng tä r¬ng kh¯ng ành (2.9) l óng.
(3) =⇒(4). Gi£ sû r¬ng A⊂ Y v y ∈ A. Theo kh¯ng ành (3), ta câ f−1(y)∩f−1(A) ̸= ∅.
Ta l§y x ∈ f−1(y)∩f−1(A). Khi â, n¸u V l l¥n cªn cõa x trong X v W l l¥n cªn cõa y trong Y, th¼ V ∩f−1(W) l l¥n cªn cõa x trong X. Bði v¼ x ∈ f−1(A) n¶n theo ành l½ 1.2.6 ta suy ra
V ∩f−1(W)∩f−1(A) ̸= ∅. Do â,
∅ ̸= fW ∩f(V)∩A ⊂ f(V)∩f(f−1(W)∩f(f−1(A)) ⊂ f(V)∩W ∩A.
1.2.6 ta suy ra r¬ng y ∈ f(V)∩A.
(4) =⇒ (5). Gi£ sû r¬ng A ⊂ Y v y ∈ A. Theo kh¯ng ành (4), tçn t¤i x∈ f−1(y) sao cho vîi måi l¥n cªn V cõa x trong X ta câ
y ∈ f(V)∩A.
Nh÷ vªy, n¸u f(V)∩A = ∅, th¼ y ∈ ∅ = ∅. i·u m¥u thu¨n n y chùng tä r¬ng f(V)∩A ̸= ∅.
(5) =⇒(6). Hiºn nhi¶n.
(6) =⇒(1). Gi£ sû y ∈ Y v U l l¥n cªn mð b§t ký cõa f−1(y) trong X. Khi â, n¸u y /∈ Intf(U), th¼
y ∈ Y \Intf(U) =Y \Y \Y \f(U) = Y \f(U). Nhí kh¯ng ành (6) ta suy ra r¬ng
f(U)∩(Y \f(U)) = ∅,
¥y l mët m¥u thu¨n. Nh÷ vªy, y ∈ Intf(U), do â ta suy ra f l ¡nh x¤ gi£-mð.
2.3. nh x¤ gi£-mð v m¤ng
Möc n y d nh cho vi»c nghi¶n cùu sü t÷ìng ÷ìng giúa ¡nh x¤ gi£-mð vîi t½nh b§t bi¸n cõa cì sð, sp-m¤ng, cn-m¤ng thæng qua ¡nh x¤ gi£-mð. ành l½ 2.3.1 ([4]). Gi£ sû f : (X, τ) → (Y, σ) l ¡nh x¤ li¶n töc. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng.
1) f l ¡nh x¤ gi£-mð;
2) N¸u P l sp-m¤ng cõa X, th¼ f(P) l sp-m¤ng cõa Y; 3) N¸u P l cn-m¤ng cõa X, th¼ f(P) l cn-m¤ng cõa Y; 4) N¸u P l cì sð cõa X, th¼ f(P) l cn-m¤ng cõa Y.
Chùng minh. (1) =⇒ (2). Gi£ sû f l ¡nh x¤ gi£-mð, P l sp-m¤ng cõa X, A⊂ Y, U ∈ σ v y ∈ U ∩A. Khi â,
f−1(y) ⊂ f−1(U ∩A) =f−1(U)∩f−1(A). B¥y gií, ta l§y
x ∈ f−1(U)∩f−1(A) = f−1(U)∩f−1(A).
Bði v¼ P l sp-m¤ng cõa X n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ f(U) v x ∈ P ∩ f−1(A). Suy ra
y = f(x) ∈ f(P ∩f−1(A)) ⊂ f(P)∩f(f−1(A) ⊂f(P)∩A. Nh÷ vªy, f(P) l sp-m¤ng cõa Y.
(1) =⇒ (3). Gi£ sû f l ¡nh x¤ gi£-mð, P l cn-m¤ng cõa X v U l l¥n cªn cõa y trong Y. Khi â, f−1(y) ⊂ f−1(U). Bði v¼ f li¶n töc n¶n f−1(U) l l¥n cªn cõa f−1(y). Bði v¼ P l cn-m¤ng cõa X n¶n
Wx = ∪{P ∈ P :x ∈ P ⊂ f−1(U)} (2.12) l l¥n cªn cõa x trong X vîi måi x ∈ f−1(y). Suy ra
∪{Wx : x ∈ f−1(y)}
l l¥n cªn cõa f−1(y). Bði v¼ f l ¡nh x¤ gi£-mð n¶n f(∪{Wx : x ∈ f−1(y)}) l l¥n cªn cõa y trong Y. Hìn núa, ta câ
f(∪{Wx : x ∈ f−1(y)}) = ∪{f(P) : y ∈ f(P) ⊂ U}. (2.13) Thªt vªy,
• Gi£ sû z ∈ f(∪{Wx : x ∈ f−1(y)}). Khi â, v¼
f(∪{Wx : x ∈ f−1(y)}) = ∪{f(Wx) : x ∈ f−1(y)}
2.12 ta suy ra tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v z ∈ f(P). Do â, y = f(x) ∈ f(P) ⊂ U, k²o theo z ∈ f(P) ⊂ ∪{f(P) : y ∈ f(P) ⊂U}. • Gi£ sû r¬ng z ∈ ∪{f(P) : y ∈ f(P) ⊂U}. Khi â, tçn t¤i P ∈ P sao cho
y ∈ f(P) ⊂ U v z ∈ f(P). Suy ra tçn t¤i x ∈ P sao cho y = f(x) v
x ∈ f−1(y) ⊂ P ⊂ f−1(U). Do â, ta thu ÷ñc
P ∈ {P ∈ P : x ∈ P ⊂ f−1(U)}. i·u n y ta suy ra r¬ng
z ∈ f(P) ⊂ f(∪{P ∈ P : x ∈ P ⊂ f−1(U)}) = f(Wx) ⊂f(∪{Wx : x ∈ f−1(y)}). Nh÷ vªy, (2.13) ¢ ÷ñc chùng minh.
Cuèi còng, nhí (2.13) ta suy ra r¬ng
∪{f(P) : y ∈ f(P) ⊂ U}
l l¥n cªn cõa y trong Y, do â f(P) l cn-m¤ng cõa Y.
(2) =⇒ (4) v (3) =⇒ (4). Bði v¼ méi sp-m¤ng ho°c cn-m¤ng l cì sð n¶n hiºn nhi¶n.
(4) =⇒(1). Gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng f : (X, τ) → (Y, σ) khæng l ¡nh x¤ gi£-mð. Khi â, theo Bê · 2.2.7, tçn t¤i tªp con A⊂ Y v y ∈ A sao cho
f−1(y)∩f−1(A) = ∅. Ta °t
B = n
B ∈ τ : B∩ f−1(y) = ∅ ho°c B ∩f−1(A) =∅o. Khi â, B ⊂ τ l cì sð cõa X.
Thªt vªy, gi£ sû x ∈ U ∈ τ. Khi â, n¸u ta °t Bx = U \f−1(y) n¸u f(x) ̸= y U \f−1(A) n¸u f(x) = y, th¼ ta câ • N¸u f(x) ̸= y, th¼ Bx = U \f−1(y),
k²o theo Bx∩f−1(y) =∅. M°t kh¡c, v¼ f−1(y) âng n¶n U \f−1(y) ∈ τ.
Nh÷ vªy, Bx ∈ B.
Bði v¼ f(x) ̸= y n¶n x /∈ f−1(y). Do â,
x ∈ U \f−1(y) =Bx ⊂ U.
• N¸u f(x) = y, th¼
Bx = U \f−1(A),
k²o theo Bx∩f−1(A) = ∅. Hìn núa, v¼ f−1(A) âng n¶n U \f−1(A) ∈ τ, do â Bx ∈ B. Bði v¼ f(x) = y n¶n ta suy ra r¬ng x ∈ f−1(y), k²o theo x /∈ f−1(A). Do â,
Nhí kh¯ng ành (4) ta suy ra r¬ng f(B) l cn-m¤ng cõa Y. Bði v¼ y ∈ A\An¶n theo ành l½ 2.1.9 ta suy ra r¬ng tçn t¤iB ∈ B v z ∈ A\{y}
sao cho {y, z} ⊂ f(B). Do â, B ∩f−1(y) ̸= ∅, k²o theo B ∩f−1(A) ⊂ B ∩f−1(A) =∅.
Suy ra r¬ngf(B)∩A= ∅, i·u n y m¥u thu¨n vîiz ∈ f(B)∩A. Nh÷ vªy, f l mët ¡nh x¤ gi£-mð.
ành l½ 2.3.2 ([4]). N¸u f : (X, τ) → (Y, σ) l ¡nh x¤ th÷ìng v P l sp-m¤ng cõa X, th¼ f(P) l m¤ng Pytkeev cõa Y.
Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta chùng minh r¬ng f(P) l m¤ng cõa Y. Thªt vªy, gi£ sû y ∈ U ∈ σ. Khi â, v¼ f l ¡nh x¤ li¶n töc n¶n f−1(U) ∈ τ. Ta l§y x ∈ f−1(y) ⊂ f−1(U). Bði v¼ P l m¤ng cõa X n¶n tçn t¤i P ∈ P
sao cho
x ∈ P ⊂f−1(U). Do â, ta suy ra r¬ng
y = f(x) ∈ f(P) ⊂ f(f−1(U)) ⊂U. Nh÷ vªy, f(P) l m¤ng cõa Y.
B¥y gií, gi£ sû A ⊂ Y, y ∈ Y l iºm tö cõa A v U l l¥n cªn mð cõa y trong Y. Khi â,
y ∈ A\ {y} v y /∈ Y \U. N¸u ta °t
D = (A\ {y})∪(Y \U), (2.14) th¼ y /∈ D. Bði v¼ U ∈ σ n¶n Y \U âng trong Y, k²o theo
D = A\ {y} ∪(Y \U) = A\ {y} ∪(Y \U). (2.15) i·u n y chùng tä r¬ng y ∈ D \ D, k²o theo D khæng âng trong Y. Bði v¼ f l ¡nh x¤ th÷ìng n¶n f−1(D) khæng âng trong X. Do â, tçn
t¤i x ∈ f−1(D) \f−1(D). Bði v¼ f l ¡nh x¤ li¶n töc v x ∈ f−1(D) n¶n theo ành l½ 1.4.5 ta suy ra
f(x) ∈ f f−1(D) ⊂ f(f−1(D)) ⊂ D.
Hìn núa, v¼ x /∈ f−1(D) n¶n f(x) ∈/ D. Nh÷ vªy, f(x) ∈ D \D, k²o theo f(x) ∈/ D.
Nhí (2.14) v (2.15) ta suy ra
f(x) ∈ A\ {y} v f(x) ∈/ Y \U, k²o theo
f(x) ∈ U v x ∈ f−1(A\ {y}).
Bði v¼ P l sp-m¤ng cõa X v x ∈ f−1(U) n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂f−1(U) v
x ∈ P ∩f−1(A\ {y}). (2.16) N¸u f(P)∩A l húu h¤n, th¼ ta °t
F = f(P)∩(A\ {y}). (2.17) Khi â, F l tªp con húu h¤n trong Y, k²o theo F âng trong Y v
F ⊂A\ {y} ⊂ D.
Do â, U \F l tªp con mð trong Y. Bði v¼ f(x) ∈/ D n¶n f(x) ∈/ A\ {y}, k²o theo f(x) ∈/ F. Hìn núa, v¼ f(x) ∈ U n¶n f(x) ∈ U \F, k²o theo
x ∈ f−1(U \F). (2.18)
Bði v¼ P l sp-m¤ng cõa X n¶n tø (2.16) v (2.18) ta suy ra r¬ng tçn t¤i P1 ∈ P sao cho
x ∈ P1 ⊂ f−1(U \F); (2.19) x ∈ P1 ∩P ∩f−1(A\ {y}). (2.20)
Tø (2.19) ta suy ra f(P1) ⊂ U \F. Do â, nhí (2.17) ta câ f P1 ∩ P ∩f−1 A\ {y} ⊂ f(P1)∩f(P)∩f f−1 A\ {y} ⊂ f(P1)∩f(P)∩(A\ {y}) ⊂ (U \F)∩F = ∅. Nhí ànhl l½ 1.4.5 v (2.20) ta suy ra f(x) ∈ fP1 ∩P ∩f−1 A\ {y} ⊂ fP1 ∩P ∩f−1 A\ {y} ⊂ ∅ = ∅.
i·u m¥u thu¨n n y chùng tä r¬ng f(P) ∩A l húu h¤n v f(B) ⊂ U. Nh÷ vªy, f(P) l m¤ng Pytkeev cõa Y.
KT LUN
Sau mët thíi gian t¼m hiºu v nghi¶n cùu v· ¡nh x¤ gi£-mð trong khæng gian topo, luªn v«n ¢ ¤t ÷ñc nhúng k¸t qu£ nh÷ sau.
Tr¼nh b y l¤i mët c¡ch câ h» thèng v chùng minh chi ti¸t mët sè k¸t qu£ cõa tæpæ ¤i c÷ìng nh¬m phöc vö cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n.
Tr¼nh b y kh¡i ni»m v· k-khæng gian, khæng gian d¢y v khæng gian Fr²chet-Urysohn. Chùng minh chi ti¸t mët sè mèi quan h» giúa c¡c m¤ng trong khæng gian topo.
Chùng minh chi ti¸t mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ gi£-mð v mèi quan h» giúa ¡nh x¤ gi£-mð vîi ¡nh x¤ âng, ¡nh x¤ mð, ¡nh x¤ th÷ìng.
Chùng minh sü t÷ìng ÷ìng giúa ¡nh x¤ gi£-mð vîi t½nh b§t bi¸n cõa cì sð, sp-m¤ng, cn-m¤ng thæng qua ¡nh x¤ gi£-mð.
TI LIU THAM KHO
[1] A. V. Arhangel'skii (1963), Some types of factor mappings and the re- lations between classes of topological spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 153 (1963) 743746.
[2] R. Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin. [3] S. Lin, Z. Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings, At-
lantis Press.
[4] S. Lin, X. Liu (2020), Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications, 272, 107090.
TRUCTNGD~IHQCSUPH~M
S6: .f!1!1QD-DHSP Da Nfrng, ngay !J thang f nam 2020
QUYETDJNH
Vi vi~c giao di tai va trach nhi~m hll'6'ng d~n luin van th~c si
HI°E:U TRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~M -DHDN
Can cu Nghi atnh s6 32/CP ngay 04/4/1994 cua Chinh phit vJ vi¢c thitnh /4p D9i h9c Da Ndng;
Can cu Quyit ajnh s6 6950/QD-DHDN ngay 01/12/2014 cua Giam a6c D9i h9c Da Ndng ban hanh Quy ajnh nhi¢m v~t, quyJn h9n cua D9i h9c Dit Nling, cac ca so· giao dlf,C a9i h9c thanh vien va cac clan vi tr{fC thu(>c;
Can de Thong tu s6 15/2014/TT-BGDDT ngay 15/5/2014 cua B(> Giao di1c va Dao tc;w vJ vi¢c ban hanh Quy chi Dito t90 trinh a(> th9c sT;
Can de Quyit dtnh 1060/QD-DHSP ngay 01/11/2016 cua Hi¢u tnr&ng Truimg D9i h9c Su ph9m -DHDN vJ vi¢c ban hanh Quy ajnh aao t90 trinh ti(> th9c sT;
Xet ttJ nghf cita 6ng Tru&ng phong Phong Dao t90.
QUYETDJNH:
I>iiu 1: Giao cho h9c vien Tra Thi Thanh Hoa, nganh Toan giai tich,
lap K37.TGT thµc hi~n d~ tai lu~n van Tinh chit cu.a anh x~ gia-mrr, du6i sµ hu6ng ain cua TS. LrrO'ng Qu6c Tuy~n, Trll'O'ng D~i hQC SU' ph,m - D,i hQC f)a Ni\ng.